Actual infinity

Original article: w:Actual infinity

수학의 철학(philosophy of mathematics)에서, 실제 무한대(infinity)의 추상화(abstraction)는 주어진, 실제 및 완성된 대상으로 무한 엔터디의 (만약 무한대의 공리(axiom of infinity)가 포함되면) 수용을 포함합니다. 이것들은 자연수(natural numbers), 확장된 실수(extended real numbers), 초월-유한 숫자(transfinite numbers), 또는 심지어 유리수(rational numbers)의 무한 수열의 집합을 포함할 수 있습니다. 실제 무한대는 잠재적 무한대(potential infinity)와 대조되는 것이며, 이것에서 ("이전 숫자에 1을 더하는 것"과 같은) 비-종료 프로세스가 마지막 원소를 갖지 않는 수열을 생성하고, 여기서 각 개별 결과가 유한이고 유한한 단계의 숫자에서 달성됩니다. 결과로써, 잠재적 무한대는 종종 극한(limit)의 개념을 사용하여 공식화됩니다.

Anaximander

Main article: Apeiron (cosmology)

잠재적 또는 부적절한 무한에 대한 고대 그리스 용어는 실제 또는 적절한 무한 아포리스멘논(aphorismenon)과 대조적으로 아페이론(apeiron) (무제한 또는 무한정)이었습니다. Apeiron은 peras (한계)를 가지는 것에 반대됨을 의미합니다. 이들 개념은 오늘날 각각 잠재적으로 무한(potentially infinite)과 실제적으로 무한(actually infinite)에 의해 표시됩니다.

Anaximander (기원전 610–546)는 아페이론이 만물을 구성하는 원리 또는 주요 원소라고 주장했습니다. 분명하게, '아페이론'은 일종의 기본 물질이었습니다. 아페이론의 플라톤의 개념은 무한한 변동가능성과 관련하여 더 추상적입니다. 플라톤이 '아페이론'에 대해 논의한 주요 대화는 후기 대화 파르메니데스(Parmenides)와 필레부스(Philebus)입니다.

Aristotle

아리스토텔레스(Aristotle)는 전임자들의 무한에 대한 견해를 다음과 같이 요약합니다:

"피타고라스 학파만이 감각의 대상 사이에 무한을 놓고 (그들은 수를 감각 대상과 분리할 수 있다고 생각하지 않습니다), 하늘 밖에 있는 것이 무한하다고 주장합니다. 플라톤은, 다른 한편으로, 바깥에 육체가 없다고 주장하며 (형상은 어디에도 없기 때문에 외부에 있는 것이 아닙니다), 여전히 무한은 감각의 대상일 뿐만 아니라 형상에도 존재합니다." (아리스토텔레스)

그 주제는 수학과 물리학 (자연의 연구)의 맥락에서 아리스토텔레스에 의한 아페이론에 대한 고려를 통해 제시한 것입니다:

"무한은 사람들이 말하는 것과 반대되는 것으로 밝혀졌습니다. 무한한 것은 '자신을 넘어서는 것이 없는 것'이 아니라 '항상 자신을 넘어서는 것을 갖는 것'입니다." (아리스토텔레스)

무한의 존재에 대한 믿음은 주로 다섯 가지 고려 사항에서 비롯됩니다:

1. 시간의 본성에서 – 그것은 무한이기 때문입니다.
2. 크기의 나눗셈에서 – 수학자들은 역시 무한의 개념을 사용하기 때문입니다.
3. 오고 가는 것이 포기하지 않는다면, 그것은 오직 만물의 근원이 무한이기 때문입니다.
4. 제한된 것은 항상 무언가에서 한계를 찾기 때문에, 모든 것이 항상 자신과 다른 것에 의해 제한된다면 한계가 없어야 합니다.
5. 무엇보다 독특하게 적절하고 모두가 느끼는 어려움을 제시하는 이유 – 숫자 뿐만 아니라 수학적 크기와 하늘 밖에 있는 것은 우리 생각에서 결코 내놓지 않기 때문에 무한하다고 여깁니다. (아리스토텔레스)

