등차수열의 합

등차수열의 합은 등차수열의 초항부터 $\mathbf {n}$ 항까지의 합을 이르는 말입니다. 합은 기호 $S n$ 으로 나타내고, 다음과 같이 구해집니다.

\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n\left(2a_{1}+(n-1)d\right)}{2}}

증명

등차급수의 정의에 따라 수식을 표현하고, 주어진 항을 역순으로 적어도 같은 등차급수를 표현합니다.

S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1}+a_{n}

S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+\dots +a_{2}+a_{1}

위의 두 수식을 변변 더하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+\dots +(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})

여기서 두 개의 항이 더해진 값들은, 등차수열의 성질에 따라서, 서로 같음을 알 수 있습니다.

a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+d+a_{n}-d=a_{1}+a_{n}

a_{3}+a_{n-2}=a_{1}+2d+a_{n}-2d=a_{1}+a_{n}

\quad \vdots

그러므로 특별히 $a_{1}+a_{n}$ 을 선택하다면, 동일한 값이 $n$ 개 더하는 수식을 간단히 곱셈을 이용하여 적을 수 있습니다.

2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n

양변을 $2$ 로 나누면 등차급수에 대한 공식을 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \therefore S_{n}={\frac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\cdot n

여기서 선택된 항이 반드시 초항 $(a_{1})$ 과 말항 $(a_{n})$ 일 필요는 없습니다. 더해진 두 항의 위치의 합이 $n+1$ 인 두 항은 언제든지 공식의 $a_{1}+a_{n}$ 을 대체할 수 있습니다. 예를 들어, $a_{3}+a_{n-2}$ , $a_{k}+a_{n-k+1}$ 여기서 ( $k<n$ ) 등의 어떤 것으로 바꾸어도 상관없습니다.

한편, 첫째항을 $n$ 항을 알고 있을 때 사용하는 등차수열의 합으로부터 일반항 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 를 대입해서 정리하면 다음과 같습니다.

\displaystyle S_{n}={\frac {n(2a_{1}+(n-1)d)}{2}}

다른 측면

위의 수식을 다음과 같이 바꾸어서 생각할 수도 있습니다.

{\frac {S_{n}}{n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}

좌변은 원소가 $n$ 개인 등차수열의 합해서 개수 $n$ 으로 나눈 값이므로 등차수열의 평균값입니다.

그러므로 등차급수는 { $a_{n}$ }의 평균값 x { $a_{n}$ }의 항의 개수로 정리할 수 있습니다(여기서, $a_{n}$ 은 유한수열입니다).

등차급수의 공식은 실생활에서는 도형의 넓이(ex-사다리꼴의 넓이)를 구하는데 주로 사용됩니다.

수열의 일반항과 급수의 관계

만약 등차급수로부터 일반항의 공식을 얻고 싶을 때에는 어떻게 할까요?

수열의 합에서 첫항으로부터 $n$ 항까지의 합을 표현한 것이 $S_{n}$ 입니다. 여기서 주목할 것은 시작이 첫항이 아니면, 한 개의 수열의 합으로 표현이 불가능합니다. 그리고, 더하는 항의 개수가 수열의 합의 아래첨자를 결정합니다. 즉, 아래와 같이 두 개의 수식을 만들 수 있습니다.

S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}

S_{n-1}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n-1}

위의 두 수식을 변변 빼주면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

S_{n}-S_{n-1}=a_{n}\quad \cdots (1)

그러나 이 수식은 $n=1$ 일 때 다음과 같이 나타납니다.

S_{1}-S_{0}=a_{1}

수열에서는 0번째 항은 정의가 되지 않기 때문에 $n=1$ 때에는 (1)의 수식을 이용할 수 없습니다.

한편 $n=1$ 일 때에는 등차급수의 정의에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

S_{1}=a_{1}

이를 정리하면 다음과 같습니다.

\left\{{\begin{aligned}&a_{1}=S_{1}\\&a_{n}=S_{n}-S_{n-1}\;({\text{where}},\;n\geq 2)\end{aligned}}\right.

이 내용은 등차수열이 아닌 모든 수열에 공통으로 이용할 수 있습니다.

등차급수와 등차수열의 일반항

등차급수는 $n$ 에 대한 이차식으로 정리할 수 있습니다.

