복잡한 식의 인수분해

자연 현상 또는 현실 세계의 문제를 모델링했을 때, 하나의 변수를 가지는 경우는 매우 드뭅니다. 대체적으로 여러 개의 변수를 갖기 때문에, 주어진 식이 비록 다항식의 형태를 가지고 있더라도 변수는 여러 개 발생할 수 있습니다.

따라서, 여러 개의 변수가 있어서 복잡해 보이는 경우에 대해, 인수분해를 할 필요가 있습니다.

물론 고등학교 과정에서는 컴퓨터의 도움을 받지 못하기 때문에, 연필과-종이로 이용해서 처리할 수 있는 가장 간단한 형태를 다룹니다.

공통인수가 있는 경우

공통부분이 있는 식은 공통부분을 다른 문자(주로 $t$ )로 치환한 후에 대체로 더 간단한 식을 조작할 수 있습니다. 비록 더 간단하지 않더라도, 기존에 알려진 형태를 만들 수 있으면, 언제든지 대체를 통해 인수분해를 시도할 수 있습니다.

이때, 원래 식의 상수를 제외한 모든 문자가 $t$ 로 대체되어야 합니다. 그렇지 않으면, 원래 식이 $x$ 에 대한 다항식이었다면, $x,t$ 의 다항식이 되기 때문에 인수분해하기가 더 어려워집니다.

복이차식

복이차식은 차수가 짝수인 항으로 이루어진 다항식을 이르는 말입니다.

이때에는 크게 두 가지 상황이 발생합니다.

$x^{2}=t$ 로 대체해서, 인수분해가 바로 되는 경우가 있습니다.
그렇지 않으면, 완전제곱식의 차이로 만들어서 인수분해를 시도합니다.

예를 들어, 다음 방정식은 $x^{2}=t$ 로 대체했을 때, 인수분해가 되는 경우입니다.

{\begin{aligned}x^{4}+3x^{2}+2&=t^{2}+3t+2\\&=(t+1)(t+2)\\&=(x^{2}+1)(x^{2}+2)\\\end{aligned}}

반면에 $x^{4}-8x^{2}+4$ 는 대체했을 때, 인수분해가 되지 않습니다.

이때에는 완전제곱식의 차로 인수분해를 시도하는데, 상황에 따라, 한 가지 이상으로 인수분해가 될 수 있습니다.

첫 번째,

{\begin{aligned}x^{4}+3x^{2}+2&=x^{4}-4x^{2}+4-4x^{2}\\&=\left(x^{2}-2\right)^{2}-(2x)^{2}\\&=(x^{2}-2+2x)(x^{2}-2-2x)\\&=(x^{2}+2x-2)(x^{2}-2x-2)\\\end{aligned}}

두 번째,

{\begin{aligned}x^{4}+3x^{2}+2&=x^{4}+4x^{2}+4-12x^{2}\\&=\left(x^{2}+2\right)^{2}-({\sqrt {12}}x)^{2}\\&=(x^{2}+2+{\sqrt {12}}x)(x^{2}+2-{\sqrt {12}}x)\\&=(x^{2}+{\sqrt {12}}x+2)(x^{2}-{\sqrt {12}}x+2)\\\end{aligned}}

어쨌든, 앞에서 언급한 것처럼, 계수가 유리수를 갖는 인수분해를 원할 때에는 첫 번째로 인수분해를 해야 합니다. 그러나, 그런 제약 조건이 없으면, 두 번째도 인수분해된 것입니다. 그 외에도 복소수를 배우면 더 가능한 인수분해도 존재할 수 있습니다.

문자가 여러개인 경우

이 경우에는 차수가 낮은 문자의 내림차순으로 정리를 해서 인수분해를 시도합니다. 먼저 문자가 하나 감소한 상수항부터 여러가지 기법을 이용해서 인수분해를 합니다. 이후에 나머지 항들을 인수분해합니다.

예를 들어, $x^{2}+xy+x-y-2$ 를 인수분해 할 때에는, 낮은 차수 $y$ 에 대해서 정리를 합니다.

{\begin{aligned}x^{2}+xy+x-y-2&=(x-1)y+x^{2}+x-2\\&=(x-1)y+(x-1)(x+2)\\&=(x-1)(y+x+2)\\&=(x-1)(x+y+2)\\\end{aligned}}

한편, 높은 차수로 정리해서 인수분해가 되지 않는 것은 아닙니다.

{\begin{aligned}x^{2}+xy+x-y-2&=x^{2}+(y+1)x-(y+2)\\&=(x-1)(x+(y+2))\\\end{aligned}}

그러나, 대체로 아래 과정은 암산으로 계수를 맞추는 과정이 위의 과정보다 더 복잡합니다.

위의 과정은 $y$ 에 대한 방정식의 상수항에 해당하는 $x$ 의 이차 방정식, $x^{2}+x-2$ 을 다루는데, 그의 계수는 전부 숫자입니다. 반면에 아래는 $x$ 에 대한 방정식 자체가 이차이고, 그의 계수가 문자 $y$ 를 포함하고 있기 때문에, 상대적으로 더 어렵게 느껴질 수 있습니다.

따라서, 낮은 차수로 정리함으로써, 높은 차수에 해당하는 부분이, 낮은 차수의 상수항으로 모이기 때문에, 훨씬 인수분해하기가 쉬울 수 있습니다.

기본예제

예제1

다음을 인수분해하여라.

(1) $\left(x^{2}-3x\right)^{2}+2x^{2}-6x+1$

해설) 식을 묶으면 치환할 부분이 보입니다.

{\begin{aligned}&\left(x^{2}-3x\right)^{2}+2x^{2}-6x+1\\&=\left(x^{2}-3x\right)^{2}+2(x^{2}-3x)+1\\&=t^{2}+2t+1\\&=(t+1)^{2}\\&=\left(x^{2}-3x+1\right)^{2}\\\end{aligned}}

(2) $x^{4}-7x^{2}-18$

해설) $x^{2}=t$ 라 놓으면,

{\begin{aligned}&x^{4}-7x^{2}-18\\&=t^{2}-7t-18\\&=(t+2)(t-9)\\&=(x^{2}+2)(x^{2}-9)\\&=(x^{2}+2)(x+3)(x-3)\\\end{aligned}}

(3) $a^{2}+ab-ac-bc$

해설) $b$ 에 대해서 내림차순으로 정리하면,

{\begin{aligned}&a^{2}+ab-ac-bc\\&=(a-c)b+a(a-c)\\&=(a-c)(b+a)\\\end{aligned}}

예제2

다음 식을 인수분해하여라.

(1) $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)-10$

해설) 주어진 식을 완전히 풀어서 $4$ 차 방정식을 만든 후에 인수정리를 사용해서 인수분해할 수도 있습니다. 여기서는 적당히 풀어서 치환하는 방법을 이용해보려 합니다. 치환을 할 때에는 $x$ 의 문자가 완전히 사라지도록 이차식 2개로 만들어야 합니다. 이때에 일차항의 계수가 같아야 하므로, 전개하는 두 식의 상수합의 합이 같은 것을 골라야 합니다. 즉, $2+4=1+5$ 로 아래와 같이 전개를 합니다.