쌍곡선의 점근선

Main article: Asymptote

유리함수는 두 개의 곡선으로 이루어져 있고, 쌍곡선의 일종입니다.

유리함수의 그래프는 $x$-축에 점점 다가가거나, 또는 $y$-축으로 점점 다가가는 경향이 있는데, 이 두 직선을 점근선이라고 합니다.

원뿔곡선 중에 쌍곡선도 마찬가지로 점근선을 가집니다.

먼저, 두 초점에 $x$-축 위에 있는 쌍곡선

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

을 $y$에 대하여 풀면,

${\begin{aligned}y&=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}\\&=\pm {\frac {b}{a}}x{\sqrt {1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

여기서, $x$의 절댓값이 커짐에 따라, 그의 극한

$\lim _{x\to \pm \infty }\left(1-{\frac {a^{2}}{x^{2}}}\right)=1$

따라서, 두 초점이 $x$-축 위에 있는 쌍곡선의 점근선은

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

마찬가지로 위의 과정을 거쳐, 두 초점이 $y$-축 위에 있는 쌍곡선의 점근선도 위와 같음을 알 수 있습니다.