절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프

고등학교 과정에서 함수는 일차함수, 이차함수, 등의 다항함수와 지수함수, 로그함수, 삼각함수 등의 초월함수가 있습니다. 이런 기본 함수의 그림에서 절댓값 기호가 더해질 경우 그래프의 모양이 어떻게 바뀌는지 알아둘 필요가 있습니다.

다항식에서 절댓값 기호가 있게 되면 절댓값 안쪽의 값에 따라 부호가 달라지기 때문에, 그래프에서도 경계를 기점으로 부호가 달라지게 됩니다. 부호가 바뀌게 되면 그래프에서는 대칭과 관련이 있습니다.

$y=f(x)$ 의 그래프를 알고 있을 때, 다음의 그래프를 그려보겠습니다.

$y=|f(x)|$

$f(x)\geq 0\rightarrow |f(x)|=f(x)\quad \therefore y=f(x)$
$f(x)<0\rightarrow |f(x)|=-f(x)\quad \therefore -y=f(x)$

그래프에서 $f(x)\geq 0$ 은 $x$ 축 윗부분을 말하며, 이 부분은 변화가 없기 때문에 원래 함수의 그래프와 동일합니다.

그래프에서 $f(x)<0$ 은 $x$ 축 아랫부분을 말하며, 이 부분은 $y$ 의 부호가 반대로 되었기 때문에 원래 함수의 그래프중에서 $x$ 축 아래쪽 부분을 $x$ 축에 대해서 대칭으로 그래프를 그려줍니다.

$y=f(|x|)$

$x\geq 0\rightarrow f(|x|)=f(x)\quad \therefore y=f(x)$
$x<0\rightarrow f(|x|)=f(-x)\quad \therefore y=f(-x)$

그래프에서 $x\geq 0$ 은 $y$ 축 오른쪽 부분을 말하며, 이 부분은 변화가 없기 때문에 원래 함수의 그래프와 동일합니다.

그래프에서 $x<0$ 은 $y$ 축 왼쪽 부분을 말하며, 이 부분은 $x$ 의 부호가 반대로 되었기 때문에 원래 함수의 $y$ 축 오른쪽( $x\geq 0$ ) 부분을 $y$ 축에 대해서 대칭으로 그래프를 그려줍니다.

$|y|=f(x)$

$y\geq 0\rightarrow |y|=y\quad \therefore y=f(x)$
$y<0\rightarrow |y|=-y\quad \therefore -y=f(x)$

그래프에서 $y\geq 0$ 은 $x$ 축 윗 부분을 말하며, 이 부분은 변화가 없기 때문에 원래 함수의 그래프와 동일합니다.

그래프에서 $y<0$ 은 $x$ 축 아랫 부분을 말하며, 이 부분은 $y$ 의 부호가 반대로 되었기 때문에 원래 함수의 $x$ 축 윗( $x\geq 0$ ) 부분을 $x$ 축에 대해서 대칭으로 그래프를 그려줍니다.

$|y|=f(|x|)$

$x\geq 0,y\geq 0\rightarrow |x|=x,|y|=y\quad \therefore y=f(x)$
$x<0,y\geq 0\rightarrow |x|=-x,|y|=y\quad \therefore y=f(-x)$
$x<0,y<0\rightarrow |x|=-x,|y|=-y\quad \therefore -y=f(-x)$
$x\geq 0,y<0\rightarrow |x|=x,|y|=-y\quad \therefore -y=f(x)$

그래프에서 $x\geq 0,y\geq 0$ 는 1사분면을 말하며, 이 부분은 변화가 없으므로 원래 함수의 그래프를 그대로 그려줍니다.

그래프에서 $x<0,y\geq 0$ 는 2사분면을 말하며, 이 부분은 $x$ 의 부호가 반대로 되었기 때문에 원래 함수의 1사분면 부분을 $y$ 축에 대해서 대칭으로 그래프를 그려줍니다.

그래프에서 $x<0,y<0$ 는 3사분면을 말하며, 이 부분은 $x$ 와 $y$ 의 부호가 반대로 되었기 때문에 원래 함수의 1사분면 부분을 원점에 대해서 대칭으로 그래프를 그려줍니다.

2사분면의 그래프와 비교해서는 $y$ 의 부호가 반대로 되었으므로, $x$ 축에 대해서 대칭으로 그려도 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

그래프에서 $x\geq 0,y<0$ 는 4사분면을 말하며, 이 부분은 $y$ 의 부호가 반대로 되었기 때문에 원래 함수의 1사분면 부분을 $x$ 축에 대해서 대칭으로 그래프를 그려줍니다.

2사분면 그래프의 원점 대칭, 3사분면 그래프의 $y$ 축 대칭으로 쉽게 이해가 되시나요?

복합적인 경우

예를 들어 $y=|f(|x|)|$ 이런 그래프는 $t=f(|x|)$ 로 치환을 해서 그래프를 그린 후에 $y=|t|$ 의 그래프를 그려줍니다. 이렇게 보면, 치환이 복잡한 부분을 간단히 만들어서 쉽게 접근을 할수 있도록 도와주는 매우 중요한 수단입니다.

응용예제

응용예제1

함수 $y=f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킵니다.

(가)

-1\leq x<1

에서

f(x)={\sqrt {|x|}}

입니다.

(나) 모든 실수

x

에 대하여

f(x)=f(x+2)

입니다.

방정식 $f(x)=mx+{\frac {1}{2}}-2m$ 이 서로 다른 실근을 5개 이상 갖도록 하는 $m$ 의 값의 범위가 $\alpha <m<\beta$ 일 때, ${\frac {1}{\alpha ^{2}}}+{\frac {1}{\beta ^{2}}}$ 의 값은 얼마일까요?

해설: mowoum:절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프#응용예제1

응용예제2

$x$ 에 대한 방정식 $\left|{\frac {1}{2}}x^{2}-4x+3\right|-k=0$ 이 서로 다른 세 개의 양의 실근과 한 개의 음의 실근을 가질 때, 정수 $k$ 의 값을 구하면?

해설: mowoum:절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프#응용예제2

응용예제3

$x$ 에 관한 방정식 $|x(x-3)|-m(x-4)=0$ 이 4개의 실근을 가질 때, $m$ 의 값의 범위를 구하면?

해설: mowoum:절댓값 기호를 포함한 함수의 그래프#응용예제3

응용예제4

함수 $f(x)=\left|x^{2}-x-1\right|$ 와 함수 $g(x)=ax+b$ 가 있다. $b\geq -{\frac {7}{2}}$ 인 모든 실수 $b$ 에 대하여 $y=f(x)$ 의 그래프가 직선 $y=g(x)$ 와 항상 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 양수 $a$ 의 최솟값은?