여러 가지 함수의 정적분

Main article: Integral

정적분의 성질에서, 정적분의 아래끝과 위끝이 같으면, 하나의 정적분으로 만들 수 있음을 알아 보았습니다.

이 기사는 몇 가지 특이한 함수들은 정적분의 결과가 좀 더 간단한 형태로 바꿀 수 있는 것이 있습니다.

짝수함수와 홀수함수의 정적분

함수의 대칭성에서 언급한 것처럼, $y$-축 대칭인 함수는 짝수함수, 원점 대칭인 함수는 홀수함수라고 합니다.

정적분은 부호화된 넓이로 생각할 수 있으므로, 짝수함수에 대해, $y$-축으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점 사이의 정적분은 $y$-축으로부터 한쪽 끝점까지의 정적분의 2배와 같습니다. 즉, $y=f(x)$의 그래프는 $y$-축 대칭이므로,

$\int _{-a}^{0}f(x)dx=\int _{0}^{a}f(x)dx$

그리고 정적분의 연결 성질에 따라,

${\begin{aligned}\int _{-a}^{a}f(x)dx&=\int _{-a}^{0}f(x)dx+\int _{0}^{a}f(x)dx\\&=2\int _{-a}^{0}f(x)dx\\&=2\int _{0}^{a}f(x)dx\\\end{aligned}}$

조심해야 할 것은 다음입니다.

$\int _{0}^{-a}f(x)dx\neq \int _{0}^{a}f(x)dx$

이 결과가 서로 같지 않은 것은 쉽게 알 수 있습니다. 구분구적법에서 왼쪽의 $n$ 개의 좌표, 또는 오른쪽 $n$ 개의 좌표를 사용하던, 그의 함숫값은 서로 같습니다. 그러나, $0$에서 $-a$까지 정적분은 무한소 $dx$를 음수로 바꿉니다. 따라서, 왼쪽 변과 오른쪽 변은 절댓값은 같지만 서로 부호가 반대입니다.

홀수함수에 대해, $y$-축으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있는 두 점 사이의 정적분은 항상 0입니다. 즉, $y=f(x)$의 그래프는 원점 대칭이므로,

$\int _{-a}^{0}f(x)dx=-\int _{0}^{a}f(x)dx$

그리고 정적분의 연결 성질에 따라,

${\begin{aligned}\int _{-a}^{a}f(x)dx&=\int _{-a}^{0}f(x)dx+\int _{0}^{a}f(x)dx\\&=0\\\end{aligned}}$

위와 같은 홀수함수와 짝수함수의 정적분은 적분 구간이 $y$-축으로부터 왼쪽과 오른쪽으로 같은 거리만큼 떨어져 있을 때 사용할 수 있습니다.

적분 구간이 $y$-축으로부터 왼쪽과 오른쪽으로 같은 거리만큼 떨어져 때에는, 예를 들어, 짝수함수에 대해, 위의 성질을 응용해서,

$\int _{-1}^{2}f(x)dx=2\int _{0}^{1}f(x)dx+\int _{1}^{2}f(x)dx$

홀수함수에 대해,

$\int _{-1}^{2}g(x)dx=\int _{1}^{2}g(x)dx$

주기함수의 정적분

만약 함수 $f(x)$가 주기 $P(\neq 0)$를 갖는 함수이면, $f$의 정의역 안의 모든 $x$ 그리고 모든 양의 정수 $n$에 대해

$f(x+nP)=f(x)$.

따라서, 다음 2가지 식을 만족합니다.

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a+mP}^{b+mP}f(x)dx$

$\int _{a}^{a+mP}f(x)dx=m\int _{0}^{P}f(x)dx$

여기서 m은 정수입니다.