점과 직선 사이의 거리

Main article: Distance from a point to a line

점과 직선 사이의 거리는 직선 위에 있지 않는 점에서 직선에 이르는 최단거리를 말합니다. 즉, 좌표평면 위의 한 점 $\mathrm {P}$에서 점 $\mathrm {P}$를 지나지 않는 직선 $l$에 내린 수선의 발을 $\mathrm {H}$라 할 때, 수선 $\mathrm {PH}$를 점 $\mathrm {P}$와 직선 $l$ 사이의 거리라고 합니다.

점 $\mathrm {P} (x_{1},y_{1})$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같이 구해집니다.

$\displaystyle d={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+c\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

이 과정을 통해 배운 것은 3차원 공간에서는 평면과 평면위에 있지 않은 한 점 사이의 거리로 확장이 됩니다. 이후 과정에서는 벡터를 통해 증명을 하지만, 결과는 단지 변수만 한개 더 추가됨을 볼 수 있습니다. 이런 것이 직교좌표계의 최대 장점이라고 볼 수 있습니다.

증명

점 $\mathrm {P}$의 좌표를 $\left(x_{1},y_{1}\right)$, 수선의 발 $\mathrm {H}$의 좌표를 $\left(x_{2},y_{2}\right)$, 직선 $l$의 방정식을

$ax+by+c=0\quad \cdots (1)$

이라 할 때, 점 $\mathrm {P}$와 직선 $l$ 사이의 거리를 다음과 같이 구해집니다.

먼저 $a\neq 0,b\neq 0$일 때, 직선 $\mathrm {PH}$는 직선 $l$에 수직이므로, 직선 $\mathrm {PH}$의 기울기는 ${\frac {b}{a}}$이고, 점 $P\left(x_{1},y_{1}\right)$을 지나므로 직선 $\mathrm {PH}$의 방정식은 다음과 같이 구해집니다.

$\displaystyle y-y_{1}={\frac {b}{a}}(x-x_{1})$

이것을 분모가 없도록 정리한 식은 다음과 같습니다.

$b(x-x_{1})-a(y-y_{1})=0\quad \cdots (2)$

만약 $a=0$인 경우의 수직인 직선의 방정식은 어떻게 될까요? 이때에는 원래의 $y=-{\frac {c}{b}}$로 $x$축에 평행한 직선입니다. 그러므로 수직인 직선의 방정식은 $y$축에 평행한 방정식으로 $x=x_{1}$으로 표시됩니다.

또한, 같은 방법을 이용하면 $b=0$인 경우에 수직인 직선의 방정식은 $y=y_{1}$으로 나타낼 수 있습니다.

그러므로 (2)식은 점 $\mathrm {P}$를 지나면서 직선 (1)에 수직인 직선의 방정식의 모든 경우를 나타낼 수 있습니다. 또한, 이 직선은 점 $\mathrm {H} (x_{2},y_{2})$를 지나므로 다음 식을 만족합니다.

$a(y_{2}-y_{1})=b(x_{2}-x_{1})\quad \cdots (3)$

한편, 직선 (1)도 $\mathrm {H} (x_{2},y_{2})$를 지나므로 다음 식을 만족합니다.

$ax_{2}+by_{2}+c=0$

이 식은 연립방정식을 해를 쉽게 구하기 위해서 다음과 같이 변형합니다.

$a(x_{2}-x_{1})+b(y_{2}-y_{1})=-(ax_{1}+by_{1}+c)\quad \cdots (4)$

(2),(4)식에서 $x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1}$에 대해서 연립방정식을 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle x_{2}-x_{1}={\frac {-a(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}}$

$\displaystyle y_{2}-y_{1}={\frac {-b(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}}$

${\begin{aligned}\therefore \mathrm {PH} &={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}\\&=\displaystyle {\sqrt {\frac {(a^{2}+b^{2})(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}}\\&=\displaystyle {\frac {|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\end{aligned}}$

응용예제

응용예제1

이차함수 $y=x^{2}$ 위의 임의의 점 $\mathrm {P}$에서 직선 $y=2x-3$까지 거리의 최솟값을 구하시오.