S_{n}=pn^{2}+qn

(단,

p,q

는 상수,

d\neq 0

)

이제 수열의 합과 일반항의 관계를 알았기 때문에 이 식으로부터 등차수열의 일반항을 얻어 보겠습니다.

{\begin{aligned}a_{n}&=pn^{2}+qn-\left\{p(n-1)^{2}+q(n-1)\right\}\\&=2pn-p+q\end{aligned}}

그러므로 다음과 같이 적을 수 있습니다.

\left\{{\begin{aligned}&a_{1}=p+q\\&a_{n}=2pn-p+q\;({\text{where}},\;n\geq 2)\end{aligned}}\right.

그러나 위에서 얻어진 일반항에 $a_{n}$ 에 $n=1$ 을 대입하면, 별도로 계산한 $a_{1}=p+q$ 의 값과 같아집니다. 이런 경우라면 첫항을 별도로 적어줄 필요가 없으므로, 다음과 같이 한 개의 식으로 적어줍니다.

a_{n}=2pn-p+q

이는 수열의 합이 상수항이 없는 $n$ 에 이차식으로 주어지면, 원래 수열은 첫항부터 등차수열을 이룸을 뜻합니다.

그럼 상수항이 있을 때에는 어떻게 될까요?

S_{n}=pn^{2}+qn+r

이때에는 일반항이 다음과 같이 구해집니다.

\left\{{\begin{aligned}&a_{1}=p+q+r\\&a_{n}=2pn-p+q\;({\text{where}},\;n\geq 2)\end{aligned}}\right.

이 식은 일반항에 $n=1$ 을 대입하면 위쪽에 구해진 첫항과 다릅니다. 당연히 참값은 주어진 조건에서 얻은 $a_{1}=p+q+r$ 입니다. 이때에는 첫 번째 항은 등차수열을 이루지 못하고, 두 번째 항부터 등차수열을 이룹니다. 따라서, (전체) 수열은 등차수열이 아닙니다.

수열의 합이

n

에 대한 이차식일 때에는 원래 수열은 첫 번째나 두 번째부터 등차수열을 이룹니다. 이때의 공차는 등차급수의 이차항의 계수의 2배가 됨을 식에서 볼 수 있습니다. 이 사실을 기억하고 있다면, 일반항

a_{n}

을 구할 때 복잡한 식을 이용할 필요가 없습니다.

예를 들어, $S_{n}=3n^{2}-4n$ 으로 주어지면, 상수항이 없으므로 첫째항부터 등차수열을 이루고 공차 $d=6$ 임을 알 수 있습니다. 또한, $a_{1}=-1$ 이므로 다음과 같이 등차수열을 바로 적을 수 있습니다.

a_{n}=6n-7

공차는 알고 있으므로 $6n$ 을 먼저 적고 뒤의 상수항은 $n=1$ 을 대입했을 때, $a_{1}=-1$ 이 되는 값을 적어줍니다.

한편, 상수항이 있을 때에는 다르게 적어주어야 합니다.

예를 들어, $S_{n}=3n^{2}-4n+5$ 와 같이 주어지면, 일반항은 다음과 같이 표현해 주어야 합니다.

\left\{{\begin{aligned}&a_{1}=4\\&a_{n}=6n-7\;({\text{where}},\;n\geq 2)\end{aligned}}\right.

아래의 일반항을 구할 때에는 상수항을 없애고 위에서 사용한 방법을 이용합니다. 즉, 초항만 별도로 적어주면 됩니다.

응용예제

응용예제1

$n$ 이 1보다 크고 100보다 작은 자연수일 때, 다음 식의 최솟값을 구하여라.

\mathrm {S} =|n-1|+|n-2|+|n-3|+\cdots +|n-100|

해설: mowoum:등차수열의 합#응용예제1

응용예제2

공차가 양수인 등차수열의 홀수 번째 항의 합은 72, 짝수 번째 항의 합은 60일 때, 이 등차수열의 항수를 구하여라.

해설: mowoum:등차수열의 합#응용예제2

응용예제3

양의 실수 $x$ 에 대하여 $x-\lfloor x\rfloor ,\lfloor x\rfloor ,x$ 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, $x-\lfloor x\rfloor$ 의 값은? (단, $\lfloor x\rfloor$ 는 $x$ 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)