구의 방정식

이-차원 평면에서, 한 점으로부터 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을 원이라고 합니다.

예를 들어, 점 $\mathrm {C} (a,b)$ 를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 $r$ 인 원 위의 임의의 점을 $\mathrm {P} (x,y)$ 라 하면, $\mathrm {PC} =r$ 이므로 다음의 식을 만족합니다.

{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}=r

위 식의 양변을 제곱한 식을 이-차원 평면에서 원의 방정식의 표준형이라고 합니다.

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

직교 좌표 시스템은 차원이 하나 증가하더라도, 같은 기하학적 상황 아래에서는 같은 형태의 식의 모양을 띕니다. 단지, 차원이 늘어남으로써, 순서쌍이 하나 증가하는 형태로 바뀔 뿐입니다.

즉, 공간에서 점 $\mathrm {C} (a,b,c)$ 를 중심으로 하고, 반지름의 길이가 $r$ 인 구 위의 임의의 점을 $\mathrm {P} (x,y,z)$ 라 하면, $\mathrm {PC} =r$ 이므로 다음의 식을 만족합니다.

{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}=r

위 식의 양변을 제곱한 식을 삼-차원 공간에서 구의 방정식의 표준형이라고 합니다.

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\cdots (1)

구의 방정식의 일반형

원의 방정식에서와 마찬가지로, 구의 표준형 식 (1)을 전개한 후, 동류항끼리 정리하면, 구의 방정식은 다음의 모양을 띕니다.

x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0\cdots (2)

이와 같은 형태를 구의 방정식의 일반형이라고 합니다.

식 (2)는, 원에서와 마찬가지로, 그의 계수들에 따라, 구가 될 수도 있고, 그렇지 않을 수도 있습니다. 식 (2)를 식 (1)처럼 완전제곱식의 합으로 만든 후에, 오른쪽 변은 반지름의 제곱이므로, 반드시 양수여야 합니다.

굳이 식 (2)를 식 (1)로 만드는 공식이나, 식 (2)가 구가 되는 조건을 암기할 필요는 없습니다. 문제에서, 숫자 또는 비록 문자일지라도, 계수가 주어지면, 완전제곱식을 만들어서, 문제의 조건에 합당한 경우를 찾을 수 있기 때문입니다.

어쨌든, 식 (2)를 식 (1)로 만드는 과정은 다음과 같습니다.

첫 번째, 이차의 계수를 1로 만듭니다. 식 (2)의 이차항의 계수가 1이 아닐 경우에는 이 단계가 추가됩니다.

두 번째, 일차항의 절반으로 완전제곱식을 만듭니다.

\left(x+{\frac {A}{2}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {B}{2}}\right)^{2}+\left(z+{\frac {C}{2}}\right)^{2}=\cdots

세 번째, 상수항을 오른쪽 변으로 옮기고, 왼쪽 변에서, 완전제곱식을 만들기 위해, 더해진 상수항, 각각을 오른쪽 변에 더해줍니다.

\left(x+{\frac {A}{2}}\right)^{2}+\left(y+{\frac {B}{2}}\right)^{2}+\left(z+{\frac {C}{2}}\right)^{2}=-D+\left({\frac {A}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {B}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {C}{2}}\right)^{2}

네 번째, 오른쪽 상수항을 계산해서 하나의 숫자로 만드는데, 그 값은 반드시 양수여야 합니다. 그렇지 않으면, 공간에서 구의 모양을 그릴 수 없습니다.

좌표평면 또는 좌표축에 접하는 구의 방정식

평면에서, 좌표축에 접하는 원의 방정식에서와 마찬가지로 좌표축에 접하는 구의 방정식은 표준형에서 일부부분이 달라집니다. 게다가, 원에서 나타나지 않는 좌표평면에 접하는 원의 방정식도 일정한 형태를 가집니다.

먼저, 좌표평면에 접하는 구의 방정식을 알아 보려 하는데, 원의 방정식에서 축에 접하는 원과 비교해서 확인해 보시기 바랍니다.

예를 들어, $xy$ -평면에 접하는 구를 생각해 보십시오.

만약 구의 중심이 (4,3,2)이면, $xy$ -평면에 접하기 위해서 그의 반지름은 2가 되어야 합니다.

왜냐하면, $xy$ -평면에 접하는 경우는 구 위의 오직 한 점이 $xy$ -평면과 만남을 의미하는데, 그 점은 중심에서 $xy$ -평면에 수선의 발을 내린 (4,3,0)이기 때문입니다.

그러므로, 중심의 좌표 (4,3,2)와 구 위의 한점 (4,3,0) 사이의 거리가 반지름이 됩니다.

따라서, 구의 표준형을 좌표평면에 접하는 구의 방정식으로 바꾸면,

$xy$ -평면에 접할 때, $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=c^{2}$
$yz$ -평면에 접할 때, $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=a^{2}$
$zx$ -평면에 접할 때, $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=b^{2}$

반면에, $x$ -축에 접하는 구를 생각해 보십시오.

예를 들어, 구의 중심이 (4,3,2)이면, $x$ -축에 접하기 위해서, 그의 반지름은 $r^{2}=3^{2}+2^{2}$ 을 만족해야 합니다.

왜냐하면, $x$ -축에 접한다는 것은 구 위의 오직 한 점이 $x$ -축과 만남을 의미하고, 그 점은 중심에서 $x$ -축에 수선의 발을 내린 (4,0,0)이기 때문입니다.

그러므로, 중심의 좌표 (4,3,2)와 구 위의 한 점 (4,0,0) 사이의 거리가 반지름이 됩니다.

따라서, 구의 표준형을 각 축에 접하는 구의 방정식으로 바꾸면,

$x$ -축에 접할 때, $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=b^{2}+c^{2}$
$y$ -축에 접할 때, $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=a^{2}+c^{2}$
$z$ -축에 접할 때, $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=a^{2}+b^{2}$

비록 이런 식으로 공식이 제공될지라도, 접하는 구의 방정식을 별도로 암기할 필요는 없습니다. 단지, 접하는 경우에 대해, 기하학적으로 중심과 반지름의 관계가 어떤지는 반드시 확인해 두시기 바랍니다.

한편, 완전히 구의 형태를 가진 과일, 예를 들어, 수박, 오렌지 등을 한번 칼질로 자르면, 그의 단면은 디스크이지만, 테두리는 원입니다. 이것은 구를 한 평면으로 자르면 그의 교선이 원이 됨을 의미합니다.

예를 들어, 구의 표준형에서 $xy$ -평면과의 교선의 방정식, 즉, 원의 방정식을 구하려면, 구의 방정식과 $xy$ -평면의 방정식 $z=0$ 과의 연립방정식을 구해야 합니다. 이 경우에는 평면의 방정식이 간단하기 때문에 직접 대입해서 교선의 방정식을 구할 수 있습니다.

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+c^{2}=r^{2}

이때, $r^{2}-c^{2}<0$ 이면, $xy$ -평면과 만나지 않는 경우이고, $r^{2}=c^{2}$ 이면 접하는 경우입니다.

일반적인 평면에 대해 구와의 교선이 원일 때, 그의 반지름은 피타고라스 정리를 이용해서 구할 수 있습니다. 즉, 원래의 구의 반지름 $r$ 을 알고 있기 때문에, 구의 중심에서 평면까지의 거리 $d$ 를 구하고, 교선인 원의 반지름을 $r_{1}$ 으로 두면, 다음 관계를 만족합니다.

r^{2}=d^{2}+r_{1}^{2}