Limit (mathematics)

수학(mathematics)에서, 극한(limit)은 입력 또는 인덱스가 어떤 값에 "접근할" 때 함수(function) (또는 수열(sequence))가 "접근하는" 값입니다.^[1] 극한은 미적분 (및 일반적으로 수학적 해석학(mathematical analysis))에서 필수적이고 연속성(continuity), 도함수(derivative), 및 적분(integral)을 정의하기 위해 사용됩니다.

수열의 극한(limit of a sequence)의 개념은 토폴로지적 네트(topological net)의 극한의 개념으로 더욱 일반화되고, 카테고리 이론(category theory)에서 극한(limit) 및 직접 극한(direct limit)과 밀접하게 관련됩니다.

공식에서, 함수의 극한은 보통 다음으로 쓰입니다:

\lim _{x\to c}f(x)=L,

그리고 " $x$ 가 $c$ 로 접근할 때 $x$ 의 $f$ 의 극한은 $L$ 과 같습니다"로 읽습니다. 함수 $f$ 는, $x$ 가 $c$ 로 접근할 때, 극한 $L$ 에 접근한다는 사실은, 다음에서 처럼, 오른쪽 화살표 (→)로 때때로 표시됩니다:

f(x)\to L{\text{ as }}x\to c.

Limit of a function

A function $f (x)$ for which the limit at infinity is $L$ . For any arbitrary distance $ε$ , there must be a value $S$ such that the function stays within $L \pm ε$ for all $x > S$ .

$f$ 가 실수-값 함수(real-valued function)이고 $c$ 가 실수라고 가정합니다. 직관적으로 말하면, 표현

\lim _{x\to c}f(x)=L

은 $f (x)$ 는 $x$ 를 $c$ 에 충분히 가깝게 만듦으로써 원하는 만큼 $L$ 에 가깝게 만들 수 있음을 의미합니다. 해당 경우에서, 위의 방정식은 " $x$ 의 $f$ 의 극한은, $x$ 가 $c$ 에 접근할 때, $L$ 입니다"로 읽힐 수 있습니다.

카를 바이어슈트라스(Karl Weierstrass)에 뒤를 이어, 1821년 오귀스탱-루이 코시(Augustin-Louis Cauchy)는^[2] 극한의 (ε, δ)-정의로 알려지게 되는 함수의 극한의 정의를 공식화했습니다. 정의는, " $f (x)$ 가 $L$ 에 임의로 가깝게 된다"는 것은 $f (x)$ 가 결국 구간 $(L - ε, L + ε)$ 에 놓이며, 이것이 $| f (x) - L | < ε$ 일 때 절대 값 기호를 사용하여 역시 쓸 수 있음을 의미하도록, 임의의 작은 양수를 나타내기 위해 (소문자 그리스 문자 엡실론) $ε$ 을 사용합니다.^[2] 어구 " $x$ 가 $c$ 로 접근할 때"는 그런-다음, 우리가 $c$ 로부터 그의 거리가 어떤 양의 숫자 (소문자 그리스 문자 델타) $δ$ 보다 작은 $x$ 의 값—즉, $0 < | x - c | < δ$ 와 함께 표현될 수 있는, $(c - δ, c)$ 또는 $(c, c + δ)$ 둘 중 하나 안에 $x$ 의 값을 참조하는 것을 가리킵니다. 첫 번째 부등식은 $x$ 와 $c$ 사이의 거리가 $0$ 보다 크고 $x \neq c$ 임을 의미하지만, 두 번째 것은 $x$ 가 $c$ 의 거리 $δ$ 안에 있음을 가리킵니다.^[2]

극한의 위의 정의는 비록 $f (c) \neq L$ 일지라도 참입니다. 실제로, 함수 $f$ 는 $c$ 에서 심지어 정의될 필요도 없습니다.

예를 들어, 만약

f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}

이면, $f (1)$ 은 정의되지 않고 (불확정 형식(indeterminate forms)을 참조하십시오), 여전히 $x$ 가 1에 임의로 가깝게 움직일 때, $f (x)$ 는 그에 상응하여 2에 접근합니다:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	undefined	2.001	2.010	2.100

따라서, $f (x)$ 는 단지 $x$ 를 1에 충분히 가깝게 만듦으로써 2의 극한에 임의로 가깝게 만들 수 있습니다.

