쌍곡선

Main article: Hyperbola

타원은 두 초점으로부터 거리가 합이 일정한 평면 안의 곡선이었다면, 쌍곡선은 두 초점으로부터 거리의 차이가 일정한 평면 안의 곡선입니다.

타원은 닫힌 곡선의 형태이고, 포물선은 열린 곡선이지만 하나의 곡선으로 이루어진 반면에, 쌍곡선은 무한히 뻗어가는 활처럼 생긴 두 개의 곡선으로 이루어지며, 두 곡선의 서로 대칭입니다.

쌍곡선은, 타원 및 포물선과 마찬가지로 원뿔 곡선의 하나이며, 평면(plane)과 이중 원뿔(cone)의 교차점에 의해 형성됩니다.

쌍곡선의 두 초점을 지나는 직선을 주축(major axis)이라고 하며, 주축과 쌍곡선이 만나는 두 점을 쌍곡선의 꼭짓점이라고 하며, 주축의 중점을 쌍곡선의 중심이라고 합니다.

타원에서와 마찬가지로, 쌍곡선의 두 초점은 임의의 직선 위에 놓일 수 있지만, 주축이 $x$-축, $y$-축과 평형한 제한적인 경우를 다룹니다.

쌍곡선의 방정식

두 초점 $\mathrm {F,F'}$의 좌표가 각각 $(c,0),(-c,0)$이고, 두 초점 $\mathrm {F,F'}$으로부터 거리의 차이가 $2a\;(c>a>0)$인 타원의 방정식은 다음의 과정으로 구해집니다.

먼저, 쌍곡선 위의 임의의 점을 $\mathrm {P} (x,y)$라고 하면, 쌍곡선의 정의에 따라,

$\left|{\overline {\mathrm {PF} }}-{\overline {\mathrm {PF'} }}\right|=2a$

이고, 각 거리를 쓰면,

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a$

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

이때, 양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,

$cx+a^{2}=a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$

다시 한번, 양쪽 변을 제곱한 후, 정리하면,

$\left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}\left(c^{2}-a^{2}\right)$

여기서, $c^{2}-a^{2}=b^{2}\;(b>0)$으로 놓고, 양쪽 변을 $a^{2}b^{2}$으로 나누면,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;\;(c^{2}=a^{2}+b^{2})$

이 방정식을 쌍곡선의 표준형이라고 합니다.

여기서, 거리의 차이가 $2a$가 되는 이유는 $x$-축과 만나는 두 점을 $\mathrm {A} _{1}(a,0)$, $\mathrm {A} _{2}(-a,0)$라고 두면,

${\begin{aligned}{\overline {\mathrm {PF'} }}-{\overline {\mathrm {PF} }}&={\overline {\mathrm {A_{1}F'} }}-{\overline {\mathrm {A_{1}F} }}\\&={\overline {\mathrm {A_{2}F} }}+{\overline {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}-{\overline {\mathrm {A_{1}F} }}\\&={\overline {\mathrm {A_{1}F} }}+{\overline {\mathrm {A_{1}A_{2}} }}-{\overline {\mathrm {A_{1}F} }}\\&=2a\\\end{aligned}}$

한편, 타원과 용어는 다르지만, 쌍곡선과 $x$-축이 만나는 두 점 사이의 길이가 주축의 길이, $2a$이며, 그 점의 좌표는 쌍곡선의 방정식으로부터, $y=0$을 대입해서, $x=\pm a$로 구할 수 있습니다. 반면에, 타원과 다르게 위의 쌍곡선은 $y$-축과 만나지 않는데, 왜냐하면 $x=0$을 대입하면, $y$는 허수이므로 $y$-축과 만나지 않습니다.

게다가, 쌍곡선은 두 초점 사이의 거리가 가장 길고, 초점을 나타내는 문자가 빗변이 되는 피타고라스 정리를 만족하지만, 타원과 다르게, 기하학적으로 확인할 수는 없습니다.

쌍곡선의 방정식의 특징을 간략히 살펴보면,

• 두 초점이 놓이는 직선이 주축이 되고,
• 중심으로부터 초점을 나타내는 문자의 길이가 가장 길고,
• 세 문자는 피타고라스 정리를 만족함을 알 수 있습니다.

주축이 바뀐 쌍곡선의 방정식

만약, 위의 경우와 달리, 두 초점이 $y$-축, 즉, $\mathrm {F} (0,c)$, $\mathrm {F'} (0,-c)$에 놓이면, 이 경우에서, 주축의 길이를 2a로 두지 않고, 2b로 두는데, 왜냐하면, 쌍곡선의 왼쪽 변의 방정식을 하나로 만들기 위함입니다.

이제, 쌍곡선 위의 점 $\mathrm {P} (x,y)$에 대해, 쌍곡선에 정의에 따라,

$\left|{\overline {\mathrm {PF'} }}-{\overline {\mathrm {PF} }}\right|=2b$

이 식을 위와 같은 방법으로 정리하면,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\;\;(c^{2}=a^{2}+b^{2})$

주축의 위치에 상관없이, 초점을 나타내는 문자가 가장 길기 때문에, 타원과 다르게, 항상 빗변을 나타내는 문자가 일정함에 주목할 필요가 있습니다.