Ring (mathematics)

Original article: wikipedia:ring (mathematics)

This article is about an algebraic structure. For geometric rings, see Annulus (mathematics). For the set theory concept, see Ring of sets.

다비트 힐베르트(David Hilbert)의 Die Theorie der algebraischen Zahlkörper의 제 9장. 장의 제목 "Die Zahlringe des Körpers"은, 말 그대로 "필드(field)의 링의 개수". 단어 "ring"은 "Zahlring"를 축약한 것입니다.

수학(mathematics)에서, 링(ring)은 추상 대수학(abstract algebra)에서 사용되는 기본적인 대수 구조(algebraic structure)중에 하나입니다. 이것은 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)의 산술 연산(arithmetic operation)을 일반화하는 두 가지 이항 연산(binary operation)을 갖춘 집합(set)으로 구성됩니다. 이 일반화를 통해, 산술(arithmetic)에서 나온 정리는 다항식(polynomials), 급수(series), 행렬(matrices) 및 함수(functions)와 같은 비-수치 객체로 확장됩니다.

링의 개념화는 1870년대에 시작되어 1920년대에 완성되었습니다. 주요 공헌자로는 데데킨트(Dedekind), 힐베르트(Hilbert), 프렝켈(Fraenkel) 및 뇌터(Noether)가 있습니다. 링은 먼저 (정수) 숫자 이론(number theory)에서 발생하는 데데킨트 도메인(Dedekind domain:데데킨트 정역 또는 정의역)의 일반화, 그리고 다항식 링(polynomial ring)의 일반화와 대수 기하학(algebraic geometry) 및 불변 이론(invariant theory)에서 발생하는 불변량의 링의 일반화로 공식화되었습니다. 이후에는, 기하학(geometry) 및 수치 해석학(mathematical analysis)과 같은 다른 수학 분야에서도 유용함이 입증되었습니다.

링은 결합 특성(associative)을 가진 두 번째 이항 연산(binary operation)을 가진 아벨 그룹(abelian group)이며, 아벨 그룹 연산에 대해 분배 특성(distributive)을 가지며, 그리고 항등원(identity element)을 가집니다(일부 저자는 이 마지막 특성을 요구하지 않습니다, § Notes on the definition을 참조하십시오). 정수(integers)에 대해 확장함으로써, 아벨 그룹 연산은 덧셈(addition)이라고 불리며, 그리고 두 번째 이항 연산은 곱셈(multiplication)이라고 부릅니다.

링이 교환 특성을 갖는지 여부(즉, 2개의 원소가 곱해진 순서가 결과를 변경하는지 여부)는 추상 객체로서 그의 동작에 대한 깊은 의미를 갖습니다. 그 결과, 일반적으로, 교환 가능한 대수학(commutative algebra)으로 알려진, 교환 링 이론은 링 이론(ring theory)의 핵심 주제중 하나입니다. 그것의 발전은 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)과 대수 기하학(algebraic geometry)에서 자연스럽게 발생하는 문제들과 생각들에 의해 크게 영향을 받았습니다. 교환 가능한 링의 예로는 더하기 및 곱셈 연산이있는 정수 집합, 함수의 더하기 및 곱하기, 어파 인 대수적 다양성의 좌표 고리 및 숫자 필드의 정수 링이있는 다항식 집합이 있습니다. 교환 가능한 링의 예로는 덧셈 및 곱셈 연산을 갖춘 정수 집합, 함수의 덧셈과 곱셈을 갖춘 다항식의 집합, 아핀 대수 다양체(affine algebraic variety)의 좌표 링(coordinate ring), 숫자 필드의 정수 링(ring of integers)이 있습니다. 비-교환 링의 예로는 n ≥ 2인 n × n 실수 정사각 행렬(square matrices)의 링, 표시 이론(representation theory)의 그룹 링(group ring), 함수형 해석학(functional analysis)의 연산자 대수(operator algebra), 미분 연산자(differential operator) 이론의 미분 연산자 링(rings of differential operators), 그리고 토폴로지(topology)의 토폴로지적 공간(topological space)에서 코호몰로지 링(cohomology ring)이 있습니다.

Definition and illustration

링의 가장 친숙한 예제는 모든 정수의 집합입니다, $\mathbb {Z}$, 다음의 숫자(number)로 구성됩니다:

. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

정수의 덧셈 및 곱셈에 익숙한 속성은 링에 대한 공리 모델로써 역할을 합니다.

Definition

링(ring)은 두 개의 이항 연산(binary operation) + 및 ·에 대해 링 공리라고 불리는 다음의 세 가지 공리 집합을 만족하는 집합(set) R입니다:

1. R은 덧셈에 대한 아벨 그룹(abelian group)으로 다음을 의미합니다:

• R의 모든 a, b, c에 대해 (a + b) + c = a + (b + c)   (즉, +는 결합 특성(associative)을 가집니다).
• R의 모든 a, b에 대해 a + b = b + a   (즉, + is 교환 특성(commutative)을 가집니다).
• R의 모든 a에 대해 a + 0 = a을 만족하는 R 내에 원소 0이 존재합니다.   (즉, 0은 덧셈에 대한 항등원(additive identity)입니다).
• R의 임의의 a에 대해 R 내에 a + (−a) = 0을 만족하는 −a가 존재합니다.   (즉, −a는 a의 덧셈에 대한 역원(additive inverse)입니다).

2. R은 곱셈에 대한 모노이드(monoid)로, 다음을 의미합니다:

• R의 모든 a, b, c에 대해 (a · b) · c = a · (b · c)   (즉, ·는 결합 특성을 가집니다).
• R의 모든 a에 대해 a · 1 = a 및 1 · a = a를 만족하는 R내에 원소 1이 존재합니다.   (즉, 1은 곱셈에 대한 항등원(multiplicative identity)입니다).

3. 곱셈은 덧셈에 대해 분배 특성(distributive)을 가집니다(또는 분배법칙을 만족합니다):

• R의 모든 a, b, c에 대해 a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c)   (좌 분배 특성).
• R의 모든 a, b, c에 대해 (b + c) · a = (b · a) + (c · a)   (우 분배 특성).

Notes on the definition

아래의 § History에서 설명하듯이, 많은 저자들은 링이 곱셈에 대한 항등원을 가짐을 정의하지 않은 대안적인 관례을 따릅니다. 이 기사에서는, 달리 명시하지 않은 한, 링에 이러한 항등원을 가진다고 가정하는 관례를 채택합니다. 곱셈의 항등원이 존재한다는 요구를 제외하고는 모든 공리를 만족하는 구조를 렁(rug[rʌŋ])(또는 때때로 유사-링(pseudo-ring))이라고 부릅니다. 예를 들어, 보통 +와 ⋅에 대해 짝수 정수의 집합은 유사-링이지만 링은 아닙니다.

연산자 +와 ⋅연산을 각각 덧셈과 곱셈이라고 합니다. 곱셈 기호 ⋅는 종종 생략되므로, 링 원소의 병렬 배치(juxtaposition)는 곱셈으로 해석됩니다. 예를 들어, xy는 x ⋅ y를 의미합니다.

비록 링 덧셈이 교환 특성(commutative)을 가지더라도, 링 곱셈은 교환 특성을 가지는 것을 요구하지 않습니다: ab는 반드시 ba와 같을 필요는 없습니다. 곱셈에 대한 교환성(정수(integers)의 링처럼) 역시 만족하는 링은 교환 링(commutative rings)이라고 부릅니다. 교환 대수 또는 대수 기하학에 관한 책은 , 용어를 단순화하기 위해, 종종 "링(ring)"이 "교환 고리(commutative ring)"를 의미한다는 관례를 채택합니다.

링에서, 곱셈은 역원을 가질 필요가 없습니다. 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원(multiplicative inverse)을 가지 교환 링은 필드(field)라고 부릅니다.

링의 덧셈 그룹은 바로 덧셈 구조만 가진 링입니다. 비록 이 정의가 덧셈 그룹이 아벨인 것으로 가정하지만, 이것은 다른 링 공리로부터 추론될 수 있습니다.

Basic properties

링의 일부 기본 속성은 공리로부터 즉시 따라옵니다:

• 덧셈에 대한 항등원, 모든 원소의 덧셈에 대한 역원, 그리고 곱셈에 대한 항등원은 유일합니다.
• 링 R의 임의의 원소 x에 대해, x0 = 0 = 0x(영은 곱셈에 대한 흡수 원소(absorbing element)입니다.) 및 (–1)x = –x를 만족합니다.
• 만약 링 R의 0 = 1이면(또는 더 일반적으로 0은 단위 원소입니다), R은 오직 하나의 원소만 가지며, 그리고 영 링(zero ring)이라고 부릅니다.
• 이항 공식(binomial formula)(또는 이항 정리(binomial theorem)은 원소들의 임의의 교환 쌍을 보유합니다(즉, 임의의 x와 y에 대해 xy = yx를 만족합니다).

Example: Integers modulo 4

See also: Modular arithmetic

주어진 집합 $\mathbf {Z} _{4}=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}}\}$은 다음과 같이 연산됩니다:

• Z₄의 합 ${\overline {x}}+{\overline {y}}$는 정수 x + y를 4로 나눈 나머지입니다 (x + y는 항상 8보다 작기 때문에, 그 나머지는 x + y 또는 x + y – 4입니다). 예를 들어, ${\overline {2}}+{\overline {3}}={\overline {1}}$ 그리고 ${\overline {3}}+{\overline {3}}={\overline {2}}$.
• Z₄의 곱 ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$은 정수 xy를 4로 나눈 나머지입니다. 예를 들어, ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {2}}$ 그리고 ${\overline {3}}\cdot {\overline {3}}={\overline {1}}$.

위를 만족하므로 Z₄는 링입니다: 각 공리는 Z에 대한 해당 공리를 따릅니다. 만약 x가 정수이면, 4로 나눈 x의 나머지는 Z₄의 원소로 간주되며, 그리고 이 원소는 흔히 "x mod 4" 또는 ${\overline {x}}$로 표시되며, 이는 0,1,2,3에 대한 표기법과 일치합니다. Z₄의 임의의 ${\overline {x}}$의 덧셈에 대한 역원은 ${\overline {-x}}$입니다. 예를 들어, $-{\overline {3}}={\overline {-3}}={\overline {1}}.$

Example: 2-by-2 matrices

Main article: Matrix ring

실수(real number) 원소를 가지는 2x2(2-by-2) 행렬(matrices)의 집합은 다음과 같이 쓰입니다:

${\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )=\left\{\left.{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\right|\ a,b,c,d\in \mathbb {R} \right\}.$

행렬 덧셈과 행렬 곱셈(matrix multiplication)의 연산으로, 이 집합은 위의 링 공리를 만족시킵니다. 원소 ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$는 링의 곱셈에 대한 항등원입니다. 만약 $A={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ 그리고 $B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$에 대해, $AB={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$이지만, 반면에 $BA={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$입니다; 이 예제는 링이 비-교환 특성임을 보여줍니다.

