등비수열의 합

등비수열의 합은 등비수열의 초항부터 제 $n$ 항까지의 합을 이르는 말입니다. 등차수열의 합과 마찬가지로 기호 $S_{n}$ 으로 나타내고 다음과 같이 구해집니다.

\left\{{\begin{aligned}r=1,&\quad S_{n}=n\cdot a_{1}\\r\neq 1,&\quad \displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-r^{n})}{1-r}}\end{aligned}}\right.

증명

등비급수는 공비 $r=1$ 일 경우에는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

{\begin{aligned}S_{n}&=a_{1}+a_{1}+\dots +a_{1}+a_{1}\\&=n\cdot a_{1}\end{aligned}}

등비급수는 공비 $r\neq 1$ 일 경우에는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 또한, 이 식에 공비 $r$ 을 곱한 식을 적습니다.

S_{n}=a_{1}+a_{1}r+\dots +a_{1}r^{n-2}+a_{1}r^{n-1}\quad \cdots (1)

rS_{n}=a_{1}r+a_{1}r^{2}+\dots +a_{1}r^{n-1}+a_{1}r^{n}\quad \cdots (2)

이 두식의 차이를 구하면, 대부분 같은 항은 사라지고, 다음과 같이 구해집니다.

(1-r)S_{n}=a_{1}-a_{1}r^{n}

그러므로 등비급수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\displaystyle \therefore S_{n}={\frac {a_{1}(1-r^{n})}{1-r}}

여기서 주목할 것은 등비급수의 식에서는 지수가 더해지는 항의 개수 $n$ 의 함수입니다. 그러므로 문제에서 주어지는 지수와 혼동하는 일이 없어야 합니다. 이에 대한 대표적인 예제는 원리합계에서 볼 수 있습니다.

첫째항이 1이고 공비가 양수인 등비수열이 있다. 이 수열의 홀수 번째 항의 합은 341이고, 짝수번째 항의 합은 170입니다. 이 수열의 공비와 항수를 구하여라.