Additive function

숫자 이론(number theory)에서, 덧셈의 함수(additive function)는 a와 b가 서로소일 때마다, 곱의 함수가 함수의 합임을 만족하는 양의 정수(integer) n의 산술 함수(arithmetic function) f(n)입니다:^[1]

f(ab) = f(a) + f(b).

Completely additive

덧셈의 함수 f(n)은 만약 f(ab) = f(a) + f(b)가 모든 양의 정수 a와 b에 대해, 심지어 그것들이 서로소가 아닐지라도, 유지된다면, 완전히 덧셈적(completely additive)이라고 말합니다. 전체적으로 덧셈적(Totally additive)은 역시 전체적으로 곱셈의(totally multiplicative) 함수와 아날로그에 의한 이런 의미에서 사용됩니다. 만약 f가 완전히 덧셈적 함수이면, f(1) = 0입니다.

모든 각 완전히 덧셈적 함수는 덧셈적이지만, 그 반대는 아닙니다.

Examples

완전히 덧셈적인 산술 함수의 예제는 다음입니다:

로그 함수(logarithmic function)를 N으로 제한.
n에서 소수 인수 p의 중복도(multiplicity), 즉 p^m이 n을 나누는 가장 큰 지수m.
a₀(n) - 중복도를 세는 n을 나누는 소수의 합, 때때로 sopfr(n)로 불리며, n의 포튼시 또는 n의 정수 로그 (OEIS에서 수열 A001414). 예를 들어:

a₀(4) = 2 + 2 = 4

a₀(20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2+ 5 = 9

a₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

a₀(144) = a₀(2⁴ · 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

a₀(2,000) = a₀(2⁴ · 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2,003) = 2003

a₀(54,032,858,972,279) = 1240658

a₀(54,032,858,972,302) = 1780417

a₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

함수 Ω(n), 여러 인수 중복 회수를 세는, n의 소수 인수의 전체 숫자로 정의되며, 때때로 "큰 오메가 함수"라고 불립니다 (OEIS에서 수열 A001222). 예를 들어:

Ω(1) = 0, 왜냐하면 1은 소수를 가지지 않기 때문입니다.

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2,000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2,001) = 3

Ω(2,002) = 4

Ω(2,003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = 3

Ω(54,032,858,972,302) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = 7

덧셈적이지만 완전히 덧셈적은 아닌 산술 함수의 예제는 다음입니다:

ω(n), n의 다른 소수 인수(prime factors)의 전체 숫자로 정의됩니다 (OEIS에서 수열 A001221). 예를 들어:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2⁴) = 1

ω(20) = ω(2² · 5) = 2

ω(27) = ω(3³) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2,000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2,001) = 3

ω(2,002) = 4

ω(2,003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

a₁(n) - n을 나누는 구별되는 소수의 합, 때때로 sopf(n)으로 불립니다 (OEIS에서 수열 A008472). 예를 들어:

a₁(1) = 0

a₁(4) = 2

a₁(20) = 2 + 5 = 7

a₁(27) = 3

a₁(144) = a₁(2⁴ · 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

a₁(2,000) = a₁(2⁴ · 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2,001) = 55

a₁(2,002) = 33

a₁(2,003) = 2003

a₁(54,032,858,972,279) = 1238665

a₁(54,032,858,972,302) = 1780410

a₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

Multiplicative functions

임의의 덧셈의 함수 f(n)으로부터, 관련된 곱셈의 함수(multiplicative function) g(n), 즉, a와 b가 서로소일 때마다 우리가 다음을 가진다는 속성을 갖는 것을 생성하는 것은 쉽습니다:

g(ab) = g(a) × g(b).

하나의 그러한 예제는 g(n) = 2^f(n)입니다.

Summatory functions

덧셈의 함수 $f$ 가 주어지면, 그것의 합하는 함수를 ${\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)$ 에 의해 정의되는 것으로 놓습니다. $f$ 의 평균은 다음으로 정확하게 주어집니다:

{\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).

$f$ 에 걸쳐 합하는 함수는 ${\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))$ 로 확장될 수 있으며, 여기서

{\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}

함수 $f^{2}$ 의 평균은 역시 다음처럼 이들 함수에 의해 표현될 수 있습니다:

{\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).

모든 자연수 $x\geq 1$ 에 대해 다음을 만족하는 절대의 상수 $C_{f}>0$ 가 항상 있습니다:

\sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).

다음을 놓습니다:

\nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}.

$f$ 가 $x\rightarrow \infty$ 일 때, 다음을 만족하는 $-1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1$ 을 갖는 덧셈의 함수라고 가정합니다:

B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .

그런-다음 $\nu (x;z)\sim G(z)$ 이며 여기서 $G(z)$ 는 가우스 분포 함수(Gaussian distribution function)입니다:

G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}dt.

소수 오메가 함수(prime omega function)와 이동된 소수의 소수 약수와 관련된 이 결과의 예제는 고정된 $z\in \mathbb {R}$ 에 대해 다음을 포함하여 여기서 관계는 $x\gg 1$ 에 대해 유지됩니다:

\#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),

\#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).

References

^ Erdös, P., and M. Kac. On the Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Functions. Proc Natl Acad Sci USA. 1939 April; 25(4): 206–207. online