로그부등식

로그방정식에서 등호 대신에 부등호를 사용하면, 로그부등식이 됩니다.

로그부등식에서도 부등식 자체를 푼 해와 진수 조건과 밑수 조건의 교집합이 해입니다.

항이 2개인 로그부등식

밑이 같거나, 또는 밑이 같지 않더라도, 밑수 사이에 서로 지수배이면, 밑수를 같게 만들어서

• $a>1$이면 $\log _{a}f(x)>\log _{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)>g(x)$
• $0<a<1$이면 $\log _{a}f(x)>\log _{a}g(x)\Leftrightarrow f(x)<g(x)$

항이 3개 이상인 로그부등식

일반적으로 로그부등식에 $\left(\log _{a}x\right)^{2}$과 같은 항이 존재하는 경우에서, $\log _{a}x=t$로 치환해서 부등식의 해를 구합니다.

그런 다음, 원래 변수에 대해 부등식을 다시 한번 풀어줍니다.

이때, 위와 마찬가지로, 밑수에 따라 부등호의 방향이 바뀌니 주의할 필요가 있습니다.

지수에 로그가 포함된 로그부등식

보통 지수에 복잡한 식이 있으면, 방정식 또는 부등식 양쪽 변에 로그를 취해서, 지수를 곱의 형태로 만들어서 풉니다.

이 경우에서, 지수에 로그를 포함할 때에 양쪽 변에 로그를 취하는데, 로그의 밑에 따라 부등호의 방향이 바뀌니 주의가 필요합니다. 즉,

$x^{\log _{2}x}<16x$

와 같은 경우에서, 지수를 곱으로 내리기 위해, 양쪽 변에 로그를 취하는데, 로그의 밑을 맞추기 위해, 밑수 2인 로그를 취할 것입니다. 이때, 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.

$(\log _{2}x)\cdot \log _{2}x<\log _{2}16x$

반면에, 다음 로그부등식

$x^{\log _{\frac {1}{2}}x}<16x$

으로 주어지면, 양쪽 변에 밑수 1/2의 로그를 취합니다. 이때, 부등호의 방향이 바뀝니다.

$\left(\log _{\frac {1}{2}}x\right)\cdot \log _{\frac {1}{2}}x>\log _{\frac {1}{2}}16x$

응용예제

응용예제1

부등식

$\left(\log _{\frac {1}{2}}x^{2}\right)\left(\log _{2}x^{2}\right)+24\log _{2}|x|\geq n$

이 다음 조건을 모두 만족시키도록 하는 자연수 $n$의 값을 구하시오.

(ㄱ) 부등식을 만족시키는 양수 $x$의 최솟값, 최댓값은 모두 자연수이다.

(ㄴ) 부등식을 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수는 26이다.

해설: mowoum:로그부등식#응용예제1