보다 일반적으로, 임의의 링 R에 대해, 교환 특성을 가지거나 또는 가지지 않거나, 그리고 임의의 음이 아닌 정수 n에 대해, R의 원소에 대해 nxn(n-by-n) 행렬로 하나의 링을 형성할 수 있습니다. 행렬 링(Matrix ring)을 참조하십시오.

History

See also: Ring theory § History

Richard Dedekind, one of the founders of ring theory.

Dedekind

링의 연구는 다항식 링(polynomial ring)의 이론과 대수적 정수(algebraic integer)의 이론에서 유래합니다. 1871년에서, 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)는 숫자 필드의 정수의 링의 개념을 정의했습니다. 이 맥락에서, 그는 (아이디얼 숫자의 에른스트 쿠머(Ernst Kummer)의 개념에서 영감을 얻은) 용어 "아이디얼"과 "모듈"을 소개하고 그리고 그들 속성을 연구했습니다. 그러나 데데킨트(Dedekind)는 용어 "링"을 사용하지 않았고 일반적인 설정에서 링의 개념을 정의하지 않았습니다.

Hilbert

(숫자 링) 용어 "Zahlring"은 1892년 다비트 힐베르트(David Hilbert)에 의해 만들어졌고 1897년에 출판되었습니다. 19세기 독일어에서, 단어 "링"은 "결합"을 의미할 수 있으며, 이것은 (예를 들어, 스파이 링과 같은) 제한된 의미에서 영어로 오늘날 여전히 사용되며, 그래서 만약 그것이 어원이라면, 그것은 "관련 있는 것들의 모임"에 대해 비-기술적인 단어가 되는 것으로 수학에 입력되는 방법 "그룹(group)"과 비슷하게 될 것입니다. 하비 코네(Harvey Cohn)에 따르면, 힐베르트는 링에 대해 용어를 사용했고 그 자체의 원소에 "직접 돌아 다니는" 속성을 가집니다. 구체적으로, 대수적 정수의 링에서, 대수적 정수의 모든 높은 거듭제곱은 더 낮은 거듭제곱의 고정된 집합의 정수 결합으로 쓸 수 있고, 따라서 거듭제곱은 "뒤로 순환합니다". 예를 들어, 만약 a³ − 4a + 1 = 0이면 a³ = 4a − 1, a⁴ = 4a² − a, a⁵ = −a² + 16a − 4, a⁶ = 16a² − 8a + 1, a⁷ = −8a² + 65a − 16, 등등; 일반적으로, aⁿ는 1, a, 및 a²의 정수 선형 결합이 될 것입니다.

Fraenkel and Noether

링의 첫 번째 공리적 정의는 1914년 아돌프 프렝켈(Adolf Fraenkel)에 의해 주어졌지만, 그의 공리는 현대 정의에서 그들보다 더 엄격했습니다. 예를 들어, 그는 모든 각 비-영-제수(non-zero-divisor)가 곱셈의 역(multiplicative inverse)을 가질 것을 요구했습니다. 1921년에서, 에미 뇌터(Emmy Noether)는 (교환 특성) 링의 현대 공리적 정의를 제시하고 그녀의 논문 Idealtheorie in Ringbereichen에서 교환 특성 링 이론의 기초를 발전시켰습니다.

Multiplicative identity: mandatory vs. optional

프랭켈은 곱셈의 항등원 1을 가지는 것을 링에 요구하지만, 반면에 뇌터는 그렇지 않았습니다.

대수학에 관한 대부분 또는 모든 책은 1960년경까지 1을 요구하지 않는 뇌터의 관례를 따랐습니다. 1960년대부터 시작하여, 그것은 반지의 정의에서, 특히 아르틴(Artin), 아티야 및 맥도널드(Atiyah and MacDonald), 부르바키(Bourbaki), 아이젠버드(Eisenbud), 그리고 랭(Lang)와 같은 주목할만한 저자에 의한 고급 책에서 1의 존재를 포함하는 책을 보는 것이 더욱 더 보편화 되었습니다. 그러나 심지어 오늘날에도, 1을 요구하는 많은 책이 남아 있습니다.

이 용어적 모호성에 직면하여, 일부 저자는 그들의 견해를 강요하려고 시도했고, 반면에 다른 저자는 보다 정확한 용어를 채택하려고 시도했습니다.

첫 번째 카테고리에서, 우리는, 만약 1을 가지는 것을 모든 링에 요구하면, 일부 결과는 링의 무한한 직접 합의 존재의 부족을 포함하고, 링의 적절한 부분 피합수가 부분 링이 아니라는 사실을 주장하는, 예를 들어 가드너 및 위건트(Gardner and Wiegandt)를 찾습니다. 그들은 "반지 이론의 많은, 아마도 대부분, 가지에서 단일 원소의 존재에 대한 요구는 현명하지 않고, 그러므로 받아들일 수 없습니다"라고 결론 지었습니다.

두 번째 카테고리에서, 우리는 다음 용어를 사용하는 저자를 찾습니다:

• 곱셈의 항등원을 갖는 링: unital ring, unitary ring, unit ring, ring with unity, ring with identity, 또는 ring with 1
• 곱셈의 항등원을 요구하지 않는 링: 렁(rng) 또는 유사-링(pseudo-ring), 비록 후자가, 다른 의미를 가지는 것으로, 혼란스러울지라도.

Basic examples

교환 특성 링(Commutative rings):

• 프로토타입 예제는 덧셈과 곱셈의 두 연산을 갖는 정수(integer)의 링입니다.
• 유리수, 실수 그리고 복소수는 필드(field)라고 불리는 유형의 교환 특성 링입니다.
• 링에 관한 대수(algebra over a ring)는 그 자체로 링입니다. 이들은 역시 모듈(modules)입니다. 일부 예제는 다음과 같습니다:
  • 필드에 관한 임의의 대수(algebra over a field).
  • 링 R에 관한 다항식의 다항식 링(polynomial ring) R[X]은 그 자체로 링입니다. 무한한 자원의 R에 관한 자유 모듈(free module).
  • $\mathbf {Z} [c]$, 무리수 c와 함께 정수는 인접합니다. 만약 c가 초월적 숫자(transcendental number:초월수)이면 무한 차원의 자유 모듈, 만약 c가 대수적 정수(algebraic integer)이면 유한 차원의 자유 모듈.
  • $\mathbf {Z} [1/n]$, 분모가 (음의 거듭제곱을 포함하는) n의 거듭제곱인 분수(fraction)의 집합. 비-자유 모듈.
  • $\mathbf {Z} [1/10]$, 십진 분수(decimal fraction)의 집합.
  • $\mathbf {Z} [(1+{\sqrt {d}})/2]$, 여기서 d는 형태 4n+1의 제곱-없는(square-free) 정수. 랭크 이의 자유 모듈. 참조. 이차 정수(Quadratic integer).
  • $\mathbf {Z} [i]$, 가우스 정수(Gaussian integer).
  • $\mathbf {Z} [(1+{\sqrt {-3}})/2]$, 아이젠슈타인 정수(Eisenstein integer). 역시 그들의 일반화, 쿠머 링(Kummer ring).
• 모든 대수적 정수(algebraic integer)의 집합은 링을 형성합니다. 이것은 예를 들어 그것이 복소수의 필드에서 유리 정수의 링의 정수 클로저(integral closure)라는 사실에서 따릅니다. 세 개의 이전 예제에서 링은 이 링의 부분 링입니다.
• 교환 특성 링 R에 관한 형식적 거듭제곱 급수(formal power series) R[[X₁, …, X_n]]의 집합은 링입니다.
• 만약 S가 집합이면, S의 거듭제곱 집합(power set)은 만약 우리가 덧셈을 대칭 차집합(symmetric difference)이 되고 곱셈이 교집합(intersection)이 되도록 정의한다면 링이 됩니다. 이것은 집합의 링(ring of sets)이 해당하고 불 링(Boolean ring)의 예제입니다.
• 실수 직선 위에 정의된 모든 연속(continuous) 실수-값 함수(function)의 집합은 교환 특성 링을 형성합니다. 연산은 함수의 점마다(pointwise) 덧셈과 곱셈입니다.
• X를 집합 그리고 R을 링이라 놓습니다. 그러면 X에서 R로의 모든 함수의 집합은 링을 형성하고, 이것은 만약 R이 교환 특성이면 교환 특성입니다. 이전 예제에서 연속 함수의 링은 만약 X가 실수 직선이고 R이 실수의 필드이면 이 링의 부분 링입니다.

비-교환 특성 링(Noncommutative rings):

• 임의의 링 R이고 임의의 자연수 n에 대해, R로부터 엔트리를 갖는 모든 정사각형 n-×-n 행렬(matrices)의 집합은 연산으로 행렬 덧셈과 행렬 곱셈을 갖는 링을 형성합니다. n = 1에 대해, 이 행렬 링은 R 자체와 동형입니다. n > 1 (그리고 R이 영 링이 아님)에 대해, 이 행렬 링은 비교환 특성입니다.
• 만약 G가 아벨 그룹(abelian group)이면, G의 자기-사상(endomorphisms)은 링, G의 자기-사상 링(endomorphism ring) End(G)를 형성합니다. 이 링에서 연산은 자기-사상의 덧셈과 곱셈입니다. 보다 일반적으로, 만약 V가 R에 관한 왼쪽 모듈(left module)이면, 모든 R-선형 맵의 집합은 링을 형성하고, 자기-사상 링이라 역시 불리고 End_R(V)로 표시됩니다.
• 만약 G가 그룹(group)이고 R이 링이면, R에 관한 G의 그룹 링(group ring)은 기저로 G를 가지는 R에 관한 자유 모듈(free module)입니다. 곱셈은, G의 원소가 R의 원소와 교환하고, 그들이 그룹 G에서 행해지는 것처럼 함께 곱하는 규칙으로 정의됩니다.
• 해석학에서 나타나는 많은 링은 비-교환 특성입니다. 예를 들어 대부분 바나흐 대수(Banach algebra)는 비교환 특성입니다.

비-링(Non-rings):

• 보통 연산을 갖는 자연수 N의 집합은 링이 아니며, 왜냐하면 (N, +)은 심지어 그룹(group)이 아니기 때문입니다 (원소는 덧셈에 관하여 모두 역 가능(invertible)이 아닙니다). 예를 들어, 3에 더해져서 결과로 0을 얻기 위한 자연수가 없습니다. 집합에 음의 숫자를 더해서 링을 만드는 자연스러운 방법이 있으며, 따라서 정수의 링을 얻습니다. (0을 포함하는) 자연수는 반-링(semiring)으로 알려진 대수적 구조를 형성합니다 (이것은 덧셈의 역 속성을 제외한 링의 모든 속성을 가집니다).
• R을 보통으로 정의된 덧셈을 갖지만 합성곱(convolution:포갬)으로 정의된 곱셈을 갖는, 함수에 의존하는 경계진 구간 밖에서 사라지는 실수 직선 위의 모든 연속 함수의 집합이라 놓습니다:

  $(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)dy.$

그러면 R은 렁(rng)이고, 그러나 링은 아닙니다: 디랙 델타 함수(Dirac delta function)는 곱셈의 항등원의 속성을 가지지만, 그것은 함수가 아니고 따라서 R의 원소가 아닙니다.

