절댓값 기호를 포함한 일차방정식

절댓값이란, 어떤 실수 $a$ 를 수직선에 대응시켰을 때, 수직선의 원점에서 실수 $a$ 까지의 거리를 의미합니다. 이것을 기호로 $|a|$ 로 나타냅니다.

절댓값은 거리의 개념이므로 반드시 0또는 양수이어야 하며, 만약 실수 $a$ 가 음수라면, $a$ 에 $(-1)$ 을 곱해 양수로 만들어야 합니다.

예를 들어, $|3|=3$ 이고 $|-3|=-(-3)=3$ 으로 생각할 수 있습니다.

즉, 어떠 실수 $a$ 의 절댓값은 $|a|\,$ 로 표기하며, 다음과 같이 정의됩니다.

|a|:={\begin{cases}a,&{\text{if}}\quad a\geq 0\\-a,&{\text{if}}\quad a<0.\end{cases}}

이 결과는 이전에 배웠던 ${\sqrt {a^{2}}}$ 과 동일합니다. 절댓값 표기법이 좀더 간단하기 때문에 앞으로 ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ 로 바꾸어서 사고하는 것이 좋겠습니다.

기본꼴

먼저 $|x|=2$ 의 해를 구해 보겠습니다. 이 경우는 정의식에 의해, 원점에서 오른쪽으로 가면 $+2$ 이고, 왼쪽이면 $-2$ 가 됩니다. 그러므로 $x=\pm 2$ 가 정답입니다.

절댓값은 음의 값을 가질 수 없기 때문에, 만약 오른쪽 변의 숫자가 음수이면, 해 없음이 정답입니다. 이 개념은 오른쪽 변이 식으로 바뀔지라도, 동일하게 사용될 수 있습니다.

기본꼴 변형

$|x-3|=2$ 인 경우에는 $x-3=t$ 로 치환해서 기본꼴로 만들 수 있습니다. 그러므로 $t=\pm 2$ , 즉 $x-3=\pm 2$ 이 되어 $x=5,1$ 이 정답이 됩니다.

다른 사고

절댓값은 원점이 기준점이 되어 좌우로 거리를 이동하는 것을 의미합니다. $x-3=t$ 인 치환은 $t=0$ 인 원점에서 $x-3=0$ 을 만족하는 $x=3$ 으로 기준점이 바뀌는 것을 의미합니다. 즉, $3$ 에서 오른쪽으로 $+2$ 만큼, 왼쪽이면 $-2$ 만큼이동해서 정답을 찾습니다.