매개변수로 나타낸 함수의 미분과 접선

좌표 평면 위를 움직이는 대상의 좌표가 시간 $t$의 함수로 알려져 있을 때, 예를 들어,

$x=t-2,\;y=2t^{2}-4$

로 주어지면,

$t=x+2$

으로 조작한 후,

$y=2\left(x+2\right)^{2}-4$

와 같이, $y$를 $x$에 관한 함수로 만들 수 있습니다.

일반적으로 두 변수 $x,y$ 사이의 관계를 다른 변수 $t$를 매개로 하여

$x=f(t),\;y=g(t)\cdots (1)$

의 꼴로 나타낼 때 변수 $t$를 매개변수라고 하며, 식 (1)을 매개변수로 나타낸 함수라고 합니다.

어쨌든, 식 (1)에서, 위의 예제처럼, $t=h(x)$로 조작이 가능하면,

$y=g(h(x))$

와 같이, $y$를 $x$에 대한 두 함수의 합성함수로 표현할 수 있습니다.

그러나, $t$를 $x$의 함수로 나타내지 못하면, $y$를 $x$에 관한 함수로 나타낼 수 없습니다.

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

한편, 매개변수로 표현한 함수에 대한 접선을 구할 경우에서, 도함수를 활용할 수 있습니다.

식 (1)에서, 각 매개변수에 대한 도함수는

${\frac {dx}{dt}}=f'(t),\;{\frac {dy}{dt}}=g'(t)$

또한, 체인 규칙에 의해, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}\\&={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {1}{\frac {dx}{dt}}}\\&={\frac {g'(t)}{f'(t)}}\\\end{aligned}}$

여기서, 매개변수로 나타낸 함수는 $t$에 대해서 미분가능하고, $f'(t)\neq 0$여야 합니다.

매개변수로 나타낸 곡선의 접선의 방정식

위의 예제

$x=t-2,\;y=2t^{2}-4$

에 대해, $t=3$, 즉, $(1,14)$에서의 접선의 방정식은

${\frac {dy}{dx}}={\frac {4t}{1}}$

이고, $t=3$에서 기울기는 12이므로, 접선의 방정식은

$y-14=12(x-1)$

물론, 아래와 같이 함수로 고쳤다면,

${\begin{aligned}y&=2\left(x+2\right)^{2}-4\\&=2x^{2}+8x+4\\\end{aligned}}$

이고, 도함수 $y'=4x+8$이므로, 접점에서 기울기는 똑같이 12입니다.

매개변수를 하나의 함수로 만들지 못하는 경우, 또는, 하나의 합성함수로 만들수 있는 경우에도 매개변수를 두고 접선을 구하는 것이 계산에서 편의가 있습니다. 왜냐하면, 대입하고 전개하는 과정이 필요없는 것은 물론이고, 합성함수는 일반적으로 차수가 올라가서 더 복잡해지기 때문입니다.