원의 방정식(평면벡터)

원의_방정식(수학1)에서, 원은 직교 좌표 시스템에서 두 점 사이의 거리로 정의를 했습니다.

원의 방정식은 직선의 방정식과 마찬가지로 벡터로 정의가 가능한데, 정의 그 자체는 변화가 없고, 단지 표현이 벡터로 바뀝니다.

중심이 $\mathrm {C}$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원에 대해, 원(원주) 위의 임의의 점을 $\mathrm {P}$ 라고 하면,

|{\vec {\mathrm {CP} }}|=r\cdots (1)

식 (1) 자체는 원의 방정식을 나타내지만, 스칼라(성분) 사이의 관계식을 얻기 위해서 약간의 대수적 조작이 필요합니다.

먼저 식 (1)의 양쪽 변을 제곱하면,

|{\vec {\mathrm {CP} }}|^{2}=r^{2}

점 곱의 성질에 의해,

{\vec {\mathrm {CP} }}\cdot {\vec {\mathrm {CP} }}=r^{2}

여기서, 두 점 $\mathrm {C,P}$ 의 위치벡터를, 각각, ${\vec {c}}$ , ${\vec {p}}$ 라고 하면,

{\vec {\mathrm {CP} }}={\vec {p}}-{\vec {c}}

이므로, 대입해서, $({\vec {p}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {c}})=r^{2}\cdots (2)$

역으로, 식 (2)를 만족하는 벡터 ${\vec {p}}$ 를 위치벡터로 하는 점 $\mathrm {P}$ 는 중심이 $\mathrm {C}$ 이고, 반지름의 길이가 $r$ 인 원 위에 존재합니다.

식 (2)의 벡터 식이 평면에서 원을 나타내지만, 벡터 식 자체를 조작하는 수학적 기법은 많지 않습니다. 벡터 식 자체를 조작하는 방법이 있으면 알려주세요!!

그래서, 기존에 사용하던 스칼라 형태로 식을 바꾸어서, 이미 존재하는 스칼라의 여러가지 기법을 사용합니다.

다음으로, 각 벡터의 성분을 표시해서, 스칼라 관계식을 유도할 수 있습니다.

원의 중심 $\mathrm {C}$ 의 위치벡터를 ${\vec {c}}=(x_{1},y_{1})$ 로 놓고, 원 위의 임의의 한 점 $\mathrm {P}$ 의 위치벡터를 ${\vec {p}}=(x,y)$ 로 놓습니다.

이것을 식 (2)에 대입해서, 연산하면,

(x-x_{1},y-y_{1})\cdot (x-x_{1},y-y_{1})=r^{2}

(x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r^{2}

지금의 양 끝점이 주어진 원의 방정식

지름의 양 끝점이 주어진 경우에서, 주어진 두 점의 중점이 원의 중심이고, 두 점 사이의 거리가 반지름이므로, 이것으로부터 원의 방정식을 얻을 수 있습니다.

어쨌든, 이런 대수적 조작 과정없이 지름의 양 끝점으로부터 직접 원의 방정식을 유도할 수 있습니다.

원 위의 두 점 $\mathrm {A,B}$ 가 지름의 양쪽 끝점으로 놓고, 원 위의, 점 $\mathrm {A,B}$ 가 아닌, 임의의 한 점을 $\mathrm {P}$ 라고 놓습니다.

두 점이 지름의 양쪽 끝점이므로, 기하학적으로 두 선분, ${\overline {\mathrm {AP} }}$ 와 ${\overline {\mathrm {BP} }}$ 는 수직으로 만나고, 이를 표현하는 벡터 역시 직교합니다.

따라서, 두 벡터가 수직으로 만나므로, 그들 사이의 점 곱은 영입니다.

{\vec {\mathrm {AP} }}\cdot {\vec {\mathrm {BP} }}=0\cdots (3)

또한, 세 점 $\mathrm {A,B,P}$ 의 위치벡터를 각각 ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {p}}$ 라고 놓으면, 다음을 만족합니다.

{\vec {\mathrm {AP} }}={\vec {p}}-{\vec {a}}

{\vec {\mathrm {BP} }}={\vec {p}}-{\vec {b}}

따라서, 식 (3)은 다음과 같이 표현됩니다:

({\vec {p}}-{\vec {a}})\cdot ({\vec {p}}-{\vec {b}})=0\cdots (4)

역으로, 식 (4)를 만족하는 벡터 ${\vec {p}}$ 를 위치벡터로 하는 점 $\mathrm {P}$ 는 두 벡터 ${\vec {a}},{\vec {b}}$ 를, 각각, 위치벡터로 하는 점 $\mathrm {A,B}$ 를 지름의 양쪽 끝점으로 하는 원 위에 존재합니다.

다음으로, 성분 사이의 관계식을 유도하기 위해,

두 점 $\mathrm {A} (x_{1},y_{1})$ , $\mathrm {B} (x_{2},y_{2})$ 를 지름의 양쪽 끝점으로 하는 원 위의 한 점 $\mathrm {P}$ 의 위치벡터를 ${\vec {p}}=(x,y)$ 라고 놓고, 두 점 $\mathrm {A}$ , $\mathrm {B}$ 의 위치벡터를 각각 ${\vec {a}}=(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}=(x_{2},y_{2})$ 라고 놓습니다.

이것을 식 (4)에 적용하면,

(x-x_{1},y-y_{1})\cdot (x-x_{2},y-y_{2})=0

점 곱을 계산하면

(x-x_{1})(x-x_{2})+(y-y_{1})(y-y_{2})=0\cdots (5)

일반적으로, 식 (5)를 암기한 후 원의 방정식을 구하지는 않는데, 처음 소개한 것처럼, 지름의 양쪽 끝점의 중점이 중심이고, 두 점 사이의 거리의 절반이 반지름이라는 사실로부터 원의 방정식을 구하는 것이 더 쓸모가 있기 때문입니다. 원에서는 중심과 반지름 사이의 관계로부터 생각하는 문제가 많기 때문에, 두 정보를 직접 알 수 있도록 원의 방정식을 표현하는 것이 보다 중요할 것으로 보입니다.