함수 에서 함수의 정의에 대해서 알아보았습니다. 여기서는 함수중에 특별한 경우의 함수에 대해 알아보겠습니다.
일대일함수 오른쪽 그림처럼 정의역
X
=
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle X=\{1,2,3\}}
Y
=
{
2
,
4
,
6
,
8
}
{\displaystyle Y=\{2,4,6,8\}}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
일대일함수 라고 합니다.
즉, 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
x
1
≠
x
2
⟹
f
(
x
1
)
≠
f
(
x
2
)
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\implies f(x_{1})\neq f(x_{2})}
일 때, 함수
f
{\displaystyle f}
일대일함수 라고 합니다.
한편 어떤 명제에 대해, 대우는 항상 진리값이 같으므로, 다음과 같이 역시 표현될 수 있습니다:
f
(
x
1
)
=
f
(
x
2
)
⟹
x
1
=
x
2
{\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}}
일대일 대응 오른쪽 그림처럼 정의역
X
=
{
1
,
2
,
3
,
4
}
{\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}
Y
=
{
2
,
4
,
6
,
8
}
{\displaystyle Y=\{2,4,6,8\}}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
일대일 대응 이라고 합니다.
즉, 함수
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
X
{\displaystyle X}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
(1) 치역과 공역이 같고
(2)
x
1
≠
x
2
⟹
f
(
x
1
)
≠
f
(
x
2
)
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\implies f(x_{1})\neq f(x_{2})}
함수
f
{\displaystyle f}
일대일 대응 이라고 합니다.
일대일 대응의 그래프 함수의 그래프 에서
y
{\displaystyle y}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
한편, 함수중에서 일대일 의 그래프를 찾을 때에는
x
{\displaystyle x}
반면에 아래의 이차함수는 두 곳에서 만나기 때문에 일대일 대응이 아닙니다. 물론 정의역에 제한을 둔 이차함수는, 증가함수나 감소함수를 만들 수 있기 때문에, 일대일 대응이 가능합니다.
항등함수 오른쪽 그림처럼, 정의역의 임의의 원소에 대하여 그 함숫값이 자기 자신인 대응관계를 가질 때, 이와 같은 함수를 항등함수 라고 합니다.
즉, 정의역의 임의의 원소에 대하여 함숫값이 자기 자신이 대응되는 함수
f
:
X
→
Y
,
f
(
x
)
=
x
(
x
∈
X
)
{\displaystyle f\colon X\to Y,\;f(x)=x\;(x\in X)}
를 항등함수 (identity function)라고 합니다.
상수함수 오른쪽 그림처럼, 정의역의 모든 원소에 대하여 그 함숫값이 항상 같은 값을 가지는 대응관계를 가질 때, 이와 같은 함수를 상수함수 라고 합니다.
즉, 정의역
X
{\displaystyle X}
x
{\displaystyle x}
Y
{\displaystyle Y}
f
:
X
→
Y
,
f
(
x
)
=
c
(
c
∈
Y
,
c
{\displaystyle f\colon X\to Y,\;f(x)=c\;(c\in Y,\;c}
)
{\displaystyle )}
를 상수함수 라고 합니다.
상수함수의 그래프는
x
{\displaystyle x}
응용예제 응용예제1 실수 전체에서 정의된 함수
f
(
x
)
=
3
|
x
−
1
|
+
a
x
+
1
{\displaystyle f(x)=3|x-1|+ax+1}
a
{\displaystyle a}
해설: mowoum:여러 가지 함수#응용예제1
응용예제2 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
f
(
x
)
=
{
a
x
+
2
(
x
≥
0
)
(
3
−
a
)
x
+
a
(
x
<
0
)
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{aligned}&ax+2&(x\geq 0)\\&(3-a)x+a&(x<0)\end{aligned}}\right.}
가 일대일함수가 되기 위한 실수
a
{\displaystyle a}
해설: mowoum:여러 가지 함수#응용예제2
응용예제3 실수 전체의 집합에서 정의된 함수
f
(
x
)
=
{
x
2
−
2
a
x
+
b
(
x
≥
1
)
x
−
1
(
x
<
1
)
{\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{aligned}&x^{2}-2ax+b&(x\geq 1)\\&x-1&(x<1)\end{aligned}}\right.}
이 역함수가 존재하도록 하는 음이 아닌 실수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
q
p
{\displaystyle {\sqrt {\frac {q}{p}}}}
p
+
q
{\displaystyle p+q}
p
,
q
{\displaystyle p,q}
해설: mowoum:여러 가지 함수#응용예제3
응용예제4 영이 아닌 임의의 실수
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
+
2
f
(
1
x
)
=
3
x
{\displaystyle f(x)+2f\left({\frac {1}{x}}\right)=3x}
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
해설: mowoum:여러 가지 함수#응용예제4