Basic concepts

Elements in a ring

링 $R$의 왼쪽 영 제수(zero divisor)는 $ab=0$를 만족하는 $R$의 비-영 원소 $b$가 존재하는 것을 만족하는 링 안의 비-영 원소 $a$입니다. 오른쪽 영 제수는 비슷하게 정의됩니다.

거듭제곱영 원소(nilpotent element)는 어떤 $n>0$에 대해 $a^{n}=0$를 만족하는 원소 $a$입니다. 거듭제곱영 원소의 하나의 예제는 거듭제곱영 행렬(nilpotent matrix)입니다. 비영 링(nonzero ring) 안의 거듭제곱영 원소는 필연적으로 영 제수입니다.

거듭상등(idempotent) $e$는 $e^{2}=e$를 만족하는 원소입니다. 거듭상등 원소의 하나의 예제는 선형 대수에서 투영(projection)입니다.

단위(unit)는 곱셈의 역(multiplicative inverse)을 가지는 원소 $a$입니다; 이 경우에서 역은 유일하고, $a^{-1}$로 표시됩니다. 링의 단위의 집합은 링 곱셈 아래에서 그룹(group)입니다; 이 그룹은 $R^{\times }$ 또는 $R^{*}$ 또는 $U(R)$로 표시됩니다. 예를 들어, 만약 R이 필드에 관한 크기 n의 모든 정사각형 행렬의 링이면, $R^{\times }$은 크기 n의 모든 역이 가능한 행렬의 집합으로 구성하고, 일반적인 선형 그룹(general linear group)이라고 불립니다.

Subring

Main article: Subring

R의 부분 집합 S는, 만약 그것이 R에서 S로의 제한된(restricted) 덧셈과 곱셈을 갖는 링으로 여겨지면, 부분 링(subring)이라고 말합니다. 동등하게, S는 만약 그것이 비어 있지 않으면 부분 링이고, S 안의 임의의 x, y에 대해, $xy$, $x+y$ 및 $-x$는 S 안에 있습니다. 만약 모든 링이, 관례에 의해, 곱셈의 항등원을 가지는 것을 가정되어지면, 부분 링이 되기 위해서 S가 R과 같은 항등원을 공유할 것을 역시 요구합니다. 그래서 만약 모든 링이 곱셈의 항등원을 가지는 것으로 가정된다면, 적절한 아이디얼은 부분 링이 아닙니다.

예를 들어, 정수의 링 Z는 실수의 필드(field)의 부분 링이고 다항식(polynomial) Z[X]의 링의 역시 부분 링입니다 (양쪽 경우에서, Z는 1을 포함하고, 이것은 더 큰 링의 곱셈의 항등원입니다). 다른 한편으로, 짝수 정수 2Z의 부분 집합은 항등원 1을 포함하지 않고 따라서 Z의 부분 링으로 자격을 얻지 못합니다.

부분 링의 교집합은 부분 링입니다. R의 주어진 부분 집합 E를 포함하는 가장 작은 부분 링은 E에 의해 생성된 부분 링이라고 불립니다. 그러한 부분 링은, 만약 그것이 E를 포함하는 모든 부분 링의 교집합이면, 존재합니다.

링 R에 대해, 1을 포함하는 가장 작은 부분 링은 R의 특성 부분 링이라고 불립니다. 그것은 1과 −1의 복사본을 함께 임의의 혼합으로 여러 번 더함으로써 얻어질 수 있습니다. 그것은 $n\cdot 1=1+1+\ldots +1$ (n번)은 영이 될 수 것이 가능합니다. 만약 n이, 이것이 발생하는, 가장 작은 양의 정수이면, n은 R의 특성(characteristic)이라고 불립니다. 일부 링에서, $n\cdot 1$ 은 임의의 양의 정수 n에 대해 결코 영이 아니고, 그들 링은 특성 영을 가지는 것이라고 말합니다.

링 R이 주어지면, $\operatorname {Z} (R)$를 x가 R 안의 모든 각 원소와 교환되는, 즉 R 안의 임의의 원소 y에 대해 $xy=yx$를 만족하는 R 안의 모든 각 x의 집합을 의미한다고 놓습니다. 그러면 $\operatorname {Z} (R)$은, R의 중심(center)이라고 불리는, R의 부분 링입니다. 보다 일반적으로, R의 부분 집합 X가 주어지면, S를 X 안의 모든 각 원소와 교환하는 R 안의 모근 원소의 집합이라고 놓습니다. 그러면 S는, X의 중심화기(centralizer) (또는 교환원)라고 불리는, R의 부분 링입니다. 중심의 원소 또는 부분 집합은 R 안의 중심(central)이라고 말합니다; 그들은 중심의 부분 링을 생성합니다.

Ideal

Main article: Ideal (ring theory)

링 안의 아이디얼(ideal)의 정의는 링 안의 정규 부분 그룹(normal subgroup)의 것과 유사합니다. 그러나, 현실에서, 이것은 링의 원소의 아이디얼화 일반화의 역할을 합니다; 그러므로, 이름 "아이디얼". 링의 원소에서 처럼, 아이디얼의 연구는 링의 구조적 이해의 핵심입니다.

R을 링이라고 놓습니다. R의 비-빈 부분 집합 I는, 그런 다음, 만약, I 안의 임의의 x, y에 대해, $x+y$와 $rx$가 I 안에 있으면, R 안의 왼쪽 아이디얼(left ideal)이라고 말합니다. 만약 $RI$이 R에 관한 I의 펼침을 나타내면; 즉, 다음 무한 합의 집합이면

$r_{1}x_{1}+\cdots +r_{n}x_{n},\quad r_{i}\in R,\quad x_{i}\in I,$

그런 다음 I는, 만약 $RI\subseteq I$이면, 왼쪽 아이디얼입니다. 비슷하게, I가, 만약 $IR\subseteq I$이면, 오른쪽 아이디얼(right ideal)이라고 말합니다. 부분 집합 I는, 만약 그것이 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼 모두이면, 양-측 아이디얼(two-sided ideal) 또는 간단히 아이디얼이라고 말합니다. 한-측 또는 양-측 아이디얼은 그러면 R의 덧셈의 부분 그룹입니다. 만약 E가 R의 부분 집합이면, $RE$는, E에 의해 생성된 왼쪽 아이디얼이라고 불리는, 왼쪽 아이디얼입니다; 그것은 E를 포함하는 가장 작은 왼쪽 아이디얼입니다. 비슷하게, R의 부분 집합에 의해 생성된 오르쪽 아이디얼 또는 양-측 아이디얼을 고려할 수 있습니다.

만약 x가 R 안에 있으면, $Rx$와 $xR$가, 각각, 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼입니다; 그들은 x에 의해 생성된 주요(principal) 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼이라고 불립니다. 주요 아이디얼 $RxR$은 $(x)$로 쓰입니다. 예를 들어, 0과 함께 2의 모든 양의 또는 음의 배수의 집합은 정수의 아이디얼을 형성하고, 이 아이디얼은 정수 2에 의해 생성됩니다. 사실, 정수의 링의 모든 각 아이디얼은 주요입니다.

그룹과 마찬가지로, 링은, 만약 그것이 비-영이고 적절한 비영 양-측 아이디얼을 가지지 않으면, 단순(simple)이라고 말합니다. 교환 가능한 단순 링은 정확하게 하나의 필드입니다.

링은 그들 아이디얼에 따라 특수 조건으로 종종 연구됩니다. 예를 들어, 왼쪽 아이디얼의 무한한 체인(chain)이 엄격하게 증가하지 않는 링은 왼쪽 뇌터 링(Noetherian ring)이라고 불립니다. 왼쪽 아이디얼의 엄격하게 감소하는 무한한 체인이 없는 링은 왼쪽 아르틴 링(Artinian ring)이라고 불립니다. 왼쪽 아르틴 링이 왼쪽 뇌터 (홉킨스–레비츠키 정리(Hopkins–Levitzki theorem))라는 것은 다소 놀라운 사실입니다. 정수는, 어쨌든, 아르틴이 아닌 뇌터 링을 형성합니다.

교환 특성 링에 대해, 아이디얼은 대수학에서 정수를 소수로 소인수분해하고 나눔가능성의 고전적인 개념을 일반화합니다. R의 적절한 아이디얼 P는, 만약 임의의 원소 $x,y\in R$에 대해 우리가 $xy\in P$가 $x\in P$ 또는 $y\in P$를 의미하는 것을 가지면, 소수 아이디얼(prime ideal)이라고 불립니다. 동등하게, P는, 만약 임의의 아이디얼 $I,J$에 대해 우리는 $IJ\subseteq P$가 $I\subseteq P$ 또는 $J\subseteq P$를 의미하는 것을 가지면, 소수 아이디얼입니다. 이 후자 공식은 원소의 일반화로 아이디얼의 아이디어를 묘사합니다.

Homomorphism

Main article: Ring homomorphism

링 (R, +, ·)에서 링 (S, ‡, *)로의 준동형(homomorphism)은 링 연산을 보존하는 R에서 S까지 함수입니다; 즉, 그런 것들, R 안의 모든 a, b에 대해 다음 항등식을 유지합니다:

• f(a + b) = f(a) ‡ f(b)
• f(a · b) = f(a) * f(b)
• f(1_R) = 1_S

만약 필연적이지 않은 단위 링과 함께 작동하면, 세 번째 조건은 버립니다.

링 준동형은, 만약 f와 역 준동형 (즉, 역함수(inverse function)인 링 준동형)이 존재하면, 동형(isomorphism)이라고 말합니다. 임의의 전단사(bijective) 링 준동형은 링 동형입니다. 두 링 $R,S$은, 만약 그것들 사이의 동형이 있으면 동형이라고 말하고 그 경우에서 $R\simeq S$를 씁니다. 같은 링 사이의 준동형은 자기-사상이라고 불리고 같은 링 사이의 동형은 자기 동형이라고 불립니다.

예제:

• 각 정수 x를 그의 나머지 모듈로 4 ({0, 1, 2, 3} 안의 숫자)로 맵하는 함수는 링 Z에서 몫 링 Z/4Z ("몫 링"은 아래에서 정의됩니다)로의 준동형입니다.
• 만약 $u$은 링 R 안의 단위 원소이면, $R\to R,x\mapsto uxu^{-1}$은 링 준동형이고, R의 안의 자기동형(inner automorphism)이라고 불립니다.
• R을 소수 특성 p의 교환 특성 링이라고 놓습니다. 그러면 $x\mapsto x^{p}$은 프로베니우스 준동형(Frobenius homomorphism)이라고 불리는 R의 링 자기-사상입니다.
• 필드 확장 $L/K$의 갈루아 그룹(Galois group)은 K에 대한 그의 제한이 항등인 L의 모든 자기 동형의 집합입니다.
• 임의의 링 R에 대해, 유일한 링 준동형 Z →R와 유일한 링 준동형 R →0이 있습니다.
• 링의 전사 사상(epimorphism) (즉, 오른쪽-취소 가능한 사상)은 전사일 필요는 없습니다. 예를 들어, 유일한 맵 $\mathbb {Z} \to \mathbb {Q}$은 전사 사상입니다.
• k-대수에서 k에 관한 벡터 공간의 자기-사상 대수(endomorphism algebra)로의 대수 준동형은 대수의 표현이라고 불립니다.