아리스토텔레스는 실제 무한은 불가능하다고 가정했는데, 왜냐하면 그것이 가능하다면, 무언가가 무한한 크기에 도달했을 것이고 "하늘보다 크기" 때문입니다. 어쨌든, 그는 무한과 관련된 수학이 이러한 불가능성으로 인해 적용 가능성을 박탈당한 것은 아니라고 말했는데, 왜냐하면 수학자들은 그들의 정리를 위해 무한이 필요하지 않고, 단지 유한하고, 임의적으로 큰 크기가 필요하기 때문입니다.

Aristotle's potential–actual distinction

아리스토텔레스는 물리학과 형이상학에서 무한대의 주제를 다루었습니다. 그는 실제적 무한대와 잠재적 무한대 사이를 구별했습니다. 실제 무한대는 완전하고 한정적이고, 무한하게 많은 원소로 구성됩니다. 잠재적 무한대는 결코 완전하지 않습니다: 원소는 항상 추가될 수 있지만, 결코 무한하게 많을 수는 없습니다.

"일반적으로 무한은 존재의 이 모드를 가지고 있기 때문입니다: 하나는 항상 또 다른 것 뒤에 취해지고 있고, 취해지는 각각의 것은 항상 유한이지만, 항상 다릅니다."

— Aristotle, Physics, book 3, chapter 6.

아리스토텔레스는 덧셈과 나눗셈에서 무한대 사이를 구분했습니다.

그러나 플라톤은 두 개의 무한대, 큰 것(Great)과 작은 것(Small)을 가지고 있습니다.

— Physics, book 3, chapter 4.

"증가와 관련하여 잠재적으로 무한한 급수의 예제로서, 하나의 숫자가 항상 1,2,3,...으로 시작하는 급수에서 또 다른 것 후에 더해질 수 있지만 더 많은 숫자를 더하는 과정은 소진되거나 완료될 수 없습니다."

나눗셈과 관련하여, 나눗셈의 잠재적으로 무한 수열은 예를 들어 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16과 같이 ​​시작될 수 있지만 나눗셈의 과정은 소진되거나 완료될 수 없습니다.

"나누는 과정이 결코 끝나지 않는다는 사실은 이 활동이 잠재적으로 존재한다는 것을 보장하지만, 무한이 따로 존재한다는 것은 아니기 때문입니다."

— Metaphysics, book 9, chapter 6.

아리스토텔레스는 역시 그리스 수학자들이 실제 무한과 잠재적 무한의 차이를 알고 있었지만, 그들은 "[실제] 무한이 필요하지 않고 그것을 사용하지도 않는다"고 주장했습니다" (Phys. III 2079 29).

Scholastic, Renaissance and Enlightenment thinkers

압도적 다수의 스콜라 철학자들(scholastic philosophers)은 Infinitum actu non datur라는 모토를 고수했습니다. 이것은 (개발, 부적절, "syncategorematic") 잠재적 무한대만 있고 (고정, 적절한, "categorematic") 실제 무한대가 없음을 의미합니다. 어쨌든, 예를 들어 영국에서는 예외가 있었습니다.

중세 시대에 모든 스콜라 철학자들은 아리스토텔레스의 "infinitum actu non datur"를 반박할 수 없는 원칙으로 옹호한 것으로 잘 알려져 있습니다. (G. Cantor)

실제 무한은 숫자, 시간, 및 양으로 존재합니다. (J. Baconthorpe [9, p. 96])

르네상스 시대와 근대 초기 동안 실제 무한대를 지지하는 목소리가 거의 없었습니다.

연속체는 실제로 무한하게 많은 비-나눔가능성으로 구성됩니다. (G. Galilei [9, p. 97])

나는 실제 무한에 찬성합니다. (G.W. Leibniz [9, p. 97])

어쨌든, 대부분의 전-근대 사상가는 잘 알려진 가우스의 인용문에 동의했습니다:.

