인수정리

Main article: factor theorem

나눗셈에서 나머지를 구하기 위한 나머지정리를 적용했을 때, 나머지가 $0$이 되는 특수한 경우를 가리켜 인수정리라고 부릅니다.

즉, 다항식 $f(x)$를 일차식 $x-\alpha$로 나누었을 때, $R=0$이 나오는 경우에, 나누어 떨어진다라고 얘기하고, $x-\alpha$를 다항식 $f(x)$의 인수라고 부릅니다. 물론 몫인 $Q(x)$도 인수의 조건을 만족합니다.

따라서 다항식의 나머지정리에 의해, 다항식 $f(x)$는 다음의 형태로 적을 수 있습니다:

$f(x)=(x-\alpha )Q(x)$

이와 같은 성질을 인수정리라고 합니다.

이때, $Q(x)$가 상수이면, 인수라고 부르지 않고, 실수배라고 부릅니다.

기본예제

예제1

$x$에 대한 다항식 $f(x)=x^{3}+kx^{2}+kx-2$가 $x-2$로 나누어 떨어지도록 상수 $k$의 값을 구하여라.

해설) 나누어 떨어지는 경우이므로, 인수정리에 따라 $f(2)=2^{3}+2^{2}k+2k-2=0$을 만족합니다.

$k=-1$

예제2

$x$에 대한 다항식 $f(x)=x^{3}+5x^{2}+ax-a$가 $x+1$을 인수로 가질 때, 상수 $a$의 값을 구하여라.

해설) 인수정리에 따라 $f(-1)=(-1)^{3}+5\cdot (-1)^{2}+a\cdot (-1)-a=0$을 만족합니다.

∴ $a=2$

응용예제

응용예제1

이차방정식 $x^{2}+2x-1=0$의 두 근을 $\alpha ,\beta$라고 할 때, 이차함수 $f(x)=x^{2}+px+q$가 $f\left(\alpha ^{3}\right)=\alpha -1$, $f\left(\beta ^{3}\right)=\beta -1$를 만족시킬 때, 두 상수 $p,q$에 대하여, $2p-q$의 값은?

해설: mowoum:인수정리#응용예제1

응용예제2

$3749=2\times 11^{3}+9\times 11^{2}-2=a\times b$로 표현될 때, 이를 만족하는 자연수 $a,\;b$에 대해 $a+b$의 값은? (단, $a$와 $b$는 1보다 크다.)

해설: mowoum:인수정리#응용예제2

응용예제3

$x$에 대한 이차방정식 $x^{2}+x+1=0$의 두 근 $\alpha ,\;\beta$에 대하여 이차함수 $f(x)=x^{2}+px+q$가 $f\left(\alpha ^{2}\right)=-4\alpha$와 $f\left(\beta ^{2}\right)=-4\beta$를 만족시킬 때, 두 상수 $p,q$에 대하여 $p+q$의 값은?

해설: mowoum:인수정리#응용예제3

응용예제4

다항식 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여

$(x-3)f(x+4)=(x+2)f(x)$

를 만족할 때, $f(x)$를 $x^{2}-5x+7$로 나눈 나머지가 $3x-5$일 때, $f(1)$의 값은?

해설: mowoum:인수정리#응용예제4

응용예제5

삼차 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(1)={\frac {1}{2}}$, $f(2)={\frac {2}{3}}$, $f(3)={\frac {3}{4}}$, $f(4)={\frac {4}{5}}$를 만족할 때, $f(0)$의 값은?

해설: mowoum:인수정리#응용예제5

응용예제6

x에 대한 이차식 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(x)$를 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

(가) $x^{3}+3x^{2}+4x+2$를 $f(x)$로 나눈 나머지는 $g(x)$입니다.

(나) $x^{3}+3x^{2}+4x+2$를 $g(x)$로 나눈 나머지는 $f(x)-x^{2}-2x-3$입니다.

해설: mowoum:인수정리#응용예제6

응용예제7

삼차식 $P(x)$에 대하여 $P(6)=8$, ${\frac {P(1)}{P(2)}}=2$, ${\frac {P(2)}{P(3)}}={\frac {3}{2}}$, ${\frac {P(3)}{P(4)}}={\frac {4}{3}}$일 때, 다항식 $P(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 나머지는?