링 준동형 $f:R\to S$이 주어지면, f에 의해 0에 맵되는 모든 원소의 집합은 f의 커널(kernel)이라고 불립니다. 커널은 R의 양-측 아이디얼입니다. f의 이미지는, 다른 한편으로, 항상 아이디얼은 아니지만, 그것은 항상 S의 부분 링입니다.

교환 특성 링 R에서 A의 중심을 포함된 이미지를 갖는 링 A로의 링 준동형을 부여하는 것은 A에서 R에 관한 대수(algebra)의 구조를 제공하는 것과 동일합니다 (특히 A-모듈의 구조를 제공합니다).

Quotient ring

Main article: Quotient ring

링의 몫 링(quotient ring)은 그룹의 몫 그룹(quotient group)의 개념과 유사합니다. 보다 공식적으로, 링 (R, +, · ) 그리고 (R, +, · )의 양-측 아이디얼 I가 주어지면, 몫 링 (또는 인수 링) R/I는, R 안의 모든 각 a, b에 대해, 연산

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I 그리고

(a + I)(b + I) = (ab) + I

과 함께 I의 ((R, +, · )의 덧셈의 그룹(additive group)에 관한; 즉, (R, +)에 관한 코셋) 코셋의 집합입니다.

몫 그룹의 경우와 마찬가지로, $x\mapsto x+I$에 의해 주어진 정식 맵 $p:R\to R/I$가 있습니다. 그것은 전사이고 보편적 속성을 만족시킵니다: 만약 $f:R\to S$가 $f(I)=0$를 만족하는 링 준동형이면, $f={\overline {f}}\circ p$인 것을 만족하는 고유한 ${\overline {f}}:R/I\to S$가 있습니다. 특히, I를 커널이 되게 취하면, 몫 링 $R/\operatorname {ker} f$은 f의 이미지와 동형인 것을 알 수 있습니다; 사실 첫 번째 동형 정리(isomorphism theorem)로 알려져 있습니다. 마지막 사실은 실제로 임의의 전사 링 준동형은, 그러한 맵의 이미지가 몫 링이기 때문에, 보편적인 속성을 만족시킨다는 것을 의미합니다.

Module

Main article: Module (mathematics)

링에 관한 모듈(module over a ring)의 개념은 (스칼라 곱셈) 필드의 원소를 갖는 벡터의 곱셈에서 링의 원소를 갖는 곱셈으로 일바화로 (필드(field)에 관한) 벡터 공간(vector space)의 개념을 일반화합니다. 보다 정확하게, 1을 갖는 링 R이 주어지면, R-모듈 M은 어떤 공리(axioms)를 만족하는 (M의 원소를 R의 원소의 모든 각 쌍과 M의 원소에 결합하는) 연산(operation) R × M → M을 구비한 아벨 그룹(abelian group)입니다. 이 연산은 공통적으로 곱셈적으로 표시되고 곱셈이라고 불립니다. 모듈의 공리는 다음과 같습니다: R 안의 모든 a, b와 M 안의 모든 x, y에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

• M은 덧셈 아래의 아벨 그룹입니다.
• $a(x+y)=ax+ay$
• $(a+b)x=ax+bx$
• $1x=x$
• $(ab)x=a(bx)$

링이 비교환 특성(noncommutative)일 때, 이들 공리는 왼쪽 모듈을 정의합니다; 오른쪽 모듈은 ax 대신 xa를 쓰는 것으로 비슷하게 정의됩니다. 만약 (링 원소에 의해) 왼쪽 곱셈은 오른쪽 모듈에 대해 사용되면, 오른쪽 모듈의 마지막 공리 (즉 x(ab) = (xa)b)는 (ab)x = b(ax)되는 것처럼, 이것은 표기법의 오직 변화는 아닙니다.

모듈의 기본 예제는, 링 그 자체를 포함하는, 아이디얼입니다.

비록 비슷하게 정의될지라도, 모듈의 이론은 벡터 공간의 것보다 훨씬 더 복잡하며, 주로, 왜냐하면, 벡터 공간과는 달리, 모듈은 하나의 불변 (벡터 공간의 차원)에 의해 (동형 사상까지) 특성을 부여하지 않습니다. 특히, 모든 모듈이 기저(basis)를 가지는 것은 아닙니다.

모듈의 공리는 (−1)x = −x인 것을 의미하며, 여기서 첫 번째 마이너스는 링의 덧셈의 역(additive inverse)을 의미하고 두 번째 마이너스는 모듈의 덧셈의 역을 의미합니다. 이것을 사용하는 것과 양의 정수로 곱셈에 의한 반복된 덧셈을 표시하는 것은 정수의 링에 관한 모듈을 갖는 아벨 그룹을 식별하는 것을 허용합니다.

임의의 링 준동형은 모듈의 구조를 유도합니다: 만약 f : R → S가 링 준동형이면, S는 곱셈: rs = f(r)s에 의해 R에 관한 왼쪽 모듈입니다. 만약 R이 교환 특성이면 또는 만약 f(R)가 S의 중심(center)에 포함되면, 링 S는 R-대수(algebra)라고 불립니다. 특히, 모든 각 링은 정수에 관한 대수입니다.

Constructions

Direct product

Main article: Direct product of rings

R와 S를 링이라 놓습니다. 그러면 곱(product) R × S은 R안의 모든 각 r₁, r₂와 S안의 s₁, s₂에 대해, 다음 자연 링 구조로 구비될 수 있습니다:

• (r₁, s₁) + (r₂, s₂) = (r₁ + r₂, s₁ + s₂)
• (r₁, s₁) ⋅ (r₂, s₂) = (r₁ ⋅ r₂, s₁ ⋅ s₂)

덧셈과 곱셈의 위의 연산 그리고 곱셈의 항등원 $(1,1)$을 갖는 링 R × S은 S와 함께 R의 직접 곱(direct product)이라고 불립니다. 같은 구조가 링의 임의의 가족에 대해 역시 작동합니다: 만약 $R_{i}$이 집합 I에 의해 인덱스된 링이면, $\prod _{i\in I}R_{i}$은 구성 요소별 덧셈과 곱셈을 갖는 링입니다.

R을 교환 특성 링 그리고 ${\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}$를 $i\neq j$일 때마다 ${\mathfrak {a}}_{i}+{\mathfrak {a}}_{j}=(1)$를 만족하는 아이디얼이라고 놓습니다. 그러면 중국의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)는 정식 링 동형이 있다고 말합니다:

$R/{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\simeq \prod _{i=1}^{n}{R/{\mathfrak {a}}_{i}},\qquad x\;\operatorname {mod} \;{\textstyle \bigcap _{i=1}^{n}{{\mathfrak {a}}_{i}}}\mapsto (x\;\operatorname {mod} \;{\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,x\;\operatorname {mod} \;{\mathfrak {a}}_{n})$.

"유한" 직접 곱은 아이디얼의 직접 합으로 역시 바라볼 수 있습니다. 즉, $R_{i},1\leq i\leq n$을 링이라 놓고, $R_{i}\to R=\prod R_{i}$을 이미지 ${\mathfrak {a}}_{i}$ (특히 ${\mathfrak {a}}_{i}$은 링이지만 부분 링은 아닙니다)을 갖는 포함이라고 놓습니다. 그러면 ${\mathfrak {a}}_{i}$은 R의 아이디얼이고 아벨 그룹의 직접 합 처럼 (왜냐하면 아벨 그룹에 대해 유한 곱은 직접 합과 같기 때문입니다):

$R={\mathfrak {a}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {a}}_{n},\quad {\mathfrak {a}}_{i}{\mathfrak {a}}_{j}=0,i\neq j,\quad {\mathfrak {a}}_{i}^{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{i}$

분명하게 그러한 아이디얼의 직접 합은 R에 동형인 링의 곱을 역시 정의합니다. 동등하게, 위의 것은 중심 거듭상등(central idempotent)을 통해 행해질 수 있습니다. R은 에 위의 소수 인수분해를 가진다고 가정합니다. 그러면 우리는 다음을 쓸 수 있습니다:

$1=e_{1}+\cdots +e_{n},\quad e_{i}\in {\mathfrak {a}}_{i}.$

${\mathfrak {a}}_{i}$의 조건에 의해, $e_{i}$은 중심 거듭상등이고 (직교) $e_{i}e_{j}=0,i\neq j$인 것을 가집니다. 다시, 구성을 거꾸로 할 수 있습니다. 즉, 만약 직교 중심 거듭상등 안에 1의 분할이 주어지면, ${\mathfrak {a}}_{i}=Re_{i}$을 만들며, 이것은 양-측 아이디얼입니다. 만약 각 $e_{i}$가 직교 중심 거듭상등의 합이 아니면, 그들 직접 합은 R과 동형입니다.

무한 직접 곱의 중요한 응용은 링의 투영적 극한(projective limit:투영 극한)의 구성입니다 (아래를 참조하십시오). 또 다른 응용은 링의 가족의 제한된 곱(restricted product)입니다 (참조. 아델 링(adele ring)).

Polynomial ring

Main article: Polynomial ring

(변수라고 불리는) 기호 t와 교환 특성 링 R이 주어지면, 다항식의 집합

$R[t]=\left\{a_{n}t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\dots +a_{1}t+a_{0}\mid n\geq 0,a_{j}\in R\right\}$

은, 부분 링으로 R을 포함하는, 보통의 덧셈과 곱셈을 갖는 교환 특성 링을 형성합니다. 그것은 R에 관한 다항식 링(polynomial ring)이라고 불립니다. 보다 일반적으로, 변수 $t_{1},\ldots ,t_{n}$의 모든 다항식의 집합 $R[t_{1},\ldots ,t_{n}]$은, 부분 링으로 $R[t_{i}]$를 포함하는, 교환 특성 링을 형성합니다.

만약 R이 정수 도메인이면, $R[t]$은 역시 정수 도메인입니다; 분수의 그의 필드는 유리 함수(rational function)의 필드입니다. 만약 R이 뇌터 링이면, $R[t]$는 뇌터 링입니다. 만약 R이 고유한 인수분해 도메인이면, $R[t]$은 고유한 인수분해 도메인입니다. 마지막으로, R이 필드인 것과 $R[t]$이 주요 아이디얼 도메인인 것은 필요충분 조건입니다.

