이산확률변수의 평균과 표준편차

먼저, 이전 과정의 도수분포표에서

변량 $X$	$\;x_{1}\;$	$\;x_{2}\;$	$\;x_{3}\;$	$\;\cdots \;$	$\;x_{n}\;$	합계
도수	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$\cdots$	$f_{n}$	$N$

평균 $m$ 은 다음과 같이 구해집니다:

m={\frac {x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+x_{3}f_{3}+\cdots +x_{n}f_{n}}{N}}

이 식을 다음과 같이 조작하면,

{\begin{aligned}m&={\frac {x_{1}f_{1}+x_{2}f_{2}+x_{3}f_{3}+\cdots +x_{n}f_{n}}{N}}\\&=x_{1}{\frac {f_{1}}{N}}+x_{2}{\frac {f_{2}}{N}}+x_{3}{\frac {f_{3}}{N}}+\cdots +x_{n}{\frac {f_{n}}{N}}\\&=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+x_{3}p_{3}+\cdots +x_{n}p_{n}\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}\\\end{aligned}}

평균이 도수분포표에서 많이 이용되었다면, 기댓값은, 겜블링(도박)에서 딸 수 있는 기대 금액의 의미로, 확률분포표에서 더 자주 이용됩니다.

일반적인 (이산)확률분포표에서,

$X$	$\;x_{1}\;$	$\;x_{2}\;$	$\;x_{3}\;$	$\;\cdots \;$	$\;x_{n}\;$	합계
$P(X=x_{i})$	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	$\cdots$	$p_{n}$	1

그의 기댓값은 다음과 같이 표현됩니다:

E(X)=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+x_{3}p_{3}+\cdots +x_{n}p_{n}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}

이산확률변수의 분산과 표준편차

도수분포표에서 분산은 다음 2가지 방법으로 구했습니다.

첫 번째를 식으로 나타내고 다음과 같이 대수적으로 조작할 수 있습니다:

{\begin{aligned}V&={\frac {(x_{1}-m)^{2}f_{1}+(x_{2}-m)^{2}f_{2}+(x_{3}-m)^{2}f_{3}+\cdots +(x_{n}-m)^{2}f_{n}}{N}}\\&=(x_{1}-m)^{2}{\frac {f_{1}}{N}}+(x_{2}-m)^{2}{\frac {f_{2}}{N}}+(x_{3}-m)^{2}{\frac {f_{3}}{N}}+\cdots +(x_{n}-m)^{2}{\frac {f_{n}}{N}}\\&=(x_{1}-m)^{2}p_{1}+(x_{2}-m)^{2}p_{2}+(x_{3}-m)^{2}p_{3}+\cdots +(x_{n}-m)^{2}p_{n}\\&=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-m)^{2}p_{i}\\\end{aligned}}

두 번째를 식으로 나타내고 다음과 같이 대수적으로 조작할 수 있습니다:

{\begin{aligned}V&={\frac {x_{1}^{2}f_{1}+x_{2}^{2}f_{2}+x_{3}^{2}f_{3}+\cdots +x_{n}^{2}f_{n}}{N}}-m^{2}\\&=x_{1}^{2}{\frac {f_{1}}{N}}+x_{2}^{2}{\frac {f_{2}}{N}}+x_{3}^{2}{\frac {f_{3}}{N}}+\cdots +x_{n}^{2}{\frac {f_{n}}{N}}-m^{2}\\&=x_{1}^{2}p_{1}+x_{2}^{2}p_{2}+x_{3}^{2}p_{3}+\cdots +x_{n}^{2}p_{n}-m^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-m^{2}\\\end{aligned}}

한편, 분산 $V$ 는 $\sigma ^{2}$ 으로 나타내기도 하고, 그의 양의 제곱근 ${\sqrt {V}}$ 는 표준편차 $\sigma$ 라고 합니다

정리하면,

이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수가 $P(X=x_{i})=p_{i}\;(i=1,2,3,\cdots ,n)$ 이고, 기댓값(평균)을 $E(X)(=m)$ 라고 할 때, 분산 $V(x)$ 와 표준편차 $\sigma (X)$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

{\begin{aligned}V(X)&=E\left((X-m)^{2}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-E(x)\right)^{2}p_{i}\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-\left\{E(X)\right\}^{2}\\&=E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2}\\\end{aligned}}

\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}

분산 식은 시그마에 의한 표현이므로, 시그마의 성질을 이용해서 두 식이 같음을 보일 수 있습니다:

{\begin{aligned}V(X)&=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-m\right)^{2}pi\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}-2mx_{i}+m^{2}\right)pi\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-2m\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}+m^{2}\sum _{i=1}^{n}pi\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-2m\cdot m+m^{2}\cdot 1\\&=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}+m^{2}\\&=E\left(X^{2}\right)-\left\{E(X)\right\}^{2}\\\end{aligned}}

주머니 안에 구별이 되지 않는 검은 공 4개와 흰 공 2개가 들어 있다. 이 주머니에서 차례로 한 개씩 꺼내어 순서를 기록할 때, 두 번째 검은 공이 나온 순서를 확률변수 $X$ 라 하자. $X$ 의 분산을 구하시오.