해설: mowoum:인수정리#응용예제7

응용예제8

삼차다항식 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킵니다.

(가) $(x-1)f(x-2)=(x-5)f(x)$

(나) $f(x)$를 $x^{2}-3x+1$로 나눈 나머지는 $2x-10$입니다.

$f(2)$의 값은?

해설: 인수정리#응용예제4에서 숫자만 바꾼 문제입니다. 그대로 따라하십시오.

응용예제9

다항식 $x^{3}+2x^{2}-5x+3$을 다항식 $P(x)$로 나누었을 때의 나머지는 $2x-1$이고, $P(0)=-4$입니다. $P(3)$의 값은? (단, $P(x)$의 모든 계수는 정수입니다.)

해설: mowoum:인수정리#응용예제9

응용예제10

두 이차다항식 $f(x)=x^{2}+x+1$, $g(x)=ax^{2}+bx+2$이 있습니다. 방정식 $f(x)=0$의 두 근 $\alpha ,\beta$가 $g(\alpha ^{2})=3\alpha ,g(\beta ^{2})=3\beta$를 만족할 때, 상수 $a,b$의 값을 구하여라.

해설: mowoum:인수정리#응용예제10

응용예제11

모든 항의 계수가 정수이고 $n$차 다항식 $f(x)$에 대하여 $f(7)=213$이고, 다음 조건을 만족시킵니다.

(ㄱ) 4이하의 서로 다른 자연수 $k_{1},k_{2}$에 대하여 $n_{k_{1}}\neq n_{k_{2}}$입니다.

(ㄴ) 자연수 $n_{k}$는 7보다 작습니다. (단, $k$는 4이하의 자연수입니다)

(ㄷ) $f\left(n_{k}\right)=3$ (단, $k$는 4이하의 자연수입니다)

위 조건을 만족시키는 $n$의 최솟값을 $a$라 하고, $n=a$일 때, 다항식 $f(x)$의 상수항을 포함한 모든 항의 계수들의 합을 $b$라 할 때, $10a+b$의 값을 구하면?

해설: mowoum:인수정리#응용예제11

응용예제12

사차 다항식 $f(x)$는 $f(2)=f(-2)=f(3)=-1$이고, $f(1)=f(-1)=1$이 성립합니다. 이때, $f(0)$의 값은?

해설: mowoum:인수정리#응용예제12

응용예제13

최고차항의 계수가 1인 다항식 $f(x)$가 등식

$(x+7)f(2x)=8xf(x+1)$

을 만족시킬 때, $f(x)$를 $x+1$로 나눈 나머지를 구하시오.

해설: mowoum:인수정리#응용예제13

응용예제14

사차다항식 $f(x)$에 대하여

$f(x)={\frac {k}{k+1}}\;(k=0,1,2,3,4)$

일 때, $f(5)$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:인수정리#응용예제14

응용예제15

이차식 $f(x)$에 대하여 ${\frac {f(3)}{10}}={\frac {f(2)}{15}}={\frac {f(1)}{30}}={\frac {1}{6}}$이 성립한다. 이때 $f(x)$를 $x-5$로 나누었을 때, 나머지 값은?

해설: mowoum:인수정리#응용예제15

응용예제16

$x$에 대한 다항식 $x(x-a)(x-b)-16$이 $x-c$로 나누어떨어지도록 하는 세 정수 $a,b,c$의 모든 순서쌍 $(a,b,c)$의 개수를 $n$, $a+b+c$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M,m$이라고 할 때, $M+m$의 값과 자연수 $n$의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오. (단, $0<a<b$)

해설: mowoum:인수정리#응용예제16

응용예제17

이차방정식 $x^{2}+x+1=0$의 두 근 $\alpha ,\beta$에 대하여 이차 함수 $f(x)=x^{2}+ax+b$가 $f\left(\alpha ^{2}\right)+4\alpha =0$와 $f\left(\beta ^{2}\right)+4\beta =0$을 만족시킬 때, 두 상수 $a,b$에 대하여 $a^{2}+b^{2}$의 값은?

해설: mowoum:인수정리#응용예제17