$R\subseteq S$를 교환 가능한 링이라고 놓습니다. S의 원소 x가 주어지면, 다음 링 준동형을 고려할 수 있습니다:

$R[t]\to S,\quad f\mapsto f(x)$

(즉, 치환(substitution)). 만약 S=R[t]와 x=t이면, f(t)=f입니다. 이것 때문에, 다항식 f가 $f(t)$로 역시 표시됩니다. 맵 $f\mapsto f(x)$의 이미지는 $R[x]$로 표시됩니다; 그것은 R과 x에 의해 생성된 S의 부분 링과 같은 것입니다.

예제: $k[t^{2},t^{3}]$은 다음 준동형의 이미지를 표시합니다:

$k[x,y]\to k[t],\,f\mapsto f(t^{2},t^{3}).$

달리 말해서, 그것은 t²와 t³에 의해 생성된 $k[t]$의 부분 대수입니다.

예제: f를 하나의 변수의 다항식이라고 놓습니다; 즉, 다항식 링 R의 원소입니다. 그러면 $f(x+h)$은 $R[h]$ 안의 원소이고 $f(x+h)-f(x)$은 해당 링 안의 h에 의해 나누어집니다. $(f(x+h)-f(x))/h$의 영을 h로 치환하는 것의 결과는, x에서 f의 도함수, $f'(x)$입니다.

치환은 다항식 링의 보편적인 속성의 특별한 경우입니다. 속성은 말합니다: 링 준동형 $\phi :R\to S$와 S의 원소 x가 주어지면, ${\overline {\phi }}(t)=x$와 ${\overline {\phi }}$가 $\phi$로 제한하는 것을 만족하는 유일한 링 준동형 ${\overline {\phi }}:R[t]\to S$이 존재합니다. 예를 들어, 기저를 선택하는 것, 대칭 대수(symmetric algebra)는 보편적인 속성을 만족하고 그래서 다항식 링입니다.

예제를 제공하기 위해, S를 R에서 그 자체로의 모든 함수의 링이라고 놓습니다. R의 각 r은 상수 함수를 정의하며, 준동형 $R\to S$을 야기합니다. 보편적인 속성은 이 맵이 (t는 x에 맵핑되는) 다음으로 유일하게 확장하는 것을 말합니다:

$R[t]\to S,\quad f\mapsto {\overline {f}}$

여기서 ${\overline {f}}$은 f에 의해 정의되는 다항 함수(polynomial function)입니다. 결과 맵이 단사인 것과 R이 무한인 것과 필요충분 조건입니다.

$R[t]$의 비-상수 일계수 다항식 f가 주어지면, f가 $S[t]$의 선형 인수의 곱인 것을 만족하는 R을 포함하는 링 S가 존재합니다.

k를 대수적으로 닫힌 필드로 놓습니다. 힐베르트의 눌슈텔렌자츠(Hilbert's Nullstellensatz) (영점 정리)는, $k[t_{1},\ldots ,t_{n}]$의 모든 소수 아이디얼의 집합과 $k^{n}$의 닫힌 부분 다양체의 집합 사이의 자연 일-대-일 대응이 있는 것을 말합니다. 특히, 대수 기하학 안의 많은 지역 문제는 다항식 링에서 아이디얼의 생성원의 연구를 통해 공격받을 수 있습니다 (참조. 그뢰브너 기저(Gröbner basis).)

일부 다른 관련된 구성이 있습니다. 형식적 거듭제곱 급수 링(formal power series ring) $R[\![t]\!]$은 곱셈 그리고 덧셈과 함께 형식적 거듭제곱 급수

$\sum _{0}^{\infty }a_{i}t^{i},\quad a_{i}\in R$

를 구성하고 수렴하는 급수에 대해 그들을 흉내냅니다. 그것은 부분 링으로 $R[t]$를 포함합니다. 형식적 거듭제곱 급수 링은 다항식 링의 보편적 속성을 가지지 않다는 것을 주목하십시오; 급수는 치환 후에 수렴하지 않을 수 있습니다. 다항식 링에 관한 형식적 거듭제곱 급수 링의 중요한 이점은 그것이 지역(local) (사실, 완비(complete))라는 것입니다.

Matrix ring and endomorphism ring

Main articles: Matrix ring and Endomorphism ring

R을 (반드시 교환 가능일 필요는 없는) 링이라 놓습니다. R의 엔트리를 갖는 크기 n의 모든 정사각형 행렬의 집합은 엔트리-별 덧셈과 보통 행렬 곱셈(matrix multiplication)을 갖는 링을 형성합니다. 그것은 행렬 링(matrix ring)이라고 불리고 M_n(R)로 표시됩니다. 오른쪽 R-모듈 $U$가 주어지면, U에서 그 자체로의 모든 R-선형 맵의 집합은 함수인 덧셈과 함수의 합성(composition of functions)인 곱셈을 갖는 링을 형성합니다; 그것은 U의 자기 사상 링이라 불리고 $\operatorname {End} _{R}(U)$로 표시됩니다.

선형 대수에서처럼, 행렬 링은 자기 사상 링: $\operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq \operatorname {M} _{n}(R)$으로 정식으로 해석될 수 있습니다. 이것은 다음 사실의 특별한 경우입니다: 만약 $f:\oplus _{1}^{n}U\to \oplus _{1}^{n}U$은 R-선형 맵이면, f는 $S=\operatorname {End} _{R}(U)$에서 엔트리 $f_{ij}$를 갖는 행렬로 쓸 수 있으며, 링 동형을 야기합니다:

$\operatorname {End} _{R}(\oplus _{1}^{n}U)\to \operatorname {M} _{n}(S),\quad f\mapsto (f_{ij}).$

임의의 링 준동형 R → S은 M_n(R) → M_n(S)을 유도합니다; 사실, 행렬 링 사이의 임의의 링 준동형은 이런 방식으로 생깁니다.

슈어의 보조 정리(Schur's lemma)는, 만약 U가 단순 오른쪽 R-모듈이면, $\operatorname {End} _{R}(U)$은 나눗셈 링임을, 말합니다. 만약 $\displaystyle U=\bigoplus _{i=1}^{r}U_{i}^{\oplus m_{i}}$은 단순 R-모듈 $U_{i}$의 m_i-복사본의 직접 합이면,

$\operatorname {End} _{R}(U)\simeq \bigoplus _{1}^{r}\operatorname {M} _{m_{i}}(\operatorname {End} _{R}(U_{i}))$.

아르틴–웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)는 임의의 반-단순 링(semisimple ring)은 이 형식의 것임을 말합니다 (아래를 참조하십시오).

그것에 관한 링 R과 행렬 링 M_n(R)은 모리타 동치(Morita equivalent)입니다: R의 오른쪽 모듈의 카테고리는 M_n(R)에 관한 오른쪽 모듈의 카테고리와 동일합니다. 특히, R 안의 양-측 아이디얼은 M_n(R) 안의 양-측 아이디얼에 일-대-일로 대응합니다.

예제:

• 링에 관한 투영적 직선의 자기 동형은 2 x 2 행렬 링으로부터 투영 변환(homographies:projective transformation)으로 제공됩니다.

Limits and colimits of rings

R_i가 모든 i에 대해 R_i+1의 부분 링을 만족하는 R_i를 링의 수열이라고 놓습니다. 그러면 R_i의 합집합 (또는 필터화 공동-극한(filtered colimit))은 다음으로 정의된 링 $\varinjlim R_{i}$입니다: 그것은 모든 R_i의 모듈로 동치 관계 $x\sim y$의 분리 합집합인 것과 충분하게 큰 i에 대해 R_i에서 $x=y$인 것은 필요충분 조건입니다.

공동-극한의 예제:

• 무한하게 많은 변수에서 다항식 링: $R[t_{1},t_{2},\cdots ]=\varinjlim R[t_{1},t_{2},\cdots ,t_{m}].$
• 같은 특성 ${\overline {\mathbf {F} }}_{p}=\varinjlim \mathbf {F} _{p^{m}}$의 유한 필드(finite field)의 대수적 클로저(algebraic closure).
• 필드 k에 관한 형식적 로랑 급수(formal Laurent series)의 필드: $k(\!(t)\!)=\varinjlim t^{-m}k[\![t]\!]$ (그것은 형식적 거듭제곱 급수 링(formal power series ring) $k[\![t]\!]$의 분수의 필드입니다.)
• 필드 k에 관한 대수적 다양체의 함수 필드는 $\varinjlim k[U]$이고 여기서 극한은 비-빈 열린 부분 집합 U의 모든 좌표 링 $k[U]$에 관해 실행됩니다 (보다 간결하게 그것은 일반적인 점(generic point)에서 구조 층의 줄기(stalk)입니다.)

임의의 교환 가능한 링은 유한하게 생성된 부분 링(finitely generated subring)의 공대-극한입니다.

링의 투영적 극한(projective limit) (또는 필터화 극한(filtered limit:여과 극한))은 다음으로 정의됩니다. 링 $R_{i}$의 가족이 주어지고, i가 양의 정수에 관해 실행되고, $R_{i}\to R_{i}$가 모두 항등이고 $R_{k}\to R_{j}\to R_{i}$가 $k\geq j\geq i$일 때마다 $R_{k}\to R_{i}$인 것을 만족하는 링 준동형 $R_{j}\to R_{i},j\geq i$을 가정합니다. 그러면 $\varprojlim R_{i}$은 $x_{j}$은 $R_{j}\to R_{i},j\geq i$ 아래에서 $x_{i}$에 맵하는 것을 만족하는 $(x_{n})$을 구성하는 $\prod R_{i}$의 부분 링입니다.

투영적 극한의 예제에 대해, § Completion를 참조하십시오.

Localization

지역화(localization)는 정수 도메인의 분수의 필드(field of fractions)의 구성을 임의의 링 및 모듈로 일반화합니다. (필수적으로 교환 가능은 아닌) 링 R 그리고 R의 부분 집합 S가 주어지면, S를 "역하는" 링 준동형 $R\to R[S^{-1}]$을 갖는 링 $R[S^{-1}]$가 존재합니다; 즉, 준동형은 S 안의 원소를 $R[S^{-1}]$ 안의 단위 원소로 맵핑하고, 그리고, 게다가, S를 "역하는" R로부터 임의의 링 준동형은 $R[S^{-1}]$를 통해 유일하게 인수분해합니다. 링 $R[S^{-1}]$은 S에 관한 R의 지역화(localization)라고 불립니다. 예를 들어, 만약 R이 교환 가능한 링이고 f가 R 안의 원소이면, 지역화 $R[f^{-1}]$는 형태 $r/f^{n},\,r\in R,\,n\geq 0$의 원소로 구성됩니다 (정확하게 말하면, $R[f^{-1}]=R[t]/(tf-1)$.)