나는 수학에서 절대 허용되지 않는 무한한 크기를 완성된 어떤 것으로 사용하는 것에 대해 항의합니다. 무한은 단지 말하는 방식일 뿐이며, 진정한 의미는 특정 비율이 무한정 가까워지는 극한이고, 다른 비율은 제한 없이 증가하도록 허용되는 극한입니다. (C.F. Gauss [in a letter to Schumacher, 12 July 1831])

Modern era

실제 무한대는 이제 공통으로 받아들여집니다. 급격한 변화는 19세기에 볼차노(Bolzano)와 칸토어(Cantor)에 의해 시작되었습니다.

집합 (독일어: Menge)의 개념을 도입했던 버나드 볼차노(Bernard Bolzano)와 집합 이론(set theory)을 도입했던 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 일반적인 태도에 반대했습니다. 칸토어는 무한의 세 가지 영역을 구별했습니다: (1) 신의 무한성 (그가 "절대(absolutum)"라고 불렀습니다), (2) 실재의 무한성 (그가 "자연(nature)"이라고 불렀습니다), (3) 수학의 초월-유한 숫자와 집합.

임의의 유한한 다수보다 큰 다수, 즉 [질문에서 해당 유형의 구성원의] 모든 각 유한 집합이 그 일부일 뿐이라는 속성을 갖는 다수를 나는 무한 다수라고 부를 것입니다. (B. Bolzano [2, p. 6])

그에 따라서 나는 신과 그의 속성으로 인한 영원한 비-창조된 무한대 또는 절대와, 창조된 자연에서 실제 무한대가 주목되어야 하는 곳이면 어디든 사용되어야 하는 창조된 무한대 또는 초월-유한을 구별해야 하며, 예를 들어, 나의 확고한 신념에 따르면, 실제로 무한한 수의 창조된 개인과 관련하여 우주와 마찬가지로 우리의 지구와, 대부분 아마도, 심지어 모든 각 공간의 임의적인 작은 확장 부분에 있습니다. (Georg Cantor) (G. Cantor [8, p. 252])

숫자는 인간 정신의 자유로운 창조물입니다. (R. Dedekind [3a, p. III])

한 가지 증명은 조물주의 개념에 근거합니다. 첫째, 조물주의 가장 높은 완전으로부터 우리는 초월-유한의 창조 가능성을 추론하고, 그런-다음, 그의 모든 은총과 광채로부터, 우리는 초월-유한의 창조가 실제로 일어나 왔던 필요성을 추론합니다. (G. Cantor [3, p. 400])

칸토어는 실제 무한대를 두 가지 유형: 초월-유한과 절대로 구분했습니다. 이것에 대해 그가 확언했습니다:

전자는 무한하다고 확신하는 한, 여전히 증가할 수 있고, 반면에 후자는 증가할 수 없고 따라서 수학적 개념으로 결정될 수 없는 한 이들 개념은 엄격하게 구별되어야 합니다. 이 실수는 예를 들어 범신론(Pantheism)에서 찾을 수 있습니다. (G. Cantor, Über verschiedene Standpunkte in bezug auf das aktuelle Unendliche, in Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, pp. 375, 378)

