무연근

무연근은 원래 방정식을 직접적으로 해결하는 것이 어렵거나 불가능해서, 대수적 연산을 통해 만들어진, 보통 더 쉬운, 방정식을 풀었을 때 생성된 근의 일부가 원래 방정식의 근이 아닌 것을 참조하는 용어입니다. 어쨌든, 이 용어는 한자의 의미를 모들 때 이해하기 힘들 수 있으므로, 가짜 해 정도로 기억해 둘 수 있습니다.

고등학교 교과 과정에서, 이 상황은 몇 가지 경우에 발생합니다.

먼저 다항식이 분모와 분자에 존재하는 유리 방정식을 푸는 경우에 발생하는데, 이 경우에서 분모의 최소 공배수를 양쪽 변에 곱하고, 결과로 만들어지는 다항 방정식을 푸는데, 다항 방정식의 근이 되지만, 유리 방정식의 분모가 0이 되도록 하는 근이 가짜 해가 됩니다.

다음으로, 제곱근 기호를 포함하는 제곱근 방정식은 제곱근을 포함하는 식을 한쪽 변에 두고, 남은 항을 다른 변으로 옮겨 양쪽 변을 제곱해서, 전체가 다항 방정식이 되도록 만들어서 해를 구합니다. 이때 만들어진 해 중에서 원래 식에 대입했을 때, 식을 만족하지 않는 근이 가짜 해입니다.

예제

유리 분수 방정식

유리 (분수) 방정식은 분모와 분자가 일차 이상의 다항식으로 이루어진 방정식을 말합니다. 예를 들어 다음 방정식을 풀어 보십시오.

{\frac {x^{2}+x+1}{x-2}}-{\frac {x+2}{x-1}}={\frac {3}{(x-1)(x-2)}}-2

먼저, 양쪽 변에 분모의 최소공배수, $(x-2)(x-1)$ 을 곱하면,

(x-1)(x^{2}+x+1)-(x+2)(x-2)=3-2(x-1)(x-2)

정리하면,

x^{3}+x^{2}-6x+4=0

인수정리를 이용해서 인수분해하면,

(x-1)(x^{2}+2x-4)=0

이 삼차 방정식은 3개의 해, $x=1,x=-1\pm {\sqrt {5}}$ 를 가집니다. 여기서 $x=1$ 은 원래 식에 대입했을 때, 분모를 0으로 만들기 때문에 해가 되지 않고, 나머지 2개가 원래 방정식의 해입니다. 이때, $x=1$ 은 가짜 해입니다.

제곱근 방정식

제곱근 방정식은 제곱근 기호 안에 다항식을 포함한 방정식을 말합니다. 예를 들어 다음 방정식을 풀어 보십시오.

{\sqrt {x+2}}=x

먼저, 양쪽 변에서 제곱근 기호를 제거하기 위해, 제곱해서 정리하면,

x^{2}-x-2=0

이 이차방정식을 풀면, $x=-1,2$ 의 해를 가지지만, 원래 방정식은 $x=-1$ 을 대입하면 식을 만족하지 않으므로 가짜 해이고, 대입했을 때 식을 만족하는 $x=2$ 가 해입니다.

보통 제곱근 방정식에서는 양쪽 변의 부호로 가짜 해를 판별할 수 있습니다. 이 문제에서, 왼쪽 변에서 $x$ 를 변경하더라도 제곱근 앞의 부호를 변경할 수 없으므로, 마찬가지로 오른쪽 변도 부호가 양이어야 합니다.

기하학적으로 보자면, 위의 방정식은 다음 두 함수의 교점의 $x$ -좌표가 근입니다:

y={\sqrt {x+2}},\;\;y=x

그림에서 보자면, 교점이 $x=2$ 에서 발생함을 알 수 있습니다. 우리가 대수적으로 이 방정식을 풀기 위해, 양쪽 변을 제곱함으로써, 오른쪽 변의 제곱근의 부호가 양수였는지 음수였는지 알 수가 없게 됩니다. 말하자면, 아래 두 함수의 교점을 푸는 방정식을 제곱해도 같은 다항 방정식이 만들어집니다: