중등 교육과정의 수체계는 다음과 같습니다.
자연수(Natural number) : 수를 셀 때나 순서를 매길 때 사용되는 수로써 양의 정수 로 정의됩니다.
정수(Interger) : 자연수와 이들의 음수와 0으로 이루어진 수 체계입니다.
유리수(Rational number) : 두 정수의 분수 형태(단, 분모
≠
0
{\displaystyle \neq 0}
무리수(Irrational number) : 두 정수의 비의 형태로 나타낼 수 없는 실수를 말합니다.
실수(Real number) : 수직선 위의 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수 체계입니다. 이전 과정에서, 실수가 다른 모든 숫자를 포함하는 가장 큰 범위를 가지지만, 실수가 아닌 숫자가 등장합니다. 용어 자체는 실수(real number)가 아닌 숫자라는 의미로 허수(imaginary number)를 사용하지만, 숫자 자체가 상상의 숫자는 아닙니다.
실수는 양수, 0, 음수로 나눌 수 있습니다. 이 세 종류로 분류된 실수를 제곱하면, 다음의 결과를 얻을 수 있습니다.
(양수)2 > 0, 02 = 0, (음수)2 > 0 여기서 의문이 생깁니다. 제곱을 했을 때 음의 값을 가지는 숫자는 없을까요? 즉, 다음의 방정식을 만족하는 숫자는 정의할 수 없는 걸까요?
x
2
=
−
1
⋯
(
1
)
{\displaystyle x^{2}=-1\cdots (1)}
이런 문제는 실수 숫자 시스템에서는 없습니다 가 정답이었지만, 이제 이런 경우에도 해가 있음을 정의하고 해를 표현하는 방법을 만들려고 합니다.
우선, 이 문제는 실수 체계에서는 제곱근의 문제로 다루어져 왔습니다.
x
2
=
a
{\displaystyle x^{2}=a}
a
≥
0
{\displaystyle a\geq 0}
이 방정식의 해는 다음과 같습니다.
x
=
±
a
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {a}}}
실수의 조건을 만족하지 않지만, 실수에서의 방법을 적용해서, 식 (1)의 해를 표현하면 다음과 같습니다.
x
=
±
−
1
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}
앞으로 이런 숫자를, 실수(real number)에는 없다는 것을 강조해서, 허수(i maginary number)라고 부르지만, 실수와 마찬가지로, 하나의 숫자입니다.
그중에서 부호가 양인
−
1
=
i
{\displaystyle {\sqrt {-1}}=i}
허수단위 라고 부릅니다.
실수가 아닌 허수에는 대소관계가 없기 때문에, 허수단위를 –i 를 선택할 수도 있었지만, 수학에서 대체로 양의 부호를 먼저 사용했고, 게다가, 생략해서 사용해 왔기 때문에, 부호가 양수인 것을 허수단위로 정한 것 뿐입니다.
또한, 이 영역을 확장해서 아래와 같이 허수의 제곱근을 정의합니다.
−
a
=
a
i
{\displaystyle {\sqrt {-a}}={\sqrt {a}}i}
(a > 0인 실수) 한편, 허수단위
i
{\displaystyle i}
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
i
=
i
5
=
i
9
=
⋯
=
i
4
k
+
1
=
i
i
2
=
i
6
=
i
10
=
⋯
=
i
4
k
+
2
=
−
1
i
3
=
i
7
=
i
11
=
⋯
=
i
4
k
+
3
=
−
i
i
4
=
i
8
=
i
12
=
⋯
=
i
4
k
+
4
=
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&i=i^{5}=i^{9}=\cdots =i^{4k+1}=i\\&i^{2}=i^{6}=i^{10}=\cdots =i^{4k+2}=-1\\&i^{3}=i^{7}=i^{11}=\cdots =i^{4k+3}=-i\\&i^{4}=i^{8}=i^{12}=\cdots =i^{4k+4}=1\\\end{aligned}}}
여기서
k
{\displaystyle k}
결국 i n (n 은 자연수){i , –1, −i , 1 }의 네 원소중 하나입니다.
복소수 복소수(Complex number)는 이전의 실수와 허수를 포함하는 수체계입니다.
Z
=
a
+
b
i
{\displaystyle \mathbb {Z} =a+bi}
(a , b ∈ 실수) 여기서
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
복소수는 실수부, 허수부의 존재 유무에 따라 크게 3종류로 나누어서 생각할 수 있습니다.
조건
표현
수체계
b
=
0
{\displaystyle b=0}
Z
=
a
{\displaystyle \mathbb {Z} =a}
실수
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
Z
=
a
+
b
i
{\displaystyle \mathbb {Z} =a+bi}
허수
a
=
0
,
b
≠
0
{\displaystyle a=0,b\neq 0}
Z
=
b
i
{\displaystyle \mathbb {Z} =bi}
순허수
순허수에 대한 정의는 수학자마다 다를 수 있습니다. 일부 수학자는, 비록 실수부가 영일지라도, 순허수로 분류하기 때문에 영(0)도 순허수에 포함시키기도 합니다. 그러므로, 문제에서 명확하게 지칭을 하지 않을 경우에는 문제 자체가 틀린 것으록 여길 수 있습니다.
복소수는 교환, 결합, 분배법칙이 가능하며, 대부분 실수의 특징을 따릅니다.
그러나 크기를 비교하는 부등호는 수직선 상에 표현되는 실수에서 정의되기 때문에 복소수 사이의 대소 비교는 정의되지 않습니다.
복소수 상등 두 개의 복소수가 서로 같을 조건은 실수부와 허수부가 모두 같아야 합니다. 실수
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
a
+
b
i
=
c
+
d
i
⇒
a
=
c
,
b
=
d
{\displaystyle a+bi=c+di\Rightarrow a=c,b=d}
a
+
b
i
=
0
⇒
a
=
0
,
b
=
0
{\displaystyle a+bi=0\Rightarrow a=0,b=0}
복소수 상등은 실수부와 허수부가 실수일 때에만 정의됩니다. 만약 실수라는 표현이 없으면,
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
어려운 문제 로 출제하는 부분중에 하나입니다.
기본예제 예제1 다음을 허수단위
i
{\displaystyle i}
(1)
−
9
{\displaystyle {\sqrt {-9}}}
해설) 허수의 정의에 따라,
−
9
=
9
i
=
3
i
{\displaystyle {\sqrt {-9}}={\sqrt {9}}i=3i}
(2)
−
−
12
{\displaystyle -{\sqrt {-12}}}
해설) 허수의 정의에 따라,
−
−
12
=
−
12
i
=
−
2
3
i
{\displaystyle -{\sqrt {-12}}=-{\sqrt {12}}i=-2{\sqrt {3}}i}
예제2 다음 수의 제곱근을 구하여라.
(1)
−
7
{\displaystyle -7}
해설) 어떤 수의 제곱근은 방정식을 푸는 문제입니다. 다음의 방정식의 해가 정답입니다.
x
2
=
−
7
{\displaystyle x^{2}=-7}
수의 제곱근을 구하는 방법은 실수의 것을 그대로 따릅니다. 그래야 허수가 정의되기 때문입니다.
∴
x
=
±
−
7
=
±
7
i
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {-7}}=\pm {\sqrt {7}}i}
예제3 다음 등식이 성립하도록 두 실수
x
,
y
{\displaystyle x,y}
(1)
(
x
+
y
)
+
5
i
=
3
+
y
i
{\displaystyle (x+y)+5i=3+yi}
해설) 복소수 상등에 따라,
x
+
y
=
3
,
5
=
y
{\displaystyle x+y=3,5=y}
∴
x
=
−
2
,
y
=
5
{\displaystyle x=-2,y=5}
응용예제 응용예제1 이차방정식
x
2
+
i
x
+
2
b
+
a
i
=
0
{\displaystyle x^{2}+ix+2b+ai=0}
a , b a , b
해설: mowoum:복소수의 정의#응용예제1
응용예제2 그림과 같이 크기가 다른 정육면체 및 직육면체 모양의 상자
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle \mathrm {A,B,C,D} }
a
+
b
5
{\displaystyle a+b{\sqrt {5}}}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
해설: mowoum:복소수의 정의#응용예제2
응용예제3 다음 등식을 만족하는 100보다 작은 자연수
n
{\displaystyle n}
1
i
−
1
i
2
+
1
i
3
−
1
i
4
+
⋯
+
(
−
1
)
n
+
1
i
n
=
1
−
i
{\displaystyle {\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i^{2}}}+{\frac {1}{i^{3}}}-{\frac {1}{i^{4}}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n+1}}{i^{n}}}=1-i}
해설: mowoum:복소수의 정의#응용예제3
응용예제4
x
{\displaystyle x}
z
=
(
2
−
i
)
x
2
+
2
i
x
+
3
i
−
2
{\displaystyle z=(2-i)x^{2}+2ix+3i-2}
(ㄱ)
z
2
{\displaystyle z^{2}}
x
{\displaystyle x}
(ㄴ)
z
2
{\displaystyle z^{2}}
x
{\displaystyle x}
해설: mowoum:복소수의 정의#응용예제4
응용예제5
z
≠
z
¯
{\displaystyle z\neq {\overline {z}}}
(
z
−
1
)
2
{\displaystyle (z-1)^{2}}
z
+
z
¯
{\displaystyle z+{\overline {z}}}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
해설: mowoum:복소수의 정의#응용예제5
응용예제6 그림과 같이 크기가 다른 직사각형 모양의 색종이
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
C
{\displaystyle \mathrm {C} }
이들을 모두 사용하여 겹치지 않게 빈틈없이 이어 붙여서 하나의 직사각형을 만들었다. 이 직사각형의 둘레의 길이가
a
+
b
3
{\displaystyle a+b{\sqrt {3}}}
a
+
b
{\displaystyle a+b}
해설: mowoum:복소수의 정의#응용예제6
응용예제7 제곱하여
2
i
{\displaystyle 2i}
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
해설: 이런 문제를 처음 겪게 되는 학생들은 어떤 생각으로 문제를 접근할 수 있을까요?
우선, 처음 주어진 숫자는 복소수이고, 그것을
x
{\displaystyle x}
x
2
=
2
i
{\displaystyle x^{2}=2i}
이것은, 제곱근의 문제이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
x
=
±
2
i
{\displaystyle x=\pm {\sqrt {2}}{\sqrt {i}}}
따라서, 위의 두 숫자의 합은 0입니다.
위의 풀이는 약간의 문제가 있는데, 허수 단위를 나타내는
i
{\displaystyle i}
그렇지만, 두 복소수를 표현했다는 사실은 변함이 없기 때문에, 무작정 틀렸다고 하기에는 무리가 있어 보입니다. 이런 풀이는 고등학교에서 원하는 풀이가 아니기 때문에 무조건 배척되어야 하는지도 생각해 볼 문제입니다.
어쨌든, 고등학교에서 원하는 풀이과정은 아래와 같은 것으로 기대됩니다.
먼저, 주어진 복소수를
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
a ,b
(
a
+
b
i
)
2
=
2
i
{\displaystyle (a+bi)^{2}=2i}
주어진 식을 전개해서 복소수 상등을 사용하면,
a
2
−
b
2
=
0
,
2
a
b
=
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=0,2ab=2}
이제 이원이차 연립방정식으로 답을 쉽게 적을 수 있습니다.