Current mathematical practice

실제 무한대는 이제 공통으로 받아들여 지는데, 왜냐하면 수학자들은 그것을 사용하여 대수적 명제를 구성하는 방법을 배워 왔기 때문입니다. 예를 들어, 기호, $\omega$를 "$\omega$는 완성된 (셀-수-있는) 무한대를 나타냅니다"라는 구두 설명과 함께 기록될 수 있습니다. 이 기호는 임의의 집합에 원시-원소(ur-element)로 더해질 수 있습니다. 우리는 $n<\omega$와 같은 표현이 "임의의 자연수는 완성된 무한대보다 작습니다"로 해석될 수 있음을 만족하는 덧셈, 곱셈, 및 부등식; 구체적으로 순서-숫자 산술(ordinal arithmetic)을 정의하는 공리(axioms)를 제공할 수도 있습니다. 심지어 $\omega <\omega +1$와 같은 "상식적인" 문장도 가능하고 일관되어 있습니다. 그 이론은 $\omega ^{2}$, $\omega ^{\omega }$, 및 심지어 $2^{\omega }$와 같은 다소 복잡한 대수적 표현이 유효한 대수적 표현으로 해석될 수 있고, 구두 설명을 제공할 수 있고, 광범위한 다양한 정리와 일관성과 의미 있는 방식에서 주장에 사용될 수 있도록 충분하게 잘 발달되어 있습니다. 일관되고, 의미 있는 방법에서 순서-숫자(ordinal numbers)를 정의하기 위한 능력은 많은 논쟁을 무의미하게 만듭니다; 무한대나 구성-가능성에 대한 개인적인 견해가 무엇이든, 대수와 논리의 도구를 사용하여 무한대를 다루기 위한 풍부한 이론의 존재는 분명합니다.

Opposition from the Intuitionist school

실제 무한대에서 "실제"라는 용어의 수학적 의미는 한정, 완성, 확장, 또는 실존과 동의어이지만, 물리적으로 존재하는 것으로 오해해서는 안됩니다. 따라서 자연수(natural) 또는 실수(real numbers)가 한정된 집합을 형성하는지 여부에 대한 질문은 자연(nature)에서 물리적으로 무한한 것이 존재하는지 여부에 대한 질문과 무관합니다.

크로네커(Kronecker) 이후의 직관주의(intuitionism) 지지자들은 실제로 무한한 수학적 대상이나 집합이 있다는 주장을 거부합니다. 결과적으로, 그들은 실제 무한대의 존재를 가정하지 않는 방법으로 수학의 토대를 재구성합니다. 다른 한편으로, 구성 해석학(constructive analysis)은 정수의 완성된 무한대의 존재를 받아들입니다.

직관주의자에 대해, 무한대는 잠재적인 것으로 설명됩니다; 이 개념과 동의어가 되는 용어는 되는 것(becoming) 또는 구성적(constructive)입니다. 예를 들어, 스티븐 클레이니(Stephen Kleene)는 튜링 기계(Turing machine) 테이프의 개념을 "양 방향으로 (잠재적으로) 무한한 선형 '테이프'"로 설명합니다. 테이프의 메모리에 접근하기 위해, 튜링 기계는 무한히 많은 단계에서 테이프를 따라 읽기 헤드를 이동합니다: 테이프는 따라서 "잠재적으로" 무한할 뿐인데, 왜냐하면 항상 또 다른 단계를 밟을 수 있는 능력이 있지만, 무한대 자체에는 실제로 도달할 수 없기 때문입니다.

수학자들은 일반적으로 실제 무한대를 받아들입니다. 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 절대 무한(Absolute Infinite)을 신과 동일시하면서 실제 무한대를 옹호한 가장 중요한 수학자입니다. 그는 자연수와 실수에 대해 한정 집합일 수 있고, 유클리드의 유한성 공리 (실제가 단독으로든 집합적으로든 반드시 유한하다는 공리)를 거부하면, 어떤 모순(contradiction)에도 연루되지 않는다고 결정했습니다. .

순서-숫자(ordinal)와 세는-숫자(cardinal numbers)의 오늘날의 전통적인 유한주의 해석은 그것들은 특수 기호의 모음과 관련된 형식 언어(formal language)로 구성되며, 그 안에서 명제가 이루어질 수 있다는 것입니다. 모든 그러한 명제는 반드시 길이에서 유한입니다. 조작의 건전성은 형식 언어의 기본 원칙: 용어 대수(term algebras), 용어 다시-쓰기(term rewriting), 등에만 설립됩니다. 보다 추상적으로, (유한) 모델 이론(model theory)과 증명 이론(proof theory)은 모두 무한대와 함께 연구하기 위해 필요한 도구를 제공합니다. 무한대에 대한 기호를 사용하여 대수적으로 유효한 표현을 작성하기 위해 무한대를 "믿어야" 할 필요는 없습니다.