지역화는 R 안의 소수 아이디얼의 여 (또는 소수 아이디얼의 합)에 관하여 교환 가능한 링 R에 자주 적용됩니다. 그들 경우 $S=R-{\mathfrak {p}}$에서, $R[S^{-1}]$에 대해 $R_{\mathfrak {p}}$를 종종 씁니다. $R_{\mathfrak {p}}$은, 그런 다음, 극대 아이디얼 ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$을 갖는 지역 링입니다. 이것이 용어 "지역화"에 대한 이유입니다. 정수 도메인 R의 분수의 필드는 소수 아이디얼 영에서 R의 지역화입니다. 만약 ${\mathfrak {p}}$가 교환 가능한 링 R의 소수 아이디얼이면, $R/{\mathfrak {p}}$의 분수의 필드는 지역 링 $R_{\mathfrak {p}}$의 잔여 필드(reside field:잉여체)와 같고 $k({\mathfrak {p}})$로 표시됩니다.

만약 M이 왼쪽 R-모듈이면, S에 관한 M의 지역화는 링의 변경(change of rings) $M[S^{-1}]=R[S^{-1}]\otimes _{R}M$에 의해 제공됩니다.

지역화의 가장 중요한 속성은 다음입니다: R은 교환 가능한 링 그리고 S가 곱셈적으로 닫힌 부분집합일 때

• ${\mathfrak {p}}\mapsto {\mathfrak {p}}[S^{-1}]$은 S로부터 분리된 R 안의 모든 소수 아이디얼의 집합과 $R[S^{-1}]$ 안의 모든 소수 아이디얼의 집합 사이의 전단사입니다.
• $R[S^{-1}]=\varinjlim R[f^{-1}]$, 나눔가능성에 의해 주어진 부분 순서화를 갖는 S의 원소를 실행하는 f.
• 지역화는 정확합니다:

  $0\to M'[S^{-1}]\to M[S^{-1}]\to M''[S^{-1}]\to 0$는, $0\to M'\to M\to M''\to 0$가 R에 관해 정확할 때마다, $R[S^{-1}]$에 관해 정확합니다.

• 반대로, 만약 $0\to M'_{\mathfrak {m}}\to M_{\mathfrak {m}}\to M''_{\mathfrak {m}}\to 0$가 임의의 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$에 대해 정확하면, $0\to M'\to M\to M''\to 0$는 정확합니다.
• 주의: 지역화는 글로벌 존재를 입증하는 데 도움이 되지 않습니다. 이것의 하나의 예제는 만약 두 모듈이 모든 소수 아이디얼에서 동형이면, 그들이 동형인 것을 따르지 않는다는 것입니다. (이것을 설명하는 한 가지 방법은 지역화가 모듈을 소수 아이디얼에 관한 층으로 보이는 것과 층은 본질적으로 지역 개념을 허용하는 것입니다.)

카테고리 이론에서, 카테고리의 지역화(localization of a category)는 일부 사상을 동형 사상으로 만드는 것이 됩니다. 교환 가능한 링 R의 원소는 임의의 R-모듈의 자기 사상으로 생각될 수 있습니다. 따라서, 카테고리적으로, R의 부분 집합 S에 관한 R의 지역화는 R-모듈의 카테고리에서 그 자체로의 함수자이고 자기 사상에서 자기 동형 사상으로 보이는 S의 원소를 전송하고 이 속성과 관련하여 보편적입니다. (물론, R은 그런 다음 $R[S^{-1}]$에 매핑하고 R-모듈은 $R[S^{-1}]$-모듈에 매핑합니다.)

Completion

R을 교환 가능한 링이라고 놓고, I를 R의 아이디얼이라고 놓습니다. I에서 R의 완비(completion)는 투영적 극한 ${\hat {R}}=\varprojlim R/I^{n}$입니다; 그것은 교환 가능한 링입니다. R에서 몫 $R/I^{n}$로의 정식 준동형은 준동형 $R\to {\hat {R}}$을 야기합니다. 후자의 준동형은, 만약 R이 뇌터 정수 도메인이 아니고 I가 적절한 아이디얼이고, 또는 만약 R이 극대 아이디얼 I를 갖는 뇌터 지역 링이 아니면, 크룰의 교차 정리(Krull's intersection theorem)에 의해, 단사입니다. 구성은 I가 극대 아이디얼일 때 특히 유용합니다.

기본 예제는 소수 p에 의해 생성된 주요 아이디얼 (p)에서 Z의 완비 Z_p입니다; 그것은 p-진수 정수(p-adic integers)의 링이라고 불립니다. 완비는 이 경우에서 Q 위의 p-진수 절댓값(p-adic absolute value)으로부터 역시 구성될 수 있습니다. Q 위의 p-진수 절댓값은 $|n|_{p}=p^{-v_{p}(n)}$에 의해 주어진 Q에서 R로의 맵 $x\mapsto |x|$이며, 여기서 $v_{p}(n)$은 비-영 정수 n을 소수로의 소인수분해에서 p의 지수를 나타냅니다 (우리는 $|0|_{p}=0$과 $|m/n|_{p}=|m|_{p}/|n|_{p}$을 역시 놓습니다). 그것은 Q 위의 거리 함수를 정의하고 거리 공간(metric space)으로 Q의 완비는 Q_p로 표시됩니다. 그것은, 필드 연산이 완비까지 확장되기 때문에, 다시 필드입니다. $|x|_{p}\leq 1$를 갖는 원소 x로 구성되는 Q_p의 부분 링은 Z_p에 동형입니다.

비슷하게, 형식적 거듭제곱 급수 링 $R[{[t]}]$은 $(t)$에서 $R[t]$의 완비입니다 (헨젤의 보조정리(Hensel's lemma)를 역시 참조하십시오).

완비 링은 교환 가능한 링보다 훨씬 더 간단한 구조를 가집니다. 이것은 코언 구조 정리(Cohen structure theorem)를 소유하고, 그것은, 대략, 완비 로컬 링이 그것의 형식적 거듭제곱 급수 링 또는 몫처럼 보이는 경향이 있다고 말합니다. 반면에, 정수 클로저(integral closure)와 완비 사이의 교차는 현대 교환 가능한 링 이론과 뇌터와 같은 사람에 의해 개발된 고전적 이론을 구별하는 가장 중요한 측면 중 하나로 되어 왔습니다. 나가타에 의해 발견된 병리학적 예제는 뇌터 링의 역할에 대한 재검토로 이어졌으며, 다른 것들 중에서도, 우수한 링(excellent ring)의 정의에 동기 부여했습니다.

Rings with generators and relations

링을 구성하는 가장 일반적인 방법은 생성기와 관계를 지정하는 것입니다. F를 기호의 집합 X를 갖는 자유 링(free ring) (즉, 정수에 대한 자유 대수)라고 놓습니다; 즉, F는 X의 원소인 비-교환하는 변수에서 정수 계수를 갖는 다항식으로 구성합니다. 자유 링은 보편적인 속성을 만족시킵니다: 집합 X에서 링 R로의 임의의 함수는 F를 통해 인수분해하고 그래서 $F\to R$은 유일한 준동형입니다. 그룹의 경우와 마찬가지로, 모든 각 링은 자유 링의 몫으로 나타낼 수 있습니다.

이제, 우리는 몫을 취함으로써 X 안의 기호들 사이에 관계를 부과할 수 있습니다. 명시적으로, 만약 E가 F의 부분 집합이면, E에 의해 생성된 아이디얼에 의한 F의 몫 링은 생성기 X와 관계 E를 갖는 링이라고 불립니다. 만약 우리가 Z 대신에 바탕 링으로, 말하자면, 링 A를 사용하면, 결과 링은 A에 관한 것일 것입니다. 예를 들어, 만약 $E=\{xy-yx\mid x,y\in X\}$이면, 결과 링은 X의 원소인 변수에서 A 안의 계수를 갖는 보통 다항식 링이 될 것입니다 (그것은 기호 X를 갖는 A에 관한 대칭 대수(symmetric algebra)와 같은 것입니다).

카테고리-이론적 용어에서, 형성 $S\mapsto {\text{the free ring generated by the set }}S$는 링의 카테고리에서 집합으로의 망각 함수자(forgetful functor)의 왼쪽 인접 함수자입니다 (그리고 그것은 종종 무료 링 함수자라고 불립니다.)

A, B를 교환 가능한 링 R에 관한 대수로 놓습니다. 그러면 R-모듈 $A\otimes _{R}B$의 텐서 곱은 R-모듈입니다. 우리는 선형적으로 $(x\otimes u)(y\otimes v)=xy\otimes uv$을 확장하여 링으로 그것을 바꿀 수 있습니다. 대수의 텐서 곱(tensor product of algebras), 링의 변경(change of rings)을 역시 참조하십시오.

Special kinds of rings

Domains

비-영 영제수(zero-divisor)를 갖는 비-영(nonzero) 링은 도메인(domain)이라고 불립니다. 교환 가능한 도메인은 정수 도메인(integral domain)이라고 불립니다. 가장 중요한 정수 도메인은 주요 아이디얼 도메인, 짧게 PID, 그리고 필드입니다. 주요 아이디얼 도메인은 모든 각 아이디얼이 주요인 정수 도메인입니다. PID를 포함하는 정수 도메인의 중요한 클래스는 고유한 인수분해 도메인(Unique Factorization Domain) (UFD)입니다. UFD는 모든 각 비-단위 원소가 소수 원소(prime element)의 곱인 정수 도메인입니다 (원소가 만약 그것이 소수 아이디얼(prime ideal)을 생성하면 소수입니다). 대수적 숫자 이론(algebraic number theory)에서 근본 질문은, "아이디얼"이 소인수분해를 허용하는, 숫자 필드(number field)에서 (일반화된) 정수의 링이 PID가 되지 못하는 범위에 있습니다.

PID에 관한 정리들 사이에서, 가장 중요한 하나는 주요 아이디얼 도메인에 관한 유한하게 생성된 모듈에 대해 구조 정리입니다. 정리는 선형 대수에 대한 다음의 응용에 의해 설명될 수 있습니다. V를 필드 k에 관한 유한-차원 벡터 공간 그리고 $f:V\to V$를 최소 다항식 q를 갖는 선형 맵으로 놓습니다. 그런 다음, $k[t]$는 고유한 인수분해 도메인이기 때문에, q는 구별되는 기약 다항식 (즉, 소수 원소)의 거듭제곱으로 인수분해됩니다:

$q=p_{1}^{e_{1}}...p_{s}^{e_{s}}.$

$t\cdot v=f(v)$라고 놓으면, 우리는 V를 k[t]-모듈로 만듭니다. 구조 정리는, 그런 다음, V가, 그것의 각각이 형태 $k[t]/(p_{i}^{k_{j}})$의 모듈에 동형인, 순환 모듈(cyclic module:순환 가군)의 직접 합이라고 말합니다. 이제, 만약 $p_{i}(t)=t-\lambda _{i}$이면, ($p_{i}$에 대해) 그러한 순환 모듈은 f의 제한이 조르당 행렬(Jordan matrix)에 의해 표현되는 기저를 가집니다. 따라서, 만약, 말하자면, k가 대수적 닫힘이면, $p_{i}$의 모두는 형태 $t-\lambda _{i}$의 것이고 위의 분해는 f의 조르당 정식 형식(Jordan canonical form)에 해당합니다.

