2배각에 대한 삼각함수

삼각함수의 덧셈정리에서 $\beta \rightarrow \alpha$ 를 대입하면 아래와 같은 식을 구할 수 있습니다.

$\quad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
$\quad \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$
$\quad \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}$

코사인에 대한 2배각 공식을 변형하면 아래와 같습니다.

$\quad \cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1=1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}$
$\quad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\ \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}$

위의 결과들은 예를 들어 $\sin ^{2}\heartsuit ={\frac {1-\cos 2\heartsuit }{2}}$ 와 같은 형태를 갖게 됨을 알 수 있습니다. 함수나 각도가 변하더라도 충분히 응용이 가능하며, 코사인의 경우도 마찬가지입니다.

주목할 것은 2배 각도의 삼각함수는 원래 각도에 대한 삼각함수의 제곱식이 된다는 점입니다. 게다가, 각도가 3배가 되는 것은 $3\theta =2\theta +\theta$ 와 같이 변형하고, 그런-다음 결과식에서 2배각에 대한 삼각함수를 대입한 후, 정리해서 식을 만들 수 있습니다. 이때, 결과식은 삼각함수의 세제곱 식이 됨을 알 수 있습니다.