Classical set theory

실제 무한의 철학적 문제는 그 개념이 일관성 있고 인식론으로 건전한지 여부에 관한 것입니다.

고전적 집합 이론은 실제의 완성된 무한대의 개념을 받아들입니다. 어쨌든, 수학의 일부 유한주의(finitist) 철학자와 구성주의자들은 그 개념에 반대합니다.

양수 n이 무한하게 커지면 표현 1/n은 영으로 갑니다 (또는 무한하게 작게 됩니다). 이런 의미에서, 우리는 부적절하거나 잠재적인 무한에 대해 말합니다. 예리하고 분명한 대조에서, 방금 고려된 집합은 쉽게 완료되고, 잠긴 무한 집합이고, 그 자체로 고정되어 있으며, 무한하게 많은 정확하게 정의된 원소 (자연수)를 더도 덜도 말고 포함하고 있습니다. (A. Fraenkel [4, p. 6])

따라서 실제 무한대에 대한 정복은 코페르니쿠스 시스템(Copernican system)보다 또는 상대성 이론보다 덜 혁명적인 우리의 과학적 지평, 또는 심지어 양자와 핵 물리학의 확장으로 고려될 수 있습니다. (A. Fraenkel [4, p. 245])

모든 집합의 우주를 고정된 엔터디가 아니라 "성장"할 수 있는 엔터디, 즉, 우리는 더 크고 더 큰 집합을 "생산"할 수 있는 엔터디로 보는 것입니다. (A. Fraenkel et al. [5, p. 118])

(브라우어(Brouwer))는 열거할 수 없는 진정한 연속체가 자유로운 발전의 매개체로서 획득될 수 있다고 주장합니다; 즉 말하자면, e, pi, 등과 같은 법칙에 의한 그것들의 정의의 설명으로 존재하는 (준비되는) 점 외에, 연속체의 다른 점은 준비되지 않고 소위 선택 수열(choice sequences)로 발전합니다. (A. Fraenkel et al. [5, p. 255])

직관주의자들은 임의적인 정수의 수열이라는 개념 자체를 거부하는데, 왜냐하면 어떤 것을 불법적으로 완료하고 한정하게 나타내기 때문입니다. 그러한 수열은 완성된 대상이 아닌 성장하는 개체로만 고려됩니다. (A. Fraenkel et al. [5, p. 236])

그때까지, 아무도 무한대가 다른 크기에서 나올 가능성을 상상하지 못했었고, 게다가, 수학자들은 "실제 무한대"를 사용해 오지 않았습니다. 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)의 미분 미적분을 포함하여 무한대를 사용하는 논증은 무한 집합의 사용을 요구하지 않습니다. (T. Jech [1])

프레게(Frege), 데데킨트(Dedekind), 및 칸토어(Cantor)의 엄청난 동시적 노력 덕분에, 무한은 왕좌에 앉았고 완전한 승리를 만끽했습니다. 그 대담한 비행에서, 무한대는 성공의 어지러운 높이에 도달했습니다. (D. Hilbert [6, p. 169])

수학의 가장 활발하고 유익한 분야 중 하나 [...] 누구도 우리를 추방할 수 없는 칸토어에 의해 창조된 낙원 [...] 수학적 정신의 가장 감탄할 만한 꽃이고 완전히 인간의 순수한 지적 활동 중 뛰어난 업적 중 하나입니다. (D. Hilbert on set theory [6])

마지막으로, 원래의 주제로 돌아가서 무한에 대한 우리의 모든 반성에서 결론을 도출해 봅시다. 전체 결과는 다음과 같습니다: 무한은 어떤 곳에도 실현되지 않습니다. 그것은 자연에서 존재하지도 않고 우리의 합리적 사고의 토대로 받아들일 수도 없습니다 – 존재와 사고 사이의 놀라운 조화입니다. (D. Hilbert [6, 190])

