속도와 가속도(기하와 벡터)

미적분1에서 소개한, 속도와 가속도는 오직 직선 운동을 다루기 때문에, 벡터가 스칼라로 줄어드는 특별한 경우였습니다.

이차원 이상에서는 벡터는 두 성분 이상을 가지기 때문에, 더이상 스칼라로 줄어들지 않고, 벡터 그 자체를 표기하고 다루어야 합니다.

한편, 직교 좌표 시스템에서, 벡터는 각 좌표축의 단위벡터에 대해, 좌표를 스칼라로 가지는 튜플, 즉 평면에서는 두 쌍, 공간에서는 세 쌍의 (구성)성분으로 나타낼 수 있습니다.

이것은, 벡터의 스칼라 성분이 축 방향에 대해, 각각, 측정 가능하다면, 예를 들어, 위치의 구성성분이 $x$-축 성분과 $y$-축 성분으로 나누어서 측정이 될 수 있으면, 다음과 같이 표현될 수 있음을 의미합니다.

${\vec {p}}=(f(t),g(t))=f(t){\vec {e_{x}}}+g(t){\vec {e_{y}}}$

이로부터 속도는 위치를 미분해서 다음과 같이 쓸 수 있는데, 곱 규칙을 사용해서 미분을 수행합니다.

${\begin{aligned}{\vec {v}}&={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\\&={\frac {df(t)}{dt}}{\vec {e_{x}}}+f(t){\frac {d{\vec {e_{x}}}}{dt}}+{\frac {dg(t)}{dt}}{\vec {e_{y}}}+g(t){\frac {d{\vec {e_{y}}}}{dt}}\\\end{aligned}}$

이때, 좌표 축이 움직이지 않는 것으로 가정하면, 좌표-축 위의 단위 벡터 또한 움직이지 않기 때문에, 상수로 취급되어 0이 됩니다. 따라서,

${\vec {v}}={\frac {df(t)}{dt}}{\vec {e_{x}}}+{\frac {dg(t)}{dt}}{\vec {e_{y}}}$

좌표 축이 움직이는 좌표 시스템도 있기 때문에, 예를 들어, 지구에 고정된 좌표 축은 지구 밖에서 보면 공전과 자전을 하기 때문에, 축 자체가 움직이며, 그 때에는 단위벡터를 미분해야 합니다. 벡터 미분적학을 참고하십시오.

평면 위의 운동에서의 속도

좌표 평면 위를 움직이는 점 $\mathrm {P} (x,y)$의 시각 $t$에서의 위치를 위치벡터 ${\vec {p}}=(x,y)$로 나타내고, 두 좌표 $x,y$를 $t$의 함수

$x=f(t),y=g(t)$

로 나타낼 수 있을 때,

점 $\mathrm {P}$에서 $x$-축과 $y$-축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm {P} _{x}$, $\mathrm {P} _{y}$라 하면,

점 $\mathrm {P} _{x}$는 $x$-축 위에서 $x=f(t)$로 나타내어지는 직선운동을 나타내고, 점 $\mathrm {P} _{y}$는 $y$-축 위에서 $y=g(t)$로 나타내어지는 직선운동을 나타냅니다.

따라서, 시각 $t$에서의 점 $\mathrm {P} _{x}$의 속도를 $v_{x}$, 점 $\mathrm {P} _{y}$의 속도를 $v_{y}$로 놓으면

$v_{x}={\frac {dx}{dt}}=f'(t)$, $v_{y}={\frac {dy}{dt}}=g'(t)$

이때, $v_{x}$와 $v_{y}$를 성분으로 하는 벡터는, 위치를 미분한, 시각 $t$에서의 속도입니다.

${\begin{aligned}{\vec {v}}&=(v_{x},v_{y})\\&=\left({\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right)\\&=(f'(t),g'(t))\\\end{aligned}}$

또한, 점 $\mathrm {P}$의 속력, 즉 속도의 크기는, 피타고라스의 정리에 의해, 다음과 같습니다.

${\begin{aligned}|{\vec {v}}|&={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {\{f'(t)\}^{2}+\{g'(t)\}^{2}}}\\\end{aligned}}$

평면 위의 운동에서의 가속도

같은 환경 아래에서, 시각 $t$에서의 점 $\mathrm {P} _{x}$의 가속도를 $a_{x}$, 점 $\mathrm {P} _{y}$의 가속도를 $a_{y}$로 놓으면

$a_{x}={\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f''(t)$, $a_{y}={\frac {dv_{y}}{dt}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=g''(t)$

이때, $a_{x}$와 $a_{y}$를 성분으로 하는 벡터는, 속도를 미분한, 시각 $t$에서의 가속도입니다.

${\begin{aligned}{\vec {a}}&=(a_{x},a_{y})\\&=\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)\\&=(f''(t),g''(t))\\\end{aligned}}$

또한, 점 $\mathrm {P}$의 가속력, 즉 가속도의 크기는, 피타고라스의 정리에 의해, 다음과 같습니다.

${\begin{aligned}|{\vec {a}}|&={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)^{2}}}\\&={\sqrt {\{f''(t)\}^{2}+\{g''(t)\}^{2}}}\\\end{aligned}}$

응용예제

응용예제1

좌표평면 위를 움직이는 점 ${\rm {P}}$의 시각 $t\left(0<t<{\frac {\pi }{2}}\right)$에서의 위치 $(x,y)$가

$x=t+\sin t\cos t,\;\;y=\tan t$

이다. $0<t<{\frac {\pi }{2}}$에서 점 ${\rm {P}}$의 속력의 최솟값은? [3점] [2020학년도 수능 가형 9번]

해설: mowoum:속도와_가속도(기하와_벡터)#응용예제1