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삼각함수의 덧셈정리로부터, 새로운 여러가지 항등식이 만들어집니다.
![{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc293268efaf69be2b7e0c4173c39d86f4945373)
![{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/600b028031a41e3d9e37fcd38c2af048374d496d)
![{\displaystyle \tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17fedc1e030166633edf046d078c08f9f4f9d2b)
배각의 항등식
덧셈정리에서
로 두면, 같은 각을 두 번 더한 동경의 위치에 이릅니다. 식에 대입해서 정리하면,
![{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b055e70f0d1bcb3ce73889da1226181f96128d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\alpha &=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha \\&=1-2\sin ^{2}\alpha \\&=2\cos ^{2}\alpha -1\\\end{aligned}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1145be35883790207e21486228d2c3af6479600)
![{\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ea23121a61a4dfdd4f0768c6b1b2ca549b2d4a)
삼배각의 항등식
덧셈정리와 배각의 항등식으로부터, 덧셈정리에
를 대입해서 정리하면,
![{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d60cd26d9dc2992cd8762d6e1f8db06d6c997b6)
![{\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3bec7def30bbe89d0bef5a98beda55e1bc9002)
![{\displaystyle \tan 3\alpha ={\frac {3\tan \alpha -\tan ^{3}\alpha }{1-3\tan \alpha }}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f991929d23865e29e84fd1fa949bd18e1c9974d)
반각의 항등식
위의 배각의 항등식에서, 코사인에 대한 식을 제곱을 왼쪽에 남기는 형태로 조작할 수 있습니다.
![{\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75e7304936593f831b053d0d8462360611509a8)
![{\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78829a3fef56799566d7a5c55b76bac905a28051)
이 항등식에서
로 바꾸면,
![{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebd2f563f172aae075db4cf81850ccea6254a2b)
![{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6a6d6727f72b916938b769bbf13a2b31e3006f6)
![{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4672061a35c41df0e6ca33bdae18bc4aa3c1c856)
이 항등식들의 특징은 각이 2배가 되면, 다른 변에서는 제곱의 삼각함수 꼴이 되고, 각이 3배가 되면, 세제곱의 삼각함수의 꼴이 된다는 사실입니다. 반각에서도 각이 절반으로 줄어드니, 제곱의 삼각함수가 일차로 줄어듭니다.
곱을 합·차로 고치는 항등식
두 개의 다른 각의 곱으로 주어진 삼각함수를 다른 모양으로 고치는 방법 중 하나입니다. 삼각함수의 덧셈정리에서, 특정 2식을 합하거나, 또는 빼면 이 식들을 얻을 수 있습니다. 예를 들어,
![{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc293268efaf69be2b7e0c4173c39d86f4945373)
![{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8979f338461381963888cd1af1f0bd90a7e7d0bb)
위 두 식을 더하면,
![{\displaystyle 2\cos \alpha \cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f585d8a8f2c5c3663f5eda6b2d5e3326d2c6da31)
마찬가지로, 위의 두 식을 빼서 정리하고, 사인 함수에 대한 덧셈정리를 더한 식, 그리고 뺀 식을 정리하면,
![{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right\}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08eb659c2ce46679bcc0a0af54c8f709f25ce855)
![{\displaystyle \cos \alpha \sin \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )\right\}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbff4faf25391dc3b09dbe8d8c3cb86d08020067)
![{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right\}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8abacb57827431334d9dec2c2f6b855a5d03ef8)
![{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left\{\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right\}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fa878509ff4fbaf3728af946e0525ab0a05626e)
위의 결과 중에 두 번째 식은 별도로 기억할 필요가 없습니다. 어쨌든, 사인과 코사인의 곱이므로, 첫 번째 식을 사용할 수 있습니다.
합·차를 곱으로 고치는 항등식
직전에 구한 곱을 합·차로 고치는 항등식에서
, ![{\displaystyle \alpha +\beta =B}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aecd2cda8eb788ee6217b6e44963ce635cb0647c)
로 두면, 만들어지는 항등식입니다.
![{\displaystyle \sin A+\sin B=2\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff2f4ce580607f9b1be0a84d97ee1cca846b654e)
![{\displaystyle \sin A-\sin B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abaf03de3e4de470f3aad17c3d9704ab3fa9f857)
![{\displaystyle \cos A+\cos B=2\cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {A-B}{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bb8cf2eaa6b4c001b1e775ae136572e6718e8c)
![{\displaystyle \cos A-\cos B=-2\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A-B}{2}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdaf5c4f94a532aa6e8e4a508da1088c487ad947)
위의 결과 중에 두 번째 식은 첫 번째 식에 B 대신에 –B를 대입해서 구할 수도 있습니다. 물론 다른 식들도 변환을 이용해서 식을 만들 수 있습니다.