급수의 수렴, 발산과 극한값 사이의 관계

See also: Harmonic series (mathematics) and Direct_comparison_test

수열의 극한이 수렴하면, 해당 수열의 급수는 수렴할까요? 발산할까요?

수열의 부분합을 $\textstyle \sum a_{n}=S_{n}$으로 표시할 때, 만약 $\lim a_{n}=3$이면 $\lim S_{n}$은 수렴할까요?

먼저 $\lim a_{n}=3$는 $n\rightarrow \infty$일 때 $a_{n}\rightarrow 3$임을 의미하고, $a_{n+1}=3,a_{n+2}=3,\cdots$임을 의미합니다. 즉, 초반에 수열의 값이 무엇이었던지 상관없이, $n\rightarrow \infty$인 후에는 일정한 값 3을 가짐을 의미합니다.

$1,\;\;2,\;\;3,\;\cdots ,n,n+1,n+2\cdots$

$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,3,\;\;\;3,\quad \;\;\;3,\cdots$

이것은 단순히 개념을 표시하기 위한 것이며, 무한대는 어느 순간을 말하지는 않습니다. 그리고 무한대 이 후도 무한대로 표현할 수 밖에 없습니다. 이것은 급수가 앞에서 더해진 값에 상관없이 3의 값을 가진 후에는 전부 3의 값을 갖게 되므로, 3을 무한히 더하는 경우로 볼 수 있습니다.

$S_{n}=S_{n-1}+3+3+3+3+\cdots$

그러므로 $\lim a_{n}=3$으로 수렴하면, 급수는 발산합니다. 이것은 적어도 급수가 수렴하기 위해서는 수열의 극한이 영에 수렴해야 함을 의미합니다. 즉,

급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$이 수렴하면, $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$으로 수렴합니다.

그의 대우 명제, $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$이면, 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 발산합니다.

아직 해결되지 않은 질문이 남았습니다.

만약 $\lim a_{n}=0$이면, 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 항상 수렴할까요?

이것은 거짓입니다. 급수가 수렴하기 위해서는 극한이 적어도 영이 되어야 하지만, 극한이 영이 된다고 해서 항상 수렴하지는 않습니다. 대표적인 반대-예제는 조화급수입니다.

조화 급수의 발산을 증명하는 한 가지 방법은 조화 급수를 다른 발산 급수와 비교하는 것입니다. 여기서 각 분모는 다음-가장 큰 이의 거듭제곱(power of two)으로 대체됩니다:

${\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\[12pt]>{}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}+\cdots \end{aligned}}$

조화 급수의 각 항은 두 번째 급수의 대응하는 항보다 크거나 또는 같고, 그러므로 조화 급수의 합은 두 번째 급수의 합보다 반드시 큽니다. 어쨌든, 두 번째 급수의 합은 무한입니다:

${\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}\!+\!{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}$

물론 이것 외에도 $b_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}$와 같은 수열도 반대-예제에 속합니다.