대수 기하학에서, UFD는 매끄러움때문에 발생합니다. 보다 정확하게, (완전 필드에 관한) 다양체 안의 점은, 만약 점에서 지역 링은 정규 지역 링(regular local ring)이면, 매끄럽습니다. 정류 지역 링은 UFD입니다.

다음은 링, 도메인 그리고 필드 사이의 관계를 설명하는 클래스 포함(class inclusions)의 체인입니다:

교환 가능한 링 ⊃ 정수 도메인 ⊃ 정수적으로 닫힌 도메인 ⊃고유한 인수분해 도메인 ⊃ 주요 아이디얼 도메인 ⊃ 유클리드 도메인 ⊃ 필드

Division ring

나눗셈 링(division ring)은 모든 각 비-영 원소가 단위인 것을 만족하는 링입니다. 교환 가능한 나눗셈 링은 필드(field)입니다. 필드가 아닌 나눗셈 링의 두드러진 예제는 쿼터니언(quaternion:사원수)의 링입니다. 나눗셈 링에서 임의의 중심화는 역시 나눗셈 링입니다. 특히, 나눗셈 링의 중심은 필드입니다. 그것은 모든 각 유한 도메인 (특히 유한 나눗셈 링)은 필드; 특히, 교환 가능 (웨더번의 작은 정리(Wedderburn's little theorem))이라고 밝혀졌습니다.

나눗셈 링에 관한 모든 각 모듈은 (기저를 가지는) 자유 모듈입니다; 결과적으로, 선형 대수의 많은 부분이 필드 대신 나눗셈 링에 관하여 수행될 수 있습니다.

켤레 클래스의 연구는 나눗셈 링의 고전 이론에서 두드러지게 나타납니다. 카르탕은 다음과 같은 질문을 유명하게 물었습니다: 중심을 포함하지 않는 나눗셈 링 D와 적절한 부분-나눗셈-링 S가 주어지면, D의 각 내부 자기 동형은 S의 자기 동형으로 제한됩니까? 대답은 부정적입니다: 이것은 카르탕–브라우어–화 정리(Cartan–Brauer–Hua theorem)입니다.

레너드 유진 딕슨(L. E. Dickson)에 의해 도입된, 순환 대수(cyclic algebra)는 쿼터니언 대수(quaternion algebra)의 일반화입니다.

Semisimple rings

링은, 만약 그것이 그 자체에 관한 왼쪽 모듈 (또는 오른쪽 모듈)로 반단순; 즉, 단순 모듈의 직접 합이면, 반단순 링(semisimple ring)이라 불립니다. 링은, 만약 그의 제이컵슨 제곱근(Jacobson radical)이 영이면, 반원시 링(semiprimitive ring)이라고 불립니다. (제이컵슨 제곱근은 모든 극대 왼쪽 아이디얼의 교차점입니다.) 링이 반단순인 것과 그것이 아르틴(artinian)이고 반원시인 것은 필요충분 조건입니다.

필드 k에 관한 대수가 아르틴인 것과 그것이 유한 차원을 가지는 것은 필요충분 조건입니다. 따라서, 필드에 관한 반단순 대수는 필연적으로 유한-차원이고, 반면에 단순 대수는 무한 차원을 가질 수 있습니다; 예를 들어, 미분 연산자의 링(ring of differential operators).

반단순 링에 관한 모듈은 반단순입니다. (증명: 반단순 링에 관한 임의의 자유 모듈은 분명하게 반단순이고 임의의 모듈은 자유 모듈의 몫입니다.)

반단순 링의 예제:

• 나눗셈 링에 관한 행렬 링은 반단순입니다 (실제로 단순).
• 필드 k에 관한 유한 그룹 G의 그룹 링 $k[G]$은, 만약 k의 특성은 G의 차수를 나누지 않으면, 반단순입니다. (마슈케의 정리(Maschke's theorem))
• (필드에 관한) 바일 대수(Weyl algebra)는 단순 링입니다; 그것은 무한 차원을 가지고 따라서 아르틴이 아니기 때문에 반단순이 아닙니다.
• 클리퍼드 대수(Clifford algebra)는 반단순입니다.

반단순성은 분해가능성과 밀접하게 관련됩니다. 필드 k에 관한 대수(algebra) A는, 만약 기본 확장 $A\otimes _{k}F$가 임의의 필드 확장(field extension) $F/k$에 대해 반단순이면, 분해 가능(separable)이라고 말합니다. 만약 A가 필드에서 발생하면, 이것은 필드 이론에서 보통 정의와 동일합니다 (참조. 분해 가능 확장(separable extension))

Central simple algebra and Brauer group

Main article: Central simple algebra

필드 k에 대해, k-대수는, 만약 그의 중심이 k이면, 중심이고, 만약 그것이 단순 링(simple ring)이면, 단순입니다. 단순 k-대수의 중심이 필드이기 때문에, 임의의 단순 k-대수는 그의 중심에 관한 중심 단순 대수입니다. 이 섹션에서, 중심 단순 대수는 유한 차원을 가지는 것으로 가정됩니다. 또한, 우리는 기본 필드를 대부분 수정합니다; 따라서, 대수는 k-대수를 인용합니다. 링 R에 관한 크기 n의 행렬 링은 $R_{n}$으로 표시됩니다.

스콜렘–뇌터 정리(Skolem–Noether theorem)는 중심 단순 대수의 임의의 자기 동형이 내부라고 말합니다.

두 중심 단순 대수 A와 B는, 만약 $A\otimes _{k}k_{n}\approx B\otimes _{k}k_{m}$를 만족하는 정수 n과 m이 있으면, 닮았다(similar)라고 말합니다. $k_{n}\otimes _{k}k_{m}\simeq k_{nm}$이기 때문에, 닮음은 동치 관계입니다. 곱셈 $[A][B]=[A\otimes _{k}B]$을 갖는 닮음 클래스는 k의 브라우어 그룹(Brauer group)이라 불리는 아벨 그룹을 형성하고 $\operatorname {Br} (k)$로 표시됩니다. 아르틴–웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem)에 의해, 중심 단순 대수는 나눗셈 링의 행렬 링입니다; 각 닮음 클래스는 유일한 나눗셈 링으로 표현됩니다.

예를 들어, $\operatorname {Br} (k)$은, 만약 k가 유한 필드 또는 대수적으로 닫힌 필드 (보다 일반적으로 준-대수적으로 닫힌 필드(quasi-algebraically closed field); 참조. 트어슨의 정리(Tsen's theorem)). $\operatorname {Br} (\mathbb {R} )$는 차수 2를 가집니다 (프로베니우스의 정리(theorem of Frobenius)의 특별한 경우). 마지막으로, 만약 k가 비-아르키메데스 지역 필드(local field)이면 (예를 들어, $\mathbb {Q} _{p}$), 불변 맵(invariant map)을 통해 $\operatorname {Br} (k)=\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$입니다.

이제, 만약 F가 k의 필드 확대이면, 기본 확대 $-\otimes _{k}F$는 $\operatorname {Br} (k)\to \operatorname {Br} (F)$을 유도합니다. 그것의 커널은 $\operatorname {Br} (F/k)$로 표시됩니다. 그것은, $A\otimes _{k}F$은 F에 관한 행렬 링 (즉, A는 F를 쪼갭니다)을 만족하면, $[A]$로 구성됩니다. 만약 확대가 유한이고 갈루아이면, $\operatorname {Br} (F/k)$는 $H^{2}(\operatorname {Gal} (F/k),k^{*})$에 정식으로 동형입니다.

아즈마야 대수(Azumaya algebra)는 중심 단순 대수를 교환 가능한 지역 링으로 일반화합니다.

Valuation ring

Main article: valuation ring

만약 K가 필드이면, 평가(valuation) v은, K 안의 임의의 f, g에 대해 f + g 비-영, v(f + g) ≥ min{v(f), v(g)}를 만족하는 곱셈의 그룹 K^*에서 완전 순서 아벨 그룹 G로의 그룹 준동형입니다. v의 평가 링(valuation ring)은 v(f) ≥ 0를 만족하는 영과 비-영 f로 구성하는 K의 부분 링입니다.

예제:

• 필드 k에 관한 형식적 로랑 급수(formal Laurent series) $k(\!(t)\!)$의 필드는 v(f)가 f 안의 비-영 항의 최소 차수를 만족하는 평가 v와 함께 옵니다; v의 평가 링은 형식적 거듭제곱 급수 링 $k[\![t]\!]$입니다.
• 보다 일반적으로, 필드 k와 완전 순서 아벨 그룹 G가 주어지면, $k(\!(G)\!)$를, 그의 지원 (함수가 비-영인 것에서 점의 집합)이 바른 순서화(well ordered:정렬)된 G에서 k로의 모든 함수의 집합으로 놓습니다. 그것은 다음과 같은 합성곱(convolution)에 의해 주어진 곱셈을 갖는 필드입니다:

  $(f*g)(t)=\sum _{s\in G}f(s)g(t-s)$.

그것은 v(f)가 f의 지원에서 가장 작은 원소인 것을 만족하는 평가 v와 함께 옵니다. 유한 지원을 갖는 원소로 구성하는 부분 링은 G의 그룹 링(group ring)이라고 불립니다 (이것은 비록 G가 교환 가능이 아닐지라도 의미가 있습니다). 만약 G가 정수의 링이면, 우리는 (그의 n-번째 계수가 f(n)인 급수를 갖는 f로 식별하여) 앞의 예제를 복구합니다.

노비코프 링(Novikov ring) 그리고 단일직렬 링(uniserial ring) 을 역시 참조하십시오.

Rings with extra structure

링은, 특별한 구조: 즉, 링 곱셈을 갖는, (덧셈 연산을 사용하여) 아벨 그룹(abelian group)으로 보일 수 있습니다. 같은 방법에서, 특별한 구조를 갖는 링으로 간주될 수 있는 다른 수학적 대상이 있습니다. 예를 들어:

• 결합 대수(associative algebra)는 스칼라 곱셈이 링 곱셈을 통해 분산되는 것을 만족하는 필드 K에 관한 역시 벡터 공간(vector space)인 링입니다. 예를 들어, 실수 필드 R에 관한 n-×-n 행렬의 집합은 실수 벡터 공간으로 차원 n²을 가집니다.
• 링 R은, 만약 원소 R의 그의 집합은, 덧셈 맵 ( $+:R\times R\to R\,$) 그리고 곱셈 맵 ( $\cdot :R\times R\to R\,$)을 토폴로지적 공간 사이의 맵으로 둘 다 연속(continuous)으로 만드는 토폴로지(topology)으로 주어지면, 토폴로지적 링(topological ring)입니다 (여기서 X × X는 곱 토폴로지(product topology) 또는 카테고리에서 임의의 다른 곱을 상속합니다). 예를 들어, 실수에 관한 n-×-n 행렬은 유클리드 토폴로지(Euclidean topology), 또는 자르스키 토폴로지(Zariski topology) 중 하나에 주어질 수 있고, 두 경우에서 토폴로지적 링을 얻을 수 있습니다.
• λ-링(λ-ring)은 n-번째 외부 거듭제곱(exterior power)과 같은 연산 λⁿ: R → R과 함께 교환 가능한 링입니다:

$\lambda ^{n}(x+y)=\sum _{0}^{n}\lambda ^{i}(x)\lambda ^{n-i}(y)$.

