도형의 넓이(미적분2)

미적분1의 넓이에서 소개한 이론적 배경이 같지만, 다루는 함수는 초월함수로 바뀝니다.

기본예제

기본예제1

곡선 $y=\ln 2x$와 $x$-축, $y$-축 및 직선 $y=1$로 둘러싸인 도형의 넓이는?

해설: 로그의 밑이 1보다 큰 로그함수의 그래프이므로 증가함수이고, $y$-축의 오른쪽에 존재합니다.

또한, 진수가 1일 때, $x$-축과 만나므로, $x={\frac {1}{2}}$에서 축과 만납니다.

한편, $y$-축으로 둘러싸인 경우에 대해, 다음 식을 적용할 수 있습니다.

$\int _{c}^{d}|x|dy$

이때, $y$ 방향으로 직사각형을 만들기 때문에, 밑변이 무한소 $dy$로 표현되고, 높이가 $|x|$의 값입니다. 물론, 이 문제에서, 주어진 구간에서 x-좌표가 항상 양수이므로, 절댓값이 필요하지 않습니다.

주어진 식을 조작하여,

$y=\ln 2x\rightarrow x={\frac {1}{2}}e^{y}$

따라서, 넓이는

$S=\int _{0}^{1}{\frac {1}{2}}e^{y}dy={\frac {1}{2}}\left[e^{y}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{2}}(e-1)$

한편, 주어진 식을 $x$로 표현하는 것이 복잡, 또는 미분하는 것이 쉽지 않을 경우, 사각형의 넓이에서 $x$-축 사이의 넓이의 차이로 해당 넓이를 구할 수 있습니다.

$S={\frac {e}{2}}-\int _{\frac {1}{2}}^{\frac {e}{2}}\ln 2xdx$

이 문제에서, 이 방법은 부분적분법을 이용해야 하기 때문에, 좋은 선택은 아닙니다. 반면에, 주어진 식이 지수함수이고, y-축 사이의 넓이를 물어보면, 직접 적분할 때, 부분적분법이 사용되어야 하므로, 사각형의 넓이에서 x-축 사이의 넓이의 차이로 접근하는 것이 계산이 편할 수 있습니다.

기본예제2

곡선 $y={\sqrt {x}}$와 직선 $y=x$로 둘러싸인 도형의 넓이는?

해설: 두 도형으로 둘러싸인 도형의 넓이는 교점을 먼저 구해야 합니다.

${\sqrt {x}}=x$

양쪽 변을 제곱해서, 이차방정식을 풀면, $x=0,\;1$입니다. 물론 이 문제는 자주 다루는 함수이기 때문에, 그림을 그려볼 필요는 없지만, 대체로 그래프를 그려서 생각해 보는 것이 좋겠습니다. 만약 그래프의 개형을 그리기 어려운 경우에는, 교점 사이의 계산하기 편안한 점을 대입해서, 함숫값의 크기에 따라, 높이를 결정하는 함수의 차이를 정할 수 있습니다.

${\begin{aligned}S&=\int _{0}^{1}\left({\sqrt {x}}-x\right)dx\\&=\left[{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}x^{2}\right]_{0}^{1}={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{6}}\\\end{aligned}}$

또는, 무리함수와 $x$-축 사이의 넓이에서 이등변 삼각형의 넓이의 차이로 해당 넓이를 구할 수 있습니다.

$S=\int _{0}^{1}{\sqrt {x}}dx-{\frac {1}{2}}$

기본예제3

곡선 $y=\sin x+{\sqrt {3}}\cos x$와 $x$-축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? $\left(-{\frac {\pi }{3}}\leq x\leq {\frac {2}{3}}\pi \right)$

해설: 두 삼각함수의 합이 $x$-축과 만나는 점을 구하는 것은 어려운 일인데, 다행히 각에 대한 변수가 같기 때문에 삼각함수의 합성을 이용할 수 있습니다.

${\begin{aligned}\sin x+{\sqrt {3}}\cos x&=2\left({\frac {1}{2}}\sin x+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos x\right)\\&=2\left(\sin x\cos {\frac {\pi }{3}}+\cos x\sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\sin \left(x+{\frac {\pi }{3}}\right)\\\end{aligned}}$

그러므로, 주어진 구간은 사인함수의 주기의 절반이므로, 넓이는, 계산할 필요없이, $2\times 2=4$입니다.

사인함수와 코사인함수는 그의 주기, 예를 들어, $[0,2\pi ]$ 동안의 정적분은 항상 0입니다. 반면에 넓이는 주기의 구간에서 항상 4입니다. 이것으로부터, 구간 $\left[0,{\frac {\pi }{2}}\right]$ 사이의 넓이는 1이라는 사실을 알 수 있습니다.

기본예제4

곡선 $y=\ln x$와 원점에서 이 곡선에 그은 접선 및 $x$-축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

해설: 먼저 접선의 방정식을 구하기 위해, 접점을 $(t,\ln t)$로 두면, 원점과 접점 사이의 기울기는 접점에서의 도함수와 서로 같습니다.

${\frac {\ln t}{t}}={\frac {1}{t}}$

그러므로, $t=e$이고, 접선의 방정식은

$y={\frac {1}{e}}x$

그림처럼, 그려졌을 때, 구하려는 도형의 넓이는

첫 번째, 구간 [0,1]까지는 접선과 $x$-축 사이의 넓이를 구하고, 구간 [1,e]까지는 접선과 곡선 사이의 넓이를 구해서 합하는 방법입니다.

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}\cdot 1\cdot {\frac {1}{e}}+\int _{1}^{e}\left({\frac {1}{e}}x-\ln x\right)dx\\&={\frac {1}{2e}}+\left[{\frac {1}{2e}}x^{2}-x\ln x+x\right]_{1}^{e}\\&={\frac {1}{2e}}+\left({\frac {e}{2}}-e+e\right)-\left({\frac {1}{2e}}+1\right)\\&={\frac {e}{2}}-1\\\end{aligned}}$

두 번째, 구간 [0,e]까지 접선과 $x$-축 사이의 넓이를 구하고, 구간 [1,e]까지 곡선과 $x$-축 사이의 넓이를 구해서 빼는 방법입니다.

${\begin{aligned}S&={\frac {1}{2}}\cdot e\cdot 1-\int _{1}^{e}\ln xdx\\&={\frac {e}{2}}-\left[x\ln x-x\right]_{1}^{e}\\&={\frac {e}{2}}-\left\{(e-e)-(0-1)\right\}\\&={\frac {e}{2}}-1\\\end{aligned}}$

세 번째 구간 [0,1]까지 $y$-축 방향으로 곡선과 접선 사이의 넓이를 구하는 방법입니다. 이때,

$x=e^{y},\;x=ey$

따라서, 넓이는

${\begin{aligned}S&=\int _{0}^{1}\left(e^{y}-ey\right)dy\\&=\left[e^{y}-{\frac {1}{2}}ey^{2}\right]_{0}^{1}\\&=\left(e-{\frac {1}{2}}e\right)-1\\&={\frac {e}{2}}-1\\\end{aligned}}$

한편, 곡선 $y=\ln x$에 대해, 원점에서 그은 접선은 $y={\frac {1}{e}}x$이며, 반면에 곡선의 역함수 $y=e^{x}$에 대해, 원점에서 그은 접선은, 기울기가 역수이므로, $y=ex$입니다.

응용예제

응용예제1

곡선 $y=e^{2x}$와 $x$축 및 두 직선 $x=\ln {\frac {1}{2}},\;x=\ln 2$로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점] [2021학년도 수능 가형 8번]

해설: mowoum:도형의_넓이#응용예제1