연립이차방정식

연립이차방정식은 2개의 미지수를 포함하는 엽립방정식에서 최고차항이 이차인 경우를 이르는 말입니다. 주로 2가지 형태를 많이 다루게 됩니다. 즉, 일차식/이차식 연립과 이차식/이차식 연립이 있습니다.

일차식/이차식

이 경우에는 일차식을 변형해서 이차식에 대입하면, 1개의 문자에 대한 이차방정식으로 만들 수 있기 때문에 쉽게 해를 구할 수 있습니다.

$\left\{{\begin{aligned}x-y-1&=0&\cdots (1)\\x^{2}+y^{2}-5&=0&\cdots (2)\end{aligned}}\right.$

즉, (1)을 $x=y+1\cdots (3)$로 변형해서 (2)에 대입을 합니다.

$(y+1)^{2}+y^{2}-5=0\rightarrow y^{2}+y-2=0$

$y=1$ 또는 $y=-2$

이것을 (3)에 대입해서 $x$를 구합니다.

$\left\{{\begin{aligned}x&=2\\y&=1\end{aligned}}\right.$

$\;{\text{or}}\;$

$\left\{{\begin{aligned}x&=-1\\y&=-2\end{aligned}}\right.$

이차식/이차식

연립이차방정식에서 일차식/이차식은 쉽게 해가 구해지는 것을 보았습니다. 이차식 2개로 이루어진 연립이차방정식도 일차식 2개로 인수분해가 된다면, 쉽게 연립방정식의 해를 구할 수 있습니다. 결국 일차식을 어떻게 만들것인가?로 문제는 귀결됩니다.

인수분해가 되는 경우

주어진 두식 중에 1개가 인수분해가 되는 경우입니다. 이때에는 일차식/이차식이 2번해서 해를 구할 수 있습니다.

이차항을 소거하는 경우

이차항이 전부 소거되어 일차식만 남게 되는 경우가 있습니다.

상수항을 소거하는 경우

상수항을 소거하면, 두 문자에 대한 인수분해가 되는 경우가 있습니다.

응용문제

응용문제1

세 변의 길이가 자연수이고 $\angle C=90^{\circ }$인 직각삼각형 $ABC$가 있습니다. 그림과 같이 점 $D$는 꼭짓점 $C$에서 선분 $AB$에 내린 수선의 발이고 ${\overline {CD}}$의 길이가 자연수 $l$일 때, 삼각형 $ABC$의 둘레의 길이는 $5l$을 만족합니다. 삼각형 $ABC$의 넓이의 최솟값은 얼마일까요?

해설: mowoum:연립이차방정식#응용예제1

응용문제2

$x,y$에 대한 연립방정식

$\left\{{\begin{aligned}x^{2}+2xy+y^{2}=9\cdots (1)\\2x^{2}-5y^{2}=3\cdots (2)\end{aligned}}\right.$

의 해 $x=\alpha ,\;y=\beta$에 대하여, $\alpha +\beta$의 최댓값을 구하면?

해설: mowoum:연립이차방정식#응용예제2

응용예제3

연립방정식

$\left\{{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}&=40\cdots (1)\\4x^{2}+y^{2}&=4xy\cdots (2)\end{aligned}}\right.$

의 해를 $x=\alpha ,\;y=\beta$라 할 때, $\alpha \beta$의 값은?

해설: mowoum:연립이차방정식#응용예제3