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제1

응용예제2

점 $B(-3,2)$에서 점 $A(1,4)$를 지나는 직선으로 빛을 쐈을 때, 이 빛은 점 $A$에서 반사되어 점 $C(4,-2)$에 도달했습니다. 이때, 빛을 반사한 직선의 방정식은 무엇일까요? (단, 직선으로 보낸 빛의 입사각과 반사각은 서로 같습니다.)

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제2

응용예제3

다음 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 두 정사각형 $\mathrm {ABCD}$, $\mathrm {PQRS}$가 있습니다.

꼭짓점 $\mathrm {A}$는 직선 $3x-2y+12=0$ 위를 움직이고, 꼭짓점 $\mathrm {R}$은 직선 $3x-2y-13=0$ 위를 움직일 때, 두 점 $\mathrm {C}$와 $\mathrm {P}$ 사이의 거리의 최솟값은 얼마일까요? (단, ${\overline {\mathrm {AB} }}$와 ${\overline {\mathrm {SR} }}$은 항상 $y$-축과 평행하게 움직입니다.)

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제3

응용문제4

직선 $4x-3y+8=0$이 x-축과 만나는 점을 A라 하고, 직선 $kx-y+2-3k=0$이 x-축 및 직선 $4x-3y+8=0$과 만나는 점을 각각 B, C라고 놓습니다. 선분 ${\overline {AB}}={\overline {AC}}$일 때, k의 값과 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오. (단, k < 0)

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제4

응용예제5

점 $\mathrm {O}$와 두 점 $\mathrm {A} (2,4)$, $\mathrm {B} (6,0)$에 대하여 그림과 같이 삼각형 $\mathrm {OBA}$와 넓이가 같은 삼각형 $\mathrm {ABC}$를 만들려고 합니다. 삼각형 $\mathrm {ABC}$는 $\mathrm {AC} =\mathrm {BC}$인 이등변삼각형이라고 할 때, 제 1사분면에 있는 점 $\mathrm {C}$의 좌표는 $(a,b)$입니다. 이때, $ab$의 값은? (단, $\mathrm {O}$는 원점입니다.)

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제5

응용예제6

그림과 같이 한 변의 길이가 4인 정사각형 $\mathrm {ABCD}$에서 선분 $\mathrm {BC}$ 위의 점 $\mathrm {E}$가 있다. 선분 $\mathrm {AB}$의 중점 $\mathrm {M}$에서 선분 $\mathrm {DE}$까지의 거리가 2이다. 선분 $\mathrm {DE}$의 길이를 구하되 풀이 과정을 서술하시오.

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제6

응용예제7

그림과 같이 좌표평면 위에 서로 변을 공유하며 놓여있는 크기가 같은 6개의 정사각형에 대하여 점 $\mathrm {E}$의 $x$-좌표가 15일 때, 원점 $\mathrm {O}$와 직선 $\mathrm {EF}$ 사이의 거리는?

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제7

응용예제8

두 점 $\mathrm {A} (-1,10)$, $\mathrm {B} (2,4)$와 $x$-축 위의 점 $\mathrm {P}$에 대하여 $\left|{\overline {\mathrm {AP} }}-{\overline {\mathrm {BP} }}\right|$의 값이 최대가 되도록 하는 점 $\mathrm {P}$의 좌표를 $(\alpha ,0)$이라 하자. 이때 점 $\mathrm {P}$와 직선 $(k-1)x+(k-5)y=4k$ 사이의 거리가 최대가 되도록 하는 실수 $k$의 값을 $\beta$라 할 때, $\alpha ^{2}+\beta ^{2}$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제8

응용예제9

직선 $l$이 $x$축과 양의 방향으로 이루는 각의 크기가 $75^{\mathrm {o} }$이고, 두 직선 $x-y-2=0$, $x-y-4=0$과 각각 두 점 $\mathrm {P,Q}$에서 만난다. 이때, 선분 $\mathrm {PQ}$의 길이를 구하시오.

해설: mowoum:점과 직선 사이의 거리#응용예제9