삼각함수의 그래프

새로운 함수는 구할 수 있는 값을 연결해서 그래프의 변화를 그려봄으로써 그의 개형을 짐작할 수 있습니다.

삼각 함수에서 구할 수 있는 특수각의 값을 구해보면, 다음과 같습니다.

{\begin{array}{|c|cccccccc|}\hline {\begin{matrix}{\text{Radian}}\\{\text{Degree}}\end{matrix}}&{\begin{matrix}0\\0^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{12}}\\15^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{8}}\\22.5^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{6}}\\30^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{4}}\\45^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{3}}\\60^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {5\pi }{12}}\\75^{\circ }\end{matrix}}&{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\\90^{\circ }\end{matrix}}\\\hline \sin &0&{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}&{\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}&1\\\cos &1&{\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}&{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}&0\\\tan &0&2-{\sqrt {3}}&{\sqrt {2}}-1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&1&{\sqrt {3}}&2+{\sqrt {3}}&\infty \\\cot &\infty &2+{\sqrt {3}}&{\sqrt {2}}+1&{\sqrt {3}}&1&{\frac {\sqrt {3}}{3}}&2-{\sqrt {3}}&0\\\sec &1&{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {2}}&2&{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}&\infty \\\csc &\infty &{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}&2&{\sqrt {2}}&{\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}&{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}&1\\\hline \end{array}}

이 테이블에서 길이비가 알려지지 않는 것들의 값은 삼각함수의 덧셈정리를 이용해서 구할 수 있습니다. 삼각함수에서 언급한 것처럼, 이 외에 동경의 위치가 제 2, 3, 4분면에서는 대칭이동으로 삼각 함수의 값을 평가할 수 있습니다.

사인함수 그래프

사인 함수 $y=\sin x$ 의 그래프는 위의 값을 토대로 그림처럼 그려집니다.

이 함수의 주요 특징은 다음과 같습니다.

정의역 : 실수 전체의 집합
치역 : $\{y|-1\leq y\leq 1\}$
주기 : $2\pi$ (한 바퀴)
대칭 : 원점 대칭(홀수 함수)

코사인함수 그래프

코사인 함수 $y=\cos x$ 의 그래프는 위의 값을 토대로 그림처럼 그려집니다.

이 함수의 주요 특징은 다음과 같습니다.

정의역 : 실수 전체의 집합
치역 : $\{y|-1\leq y\leq 1\}$
주기 : $2\pi$ (한 바퀴)
대칭 : $y$ -축 대칭(짝수 함수)

탄젠트함수 그래프

탄젠트 함수 $y=\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ 는 근본적으로 분수함수입니다. 분수함수는 분모가 0이 될 수 없으므로, 이 값을 정의역에서 제외해야 하고, 분모가 0으로 접근할 때, 크기가 매우 커지며, 이것이 점근선이 됩니다.

어쨌든, 위의 값과 점근선을 토대로 그럼처럼 그려지고, 주요 특징은 다음과 같습니다.

정의역 :

x\neq n\pi +{\frac {\pi }{2}}

(

n

은 정수)

치역 : 실수 전체의 집합

주기 :

\pi

대칭 : 원점대칭(홀수 함수)

점근선 :

x=n\pi +{\frac {\pi }{2}}

(

n

은 정수)

분수함수에서 정의역에서 제외된 값들이 점근선이 될 수 있음을 잊지 마시기 바랍니다.

단위 원에서의 삼각 함수의 그래프

한편, 단위 원에서, 해당 좌표를 스크린에 비쳐보면, 그 결과가 각 함수의 그래프가 됩니다.

각 계수들의 특징

기본 그래프의 평행이동과 대칭이동, 특히 주기의 변화, 크기의 변화 등을 고려한 다음과 같은 식의 그래프를 생각해 보십시오.

$y=2\sin x$ 는 치역만 2배로 늘어납니다.
$y=\sin 2x$ 는 주기가 $\pi$ 로 줄어듭니다.
$y=\sin 2\left(x-{\frac {\pi }{6}}\right)$ 는 $y=\sin 2x$ 의 그래프를 $x$ 축의 양의 방향으로 ${\frac {\pi }{6}}$ 만큼 평행이동한 것입니다.
$y=\sin x+3$ 는 $y=\sin x$ 의 그래프를 $y$ 축의 양의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동한 것입니다.

몇가지 문제

최댓값과 최솟값

함수 $y=a\cos(bx+c)+d\ (b\neq 0)$ 의 그래프의 주기와 최댓값, 최솟값은 다음과 같습니다.

주기 : $\left|b\right|x=2\pi$
최댓값 : $\left|a\right|+d$
최솟값 : $-\left|a\right|+d$
주의사항 : $c$ 값 자체가 평행이동은 아닙니다.
탄젠트 주기 : $\left|b\right|x=\pi$

주기 문제

보통 주기가 $2\pi$ 라고 주어지면, 이를 식으로 나타낼 때에는 $f(x)=f(x+2\pi )$ 로 표현을 합니다. 그렇지만, $f(x)=f(x+2\pi )$ 를 만족하는 함수는 $y=\sin {x}$ 도 해당되지만, $y=\sin {2x}$ 도 가능합니다. 원 식에 대입해서 좌우변이 같게 나오는 식들은 전부 해당이 됩니다. 주기를 보고 답을 찾아서는 안됩니다.