달리 말해서, $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2$ 입니다.

이것은, 모든 실수 $x \neq 1$ 에 대해 ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1$ 에서 처럼, 대수적으로 역시 계산될 수 있습니다.

이제 $x + 1$ 은 1에서 $x$ 의 연속이기 때문에, 우리는 $x$ 에 대해 1을 바로 대입할 수 있으며, 따라서 $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2$ 입니다.

유한 값에서의 극한 외에도, 함수는 무한대에서 극한을 역시 가질 수 있습니다. 예를 들어, 다음을 생각해 보십시오:

f(x)={2x-1 \over x}

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.9999

$x$ 가 매우 커짐에 따라, $f (x)$ 의 값은 2에 접근하고, $f (x)$ 의 값은, 우리가 단지 $x$ 를 충분히 크게 선택함으로써 원하는 만큼 2에 가깝게 만들 수 있습니다. 그래서 이 경우에서, $f (x)$ 의 극한은, $x$ 가 무한대로 접근할 때, 2입니다. 수학적 표기법에서,

\lim _{x\to \infty }{\frac {2x-1}{x}}=2.

Limit of a sequence

다음 수열을 생각해 보십시오: 1.79, 1.799, 1.7999,... 그것은 숫자가 1.8, 수열의 극한에 "접근하는 것"임을 관찰할 수 있습니다.

공식적으로, $a 1, a 2, ...$ 는 실수(real number)의 수열(sequence)임을 가정해 보십시오. 그것은 실수 $L$ 이 이 수열의 극한임을 말할 수 있습니다. 즉:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=L

이것은 다음으로 읽을 수 있습니다:

"

a n

의 극한은

n

이 무한대에 접근할 때

L

과 같습니다"

그 의미는 다음과 같습니다:

모든 각 실수(real number)

ε > 0

에 대해, 모든

n > N

에 대해, 우리가

| a n - L | < ε

를 가지는 것을 만족하는 자연수(natural number)

N

이 존재합니다.

직관적으로, 이것은 결국 수열의 모든 원소가 극한에 임의로 가까워짐을 의미하는데, 왜냐하면 절댓값(absolute value) $| a n - L |$ 은 $a n$ 과 $L$ 사이의 거리이기 때문입니다. 모든 각 수열이 극한을 가지지는 않습니다; 만약 극한을 가지면, 그것은 수렴(convergent)으로 불리고, 만약 그렇지 않으면, 그것은 발산(divergent)입니다. 우리는 수렴하는 수열은 오직 하나의 극한을 가짐을 보일 수 있습니다.

수열의 극한과 함수의 극한은 밀접하게 관련됩니다. 다른 한편으로, $n$ 이 무한대로 접근할 때 수열 $a (n)$ 의 극한은 단순히 자연수(natural number) $n$ 위에 정의된 함수 $a (n)$ 의 무한대에서 극한입니다. 다른 한편으로, 만약 $X$ 가 함수 $f (x)$ 의 도메인이면 및 만약 $n$ 이 무한대로 접근할 때 함수 $f (x n)$ 의 극한이, $x 0$ 에 수렴하는 ${X - {x 0}}$ 안의 점 ${x n}$ 의 모든 각 임의의 수열에 대해, $L$ 이면, 함수 $f (x)$ 의 극한은 $x$ 가 $x 0$ 에 접근할 때 $L$ 입니다.^[3] 하나의 그러한 수열은 ${x 0 + 1/ n}$ 일 것입니다.

Limit as "standard part"

비-표준 해석학(non-standard analysis)에서 (이것은 숫자 시스템의 초실수(hyperreal) 확대를 포함합니다), 수열 $(a_{n})$ 의 극한은 무한 초자연수(hypernatural) 인덱스 n=H에서 수열의 자연수 확장의 값 $a_{H}$ 의 표준 부분(standard part)으로 표현될 수 있습니다. 따라서,

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\operatorname {st} (a_{H})

.

