상용로그의 성질

See also: Common logarithm

상용로그 자체의 특별한 성질(property)은 없습니다. 다만 여기서는 지표와 가수의 성질을 다시 한번 정리하고 주어진 문구를 어떻게 다룰 것이지에 대해 논의합니다. 이 기사에서는 밑수가 생력되어 있으면, 밑수 10이라고 가정합니다.

양수 N에 대하여

logN = n + α (n은 정수, 0 ≤ α < 1)

로 놓으면

• N > 1이면, N은 규모가 n + 1 자리인 숫자입니다.

여기서 규모는 단위를 나타내는 것으로써, 규모가 6이라는 의미는 소수점으로부터 6자리, 일십백천만(십만), 즉 십만 자리에 반드시 0을 제외한 1~9 중의 자릿수가 있어야 하고, 백만 이상은 0, 즉 숫자가 없어야 합니다.

• 0 < N < 1이면, N은 소수 n번째에서 처음으로 영이 아닌 숫자가 나옵니다.

여기서 n은 지표, α는 가수라고 부릅니다.

자연수를 고려할 때, 지표가 3이라는 것은 자릿수가 4자리이므로 1000에서 9999까지의 숫자중 하나입니다.

그럼 가수 α가 0.4라는 것은 무슨 의미일까요?

물론 상용로그 테이블을 주면, 이것에 해당하는 유효 숫자를 구할 수 있지만, 보통은 테이블은 주지 않고, log2=0.3010, log3=0.4771은 주어집니다. 이로부터 가수가 0.4라는 것은 적어도 다음 식이 성립함을 의미합니다.

log2 < α < log3

그러므로 α=log2.xxx와 같이 표현할 수 있습니다. 이것은 숫자의 제일 앞이 2로 시작함을 역시 의미합니다. 만약 지표가 3인 자연수라면, 이 숫자는 적어도 2000에서 2999까지의 숫자중에 하나입니다.

지표가 같을 때

지표가 같으면, 규모가 같습니다.

예를 들어, 지표가 4이면 1000.00...에서 9999.99...와 같은 숫자를 표현합니다.

지표가 –4이면, 0.0001xxx...에서 0.0009xxx...와 같은 숫자를 표현합니다.

가수가 같을 때

상용로그 테이블에서 유효숫자는 4자리입니다. 가수가 같으면, 이 유효 숫자가 같습니다.

예를 들어, 가수가 0.5731이면, log3.742를 나타내므로, 다음과 같은 숫자들입니다.

3.742, 37.42, 374.2, 3742, 37420 ...

0.3742, 0.03742, 0.003742, 0.0003742 ...

지표에 따라 소수점의 위치만 달라집니다.

지표와 가수가 같을 때

같은 숫자를 말합니다.

가우스 기호와 지표

가우스 기호는 어떤 숫자보다 크지 않은 최대의 정수를 나타냅니다. 만약 숫자가 소수 부분이 영인 정수일 때에는 가우스 기호는 없는 것과 같습니다.

가우스 기호에서도 정수 부분과 소수 부분을 구별할 때에는 반드시 양의 소수 부분으로 나타내야 합니다. 즉, 다음과 같은 것들입니다.

3.27 = 3 + 0.27, [3.27]=3

–3.27 = –3 – 0.27, [–3.27] ≠ –3

그렇기 때문에 음의 실수에서 가우스 기호를 적용할 때에는 다음과 같이 고쳐져야 합니다.

–3.27 = –3 – 1 + 1 – 0.27 = –4 + 0.73, [–3.27] = –4

양수 N에 대하여

logN = n + α (n은 정수, 0 ≤ α < 1)

로 나타내면,

[logN] = n, α = logN – [logN]

응용예제

응용예제1

$x^{2}$의 정수부분은 6자리 수이고, $\log x^{2}$의 소수부분과 $\log {\sqrt {x}}$의 소수부분의 합은 1이다. 이때, $\log {\sqrt {x}}$의 소수부분을 구하여라.

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제1

응용예제2

1보다 큰 실수 $x,y$가 다음 세 조건을 만족할 때, $x,y$의 값을 구하여라. 단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대 정수를 나타낸다.

(ㄱ) $\log x^{2}y^{3}=12.4$

(ㄴ) $x$와 $y$의 정수부분의 자릿수가 같다.

(ㄷ) $\log x-[\log x]=\log {\frac {1}{y}}-\left[\log {\frac {1}{y}}\right]$

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제2

응용예제3

두 수 $n,\alpha$가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(ㄱ) $n$은 자연수이고, $0<\alpha <{\frac {1}{2}}$이다.

(ㄴ) $\log _{4}n=1-\alpha$

등식 $\log _{2}m^{2}=n+\alpha$를 만족시키는 실수 $m$에 대하여 $3m^{4}$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제3

응용예제4

자연수 $n$에 대하여 $\log n$의 지표와 가수를 각각 $f(n),g(n)$이라 하자. 세 자연수 $x,y,z$가 다음 세 조건을 만족시킬 때, $x+f(y)+f(z)$의 값을 구하시오.

(ㄱ) $f(x)<f(y)<f(z)$

(ㄴ) $g(x)=g(y)=g(z)$

(ㄷ) $x+y+z=15873$

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제4

응용예제5

$1\leq x\leq 1000$인 자연수 $x$에 대하여 집합 $P$를

$P=\left\{x\left|\log x-\lfloor \log x\rfloor >{\frac {1}{2}}\right.\right\}$

로 정의할 때, 집합 $P$의 원소의 개수를 구하시오. (단, $\lfloor \log x\rfloor$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수이고, $\log 3.16=0.4997,\;\log 3.17=0.5011$로 계산한다.)

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제5

응용예제6

양수 $x$에 대하여 $\log x$의 가수를 $f(x)$라 할 때, $f(2x)\leq f(x)$를 만족시키는 100보다 작은 자연수 $x$의 개수는?

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제6

응용예제7

양수 $x$에 대하여 $\log x$의 지표를 $f(x)$, 가수를 $g(x)$라 하자. 다음 두 조건을 만족시키는 양수 $a$에 대하여 $f(a^{6})$의 값을 구하시오.

(ㄱ) $g\left\{g(a)\right\}^{2}-5g(a)+1=0$

(ㄴ) $f(a)+f(a^{2})+f(a^{3})=14$

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제7

응용예제8

$x$에 관한 삼차방정식 $2x^{3}-11x^{2}+ax+b=0$의 한 근이 3이고, 나머지 두 근이 $\log A$의 정수부분과 소수부분일 때, 상수 $a,b$의 값을 구하여라. (단 $A>1$이다.)

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제8

응용예제9

$x^{2}$의 정수부분은 6자리 수이고, $\log x^{2}$의 소수부분과 $\log {\sqrt {x}}$의 소수부분의 합은 1이다. 이때, $\log {\sqrt {x}}$의 소수부분을 구하여라.

해설: mowoum:상용로그의_성질#응용예제9