미적분의 기본 정리

Main article: Fundamental theorem of calculus

정적분에서, 구분구적법으로 만들어진 식을 정적분으로 정의하는 것을 배웠습니다. 이제 정적분으로 표현된 식의 값을 구하는 것을 알아 보려고 합니다.

정적분과 미분의 관계

함수 $y=f(t)$가 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이고, $f(t)\geq 0$라고 하면, 닫힌 구간 [a, b]에 속하는 임의의 $x$에 대하여 $a$에서 $x$까지 함수 $y=f(t)$와 $t$-축 사이의 넓이를 $S(x)$라 하면, 정적분의 정의에 따라, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$S(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$

이때, $x$의 증분 $\Delta x(>0)$에 대한 $S(x)$의 증분을 $\Delta S$라 하면, 그의 넓이, 즉 정적분의 차이로 다음고 같이 나타낼 수 있습니다.

$\Delta S=S(x+\Delta x)-S(x)$

한편, 닫힌 구간 $[x,x+\Delta x]$에서 함수 $f(t)$는 마차가지로 연속이므로, 극단 값 정리에 따라, 최댓값과 최솟값을 가집니다.

그림처럼, 그 최댓값과 최솟값을 각각 $M,m$이라 하면, 넓이의 증분은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

$m\Delta x\leq \Delta S\leq M\Delta x$

또한, $\Delta x>0$이므로, 부등식의 모든 항을 증분으로 나누면

$m\leq {\frac {\Delta S}{\Delta x}}\leq M$

이때, $x$의 증분을 무한소로 만들면, 즉, $\Delta x\to 0$이면,

$\lim _{\Delta x\to 0}m\leq \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta S}{\Delta x}}\leq \lim _{\Delta x\to 0}M$

한편, 함수 $f(t)$는 닫힌 구간 [a, b]에서 연속이므로,

$\Delta x\to 0$이면, $x+\Delta x\to x$이므로,

$m\to f(x),\;M\to f(x)$

그러므로, 샌드위치 정리에 의해,

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta S}{\Delta x}}=f(x)$

즉,

${\frac {d}{dx}}S(x)=f(x)$.

위의 식을 대입하면,

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

이 관계식은, $f(t)<0$인 경우에 대해, 비록 그의 부등호의 방향이 반대가 될지라도, 여전히 샌드위치 정리를 적용함으로써, 성립함을 보일 수 있습니다.

이 관계는 미적분학의 첫 번째 기본 정리라고 불립니다.

정적분에서는 아래끝과 위끝이 결정됨으로써, 적분한 후에 그 결과를 미분할 때, 일정한 형태를 띄는 부정적분과 대조적으로, 일정한 모양을 띄지는 않습니다. 즉, 정적분은 아래끝, 위끝을 대입함으로써, 어떤 함수인지 결정되기 때문에, 그 후의 미분은 정적분의 결과로 나온 함수에 의존합니다.

예를 들어, 상수 a 및 함수 $f(x)$에 대하여

${\frac {d}{dx}}\int _{x}^{a}f(t)dt=-f(x)$

더구나, $x>1$ 및 함수 $f(x)$에 대하여

${\frac {d}{dx}}\int _{x}^{x^{2}}f(t)dt=2xf\left(x^{2}\right)-f(x)$

미적분의 기본 정리

이제, 구분구적법을 정적분으로 표현한 것을 부정적분을 통해서 그 값을 구하려고 하는데, 보통 미적분학의 두 번째 기본 정리라고 불립니다.

함수 $S(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt$의 양변을 $x$에 관하여 미분하면

$S'(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt=f(x)$

이므로, $S(x)$는 $f(x)$의 부정적분 중에 하나입니다.

그러므로, $f(x)$의 부정적분 중 다른 하나를 $F(x)$로 놓으면

$S(x)=F(x)+C\cdots (1)\;$ (C는 적분상수)

그런데, $S(x)$를 구하는 정적분의 정의 식에서 $x=a$이면, 위끝과 아래끝이 같기 때문에, $S(a)=0$입니다 (위끝와 아래끝이 같으면 한 지점, 선분으로 표현되기 때문에, 넓이(부정적분)는 영입니다). 마찬가지로 식 (1)에 $x=a$를 대입하면,

$S(a)=F(a)+C=0$이고

$C=-F(a)$

이 결과를 식 (1)에 대입하면,

${\begin{aligned}S(x)&=F(x)-F(a)\\&=\int _{a}^{x}f(t)dt\cdots (2)\\\end{aligned}}$

식 (2)에 $x=b$를 대입하고, 적분변수 $t$를 $x$로 바꾸면,

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)\right]_{a}^{b}=F(b)-F(a)\cdots (3)$

여기서 중간 식은 부정적분으로부터 정적분 값을 계산하기 위한 표기법입니다.

식 (3)에서, 부정적분을 표현할 때, 적분 상수를 사용하지 않았는데, 그 이유는 다음 수식으로 이해해 볼 수 있습니다.

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\left[F(x)+C\right]_{a}^{b}=\left(F(b)+C\right)-\left(F(a)+C\right)$

적분상수 C의 존재 유무와 상관없이, 식 (3)이 항상 성립하므로, 적분상수를 넣어서 계산할 필요가 없습니다.

특수한 경우

미적분의 두 번째 정리 중에 사용했던, 아래끝과 위끝이 같으면,

$\int _{a}^{a}f(x)dx=0$

아래끝과 위끝의 위치가 바뀌면,

$\int _{a}^{b}(x)dx=-\int _{b}^{a}f(x)dx$

부정적분과 정적분의 표현의 차이

위의 전개에서, 적분변수 $t$를 $x$로 바꾸는 과정이 있습니다.

먼저, 부정적분에서는 적분변수를 바꿀 수 없습니다. 즉,

$\int f(x)dx\neq \int f(t)dt$

왼쪽 변의 결과 식은 $x$의 함수이고, 오른쪽은 $t$의 함수이므로, 서로 다릅니다.

반면에, 정적분에서 변수는 숫자를 대입하기 위한 변수이므로, 어떤 문자가 되더라도, 값은 값이 대입됩니다. 따라서,

$\int _{a}^{b}f(t)dt=\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(y)dy$