무한한 전체는 어떤 의미에서도 (즉, 실제로 또는 이상으로) 존재하지 않습니다. 보다 정확히 말하면, 무한한 전체의 어떤 언급, 또는 주장된 언급도, 말 그대로, 무의미합니다. (A. Robinson [10, p. 507])

사실, 나는 형식주의와 다른 분야에서 수학에 대한 이해와 물리적 세계에 대한 우리의 이해를 연결해야 할 필요성이 있다고 생각합니다. (A. Robinson)

게오르크 칸토어가 거의 15년에 걸쳐 거의 혼자서 만들어낸 거대한 메타-서사, 집합 이론은 과학 이론이라기보다는 고급 예술 작품에 가깝습니다. (Y. Manin [2])

따라서 칸토어에 의한 표현 수단의 절묘한 최소주의는 무한대, 또는 오히려 무한대의 무한대를 이해하는 숭고한 목표를 달성합니다. (Y. Manin [3])

칸토어주의자는 잊혀져 왔고 모순에 사로져 온 실제 무한은 없습니다. (H. Poincaré [Les mathématiques et la logique III, Rev. métaphys. morale 14 (1906) p. 316])

토론의 대상이 언어적 엔터디일 때 [...] 그것들에 대한 토론의 결과로 엔터디의 집합이 달라질 수 있습니다. 이것의 결과는 오늘의 "자연수"가 어제의 "자연수"와 같지 않다는 것입니다. (D. Isles [4])

숫자를 보는 방법에는 최소한 두 가지가 있습니다: 완전한 무한대와 불완전한 무한대... 숫자를 불완전한 무한대로 여기는 것은 숫자를 완성된 무한대로 고려하는 것에 대한 실행 가능하고 흥미로운 대안을 제공합니다. 수학의 일부 영역에서 크게 단순화하고 계산 복잡성 문제와 강한 관련이 있습니다. (E. Nelson [5])

르네상스 동안, 특히 브루노(Bruno)와 함께, 실제 무한대는 신에서 세계로 옮깁니다. 현대 과학의 유한 세계 모델은 실제 무한의 아이디어의 이러한 힘이 고전 (현대) 물리학에서 어떻게 중단되어 왔는지를 명확하게 보입니다. 이러한 관점 아래에서, G. Cantor와 함께 지난 세기 말에야 명시적으로 시작된 실제 무한대를 수학에 포함하는 것은 불쾌하게 보입니다. 우리 세기의 지적인 전체 그림 내에서 ... 실제 무한은 시대착오적인 인상을 줍니다. (P. Lorenzen[6])

See also

• Limit (mathematics)
• Cardinality of the continuum

Sources

• "Infinity" at The MacTutor History of Mathematics archive, treating the history of the notion of infinity, including the problem of actual infinity.
• Aristotle, Physics [7]
• Bernard Bolzano, 1851, Paradoxien des Unendlichen, Reclam, Leipzig.
• Bernard Bolzano 1837, Wissenschaftslehre, Sulzbach.
• Georg Cantor in E. Zermelo (ed.) 1966, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Olms, Hildesheim.
• Richard Dedekind in 1960 Was sind und was sollen die Zahlen?, Vieweg, Braunschweig.
• Adolf Abraham Fraenkel 1923, Einleitung in die Mengenlehre, Springer, Berlin.
• Adolf Abraham Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy 1984, Foundations of Set Theory, 2nd edn., North Holland, Amsterdam New York.
• Stephen C. Kleene 1952 (1971 edition, 10th printing), Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam New York. ISBN 0-444-10088-1.
• H. Meschkowski 1981, Georg Cantor: Leben, Werk und Wirkung (2. Aufl.), BI, Mannheim.
• H. Meschkowski, W. Nilson (Hrsg.) 1991, Georg Cantor – Briefe, Springer, Berlin.
• Abraham Robinson 1979, Selected Papers, Vol. 2, W.A.J. Luxemburg, S. Koerner (Hrsg.), North Holland, Amsterdam.