여기서 표준 부분 함수 "st"는 각 유한 초실수를 가장 가까운 실수로 반올림합니다 (그들 사이의 차이는 무한소(infinitesimal)입니다). 이것은 인덱스의 "매우 큰" 값에 대해, 수열 안의 항이 수열의 극한 값에 "매우 가깝게" 된다는 자연스러운 직관을 공식화합니다. 반대로, 코시 수열 $(a_{n})$ 에 의해 극단-거듭제곱(ultrapower) 구성에서 표현되는 초실수 $a=[a_{n}]$ 의 표준 부분은 단순히 해당 수열의 극한입니다:

\operatorname {st} (a)=\lim _{n\to \infty }a_{n}

.

이런 의미에서, 극한을 취하고 표준 부분을 취하는 것은 동등한 절차입니다.

Convergence and fixed point

수렴의 공식적인 정의는 다음으로 말할 수 있습니다. ${{p}_{n}}$ 은, $n$ 이 $0$ 에서 $\infty$ 로 갈 때, 모든 $n$ 에 대해 ${p}_{n}\neq p$ 을 갖는, $p$ 에 수렴되는 수열로 가정합니다. 만약 양의 상수 $\lambda$ 와 $\alpha$ 가

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{p}_{n+1}-p\right|}{{\left|{p}_{n}-p\right|}^{\alpha }}}=\lambda

와 함께 존재하면, ${{p}_{n}}$ 은, $n$ 이 $0$ 에서 $\infty$ 로 갈 때, 점근 오류 상수 $\lambda$ 와 함께, 차수 $\alpha$ 의 $p$ 에 수렴합니다.

고정된 점 $p$ 와 함께 함수 $f$ 가 주어지면, 수열 $p_{n}$ 의 수렴을 검사하는 것에 대해 좋은 검사목록이 있습니다.

1) 먼저 p가 실제로 고정된 점인지 검사하십시오:

f(p)=p

2) 선형 수렴에 대해 검사하십시오.

\left|f^{\prime }(p)\right|

를 찾는 것으로 시작하십시오. 만약....

$\left\|f^{\prime }(p)\right\|\in (0,1)$ 이면,	선형 수렴이 있습니다.
$\left\|f^{\prime }(p)\right\|>1$ 이면,	급수는 발산합니다.
$\left\|f^{\prime }(p)\right\|=0$ 이면,	적어도 선형 수렴 및 아마도 더 나은 것이 있으며, 표현은 이차 수렴에 대해 반드시 점검되어야 합니다.

3) 만약 그것이 선형보다 더 나은 것이 있는 것으로 발견되면, 표현은 이차 수렴에 대해 반드시 검사되어야 합니다.

\left|f^{\prime \prime }(p)\right|

을 찾는 것으로 시작하십시오. 만약....

$\left\|f^{\prime \prime }(p)\right\|\neq 0$ 이면,	$f^{\prime \prime }(p)$ 이 연속인 것에서 제공되는 이차 수렴이 있습니다.
$\left\|f^{\prime \prime }(p)\right\|=0$ 이면,	심지어 이차 수렴보다 더 나은 것이 있습니다.
$\left\|f^{\prime \prime }(p)\right\|$ 이 존재하지 않으면,	선형보다 낫지만 이차는 아닌 수렴이 있습니다.

^[4]

Computability of the limit

극한이 계산하기 어려울 수 있습니다. 수렴의 모듈러스(modulus of convergence)가 결정될-수-없는(undecidable) 극한 표현이 존재합니다. 재귀 이론(recursion theory)에서, 극한 보조-정리(limit lemma)는 극한을 사용하여 결정될-수-없는 문제를 인코딩할 수 있음을 입증합니다.^[5]

Notes

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ ^a ^b ^c Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
^ Apostol (1974, pp. 75–76)
^ Numerical Analysis, 8th Edition, Burden and Faires, Section 2.4 Error Analysis for Iterative Methods
^ Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.

External links

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[Larson-2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.

[3] Apostol (1974, pp. 75–76)

[4] Numerical Analysis, 8th Edition, Burden and Faires, Section 2.4 Error Analysis for Iterative Methods

[5] Recursively enumerable sets and degrees, Soare, Robert I.

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[4]

[5]