예를 들어, Z는 이항 계수(binomial coefficient), $\lambda ^{n}(x)={\binom {x}{n}}$을 갖는 λ-링입니다. 개념은 리만–로흐 정리(Riemann–Roch theorem)에 대한 대수적 접근에서 중심적인 규칙을 수행합니다.

• 전체 순서 링(totally ordered ring)은 링 순서와 호환되는 전체 순서화(total ordering)를 갖는 링입니다.

Some examples of the ubiquity of rings

수학적 대상(mathematical object)의 많은 다른 종류는 일부 결합된 링(associated ring)의 관점에서 유익하게 분석될 수 있습니다.

Cohomology ring of a topological space

임의의 토폴로지적 공간(topological space) X에 대해, 그의 정수 코호몰로지 링(cohomology ring)

$H^{*}(X,\mathbb {Z} )=\bigoplus _{i=0}^{\infty }H^{i}(X,\mathbb {Z} ),$

등급 링을 결합시킬 수 있습니다. 공간의 호모롤지 그룹(homology group) $H_{i}(X,\mathbb {Z} )$은 역시 있고, 실제로 이들은, 구(sphere)와 토러스(torus:원환체)와 같은, 특정 토폴로지적 공간의 쌍을 구별하는 유용한 도구로서 먼저 정의되었으며, 이것에 대해 점-집합 토폴로지(point-set topology)의 방법은 적합하지 않습니다. 코호몰로지 그룹(cohomology group)은 나중에 벡터 공간(vector space)의 이중과 대략적으로 유사한 방식으로 호몰로지 그룹의 관점에서 정의되었습니다. 각 개별적인 정수 호몰로지 그룹을 아는 것은, 보편적인 계수 정리(universal coefficient theorem) 때문에, 각 개별적인 정수 코호몰로지 그룹을 아는 것과 본질적으로 같습니다. 어쨌든, 코호몰로지 그룹의 장점은 자연 곱(natural product)이 있다는 것인데, 이것은 (k + l)-다중선형 형식을 얻기 위해 k-다중선형 형식(multilinear form)과 l-다중선형 양식을 점마다 곱할 수 있는 관측과 유사합니다.

코호몰로지에서 링 구조는 올-다발(fiber bundle)의 특성 클래스(characteristic class), 매니폴드 및 대수 다양체(algebraic varieties)에 대한 교차 이론, 슈베르트 미적분학(Schubert calculus) 그리고 훨씬 더 많은 것들에 대해 기초를 제공합니다.

Burnside ring of a group

임의의 그룹(group)은, 링은 유한 집합에 대해 작용할(act) 수 있는 다양한 방법을 묘사하기 위해 링을 사용하는 그의 번사이드 링(Burnside ring)에 연결됩니다. 번사이드 링의 덤셈의 그룹은, 그의 기저가 그룹의 추이적 작용이고 그의 덧셈은 작용의 분리 합집합인 자유 아벨 그룹(free abelian group)입니다. 기저의 관점에서 작용을 표현하는 것은 작용을 추이적 성분으로 분해하는 것입니다. 곱셈은 표현 링(representation ring)의 관점에서 쉽게 표현됩니다: 번사이드 링에서 곱셈은 두 개의 순열 모듈의 텐서 곱을 순열 모듈로 쓰는 것으로 형성됩니다. 링 구조는 한 작용을 다른 작용에서 빼는 공식적인 방법을 허용합니다. 번사이드 링은 표현 링의 유한 인덱스 부분 링으로 포함되기 때문에, 계수를 정수에서 유리수로 확장하여 하나에서 다른 계수로 쉽게 보낼 수 있습니다.

Representation ring of a group ring

임의의 그룹 링(group ring) 또는 호프 대수(Hopf algebra)는 그의 표현 링(representation ring) 또는 "그린 링(Green ring)"과 결합됩니다. 표현 링의 덧셈의 그룹은 그의 기저가 분해 불가능 모듈이고 그의 덧셈은 직접 합에 해당하는 자유 아벨 그룹입니다. 기저의 관점에서 모듈을 표현하는 것은 모듈의 분해 불가능 분해를 찾는 것입니다. 곱셈은 텐서 곱입니다. 대수가 반단순일 때, 표현 링은 성격 이론(character theory)으로부터 바로 성격 링이며, 이것은 반지 구조가 주어진 다소 그로텐디크 그룹(Grothendieck group)입니다.

Function field of an irreducible algebraic variety

임의의 기약 대수 다양체(algebraic variety)는 그의 함수 필드(function field)와 관련됩니다. 대수 다양체의 점은 함수 필드에서 포함된 그리고 좌표 링(coordinate ring)을 포함하는 평가 링(valuation ring)에 해당합니다. 대수 기하학(algebraic geometry)의 연구는 링-이론적 속성의 관점에서 기하학적 개념을 연구하기 위해 교환 가능한 대수학(commutative algebra)의 과도한 사용을 만듭니다. 쌍유리 기하학(birational geometry) 연구는 함수 필드의 부분 링 사이를 맵핑합니다.

Face ring of a simplicial complex

모든 각 단순한 복합체(simplicial complex:단체 복합체)는, 그의 스탠리–라이스너 링(Stanley–Reisner ring)이라고 역시 불리는, 결합된 표면 링이 있습니다. 이 링은 단순한 복합체의 많은 조합의 속성을 반영하며, 그래서 그것은 대수 조합론(algebraic combinatorics)에서 특별한 관심입니다. 특히, 스탠리–라이스너 링의 대수 기하학은 단순한 폴리포트(simplicial polytope)의 각 차원에서 표면의 숫자를 특성화하기 위해서 사용되었습니다.

Category theoretical description

Main article: Category of rings

모든 각 링은, 아벨 그룹의 카테고리(category of abelian groups), Ab에서 모노이드(monoid)로 생각 (${\mathbb {Z} }$-모듈의 텐서 곱 아래에서 모노이드 카테고리(monoidal category)로 생각)될 수 있습니다, abelian 그룹의 카테고리 (모듈의 텐서 곱으로 monoidal 카테고리로 생각). 아벨 그룹 위의 링 R의 모노이드 작용은 단순히 R-모듈(R-module)입니다. 본질적으로, R-모듈은 벡터 공간(vector space)의 개념의 일반화입니다 – 여기서 필드에 관한 벡터 공간이라기 보다는, "링에 관한 벡터 공간"을 가집니다.

(A, +)를 아벨 그룹으로 놓고 End(A)를 그의 자기-사상 링(endomorphism ring)으로 놓습니다 (위를 참조하십시오). 주목할 것은, 본질적으로, End(A)는 A의 모든 사상의 집합이라는 것이고, 여기서 만약 f가 End(A) 안에 있고, 그리고 g는 End(A) 안에 있으면, 다음 규칙은 f + g 및 f · g을 계산하기 위해 사용될 수 있습니다:

• (f + g)(x) = f(x) + g(x)
• (f · g)(x) = f(g(x))

여기서 f(x) + g(x) 안에서 처럼 +는 A 안의 덧셈이고, 그리고 함수 합성은 오른쪽에서 왼쪽으로 표시됩니다. 그러므로, 임의의 아벨 그룹에 결합된 것은 링입니다. 반대로, 임의의 링이 주어지면, (R, +, · ), (R, +)은 아벨 그룹입니다. 게다가, R의 모든 각 r에 대해, r에 의한 오른쪽 (또는 왼쪽) 곱셈은 오른쪽 (또는 왼쪽) 분포 가능성에 의해, (R, +)의 사상을 발생시킵니다. A = (R, +)라고 놓습니다. R의 오른쪽 (또는 왼쪽) 곱셈을 "통해 인수분해"하는, A의 그들 자기-사상(endomorphism)을 생각해 보겠습니다. 달리 말해서, End_R(A)를 A의 모든 사상 m의 집합으로 놓고, 속성 m(r · x) = r · m(x)을 가집니다. 그것은 R 안의 모든 각 r은 A의 사상: r에 의한 오른쪽 곱셈을 발생시키는 것으로 보입니다. 그것은, R에서 End_R(A)로의 함수로, A의 사상에서, R의 임의의 원소의 이 결합은, 링의 동형 사상이라는 것은 사실 참입니다. 이런 의미에서, 그러므로, 임의의 링은 일부 아벨 X-그룹의 자기 사상 링으로 보일 수 있습니다 (X-그룹에 의해, 그것은 그의 연산자의 집합(set of operators)이 있는 X를 갖는 그룹을 의미합니다). 본질적으로, 링의 가장 일반적인 형태는, 일부 아벨 X-그룹의 자기 사상 그룹입니다.

임의의 링은 단일 대상을 갖는 전덧셈의 카테고리(preadditive category:전가법 범주)로 보일 수 있습니다. 그것은 그러므로 임의의 전덧셈의 카테고리를 링의 일반화로 간주하는 것은 자연스럽습니다. 그리고 실제로, 링에 대해 주어진 많은 정의와 정리는 이것 보다 일반적인 문맥으로 변환될 수 있습니다. 전덧셈의 카테고리 사이의 덧셈의 함수자(Additive functor)는 링 준동형의 개념을 일반화하고, 덧셈의 카테고리에서 아이디얼은 임의의 사상(morphism)을 갖는 덧셈 아래에서 그리고 합성 아래에서 닫힌 사상의 집합으로 정의될 수 있습니다.

Generalization

대수학자는 링 공리읠 일부를 약화시키거나 떨어뜨림으로써 링보다 보다 일반적인 구조를 정의해 왔습니다.

Rng

렁(rng)은 곱셈의 항등원(multiplicative identity)의 존재가 가정되지 않는 것을 제외하면, 링과 같습니다.

Nonassociative ring

비-결합 가능 링(nonassociative ring)은 결합 가능성(associativity)과 곱셈의 항등원(multiplicative identity)의 존재 외에는 모든 링의 공리를 만족하는 대수 구조입니다. 주목할만한 예제는 리 대수(Lie algebra)입니다. 리 대수와 결합 가능 대수에 대해 유사한 결과를 일반화하는 그러한 대수에 대해 일부 구조 이론이 존재합니다.

Semiring

반링(semiring)은 (R,+)은 아벨 그룹이라는 가정을 (R,+)은 교환 가능한 모노이드로 약화시키는 것, R 안의 모든 a에 대해 0 · a = a · 0 = 0이라는 공리를 더하는 것에 의해 생깁니다 (왜냐하면 그것은 다른 공리를 더 이상 따르지 않기 때문입니다).

예제: 열렬한 반링(Tropical geometry).

Other ring-like objects

Ring object in a category

C를 유한 곱을 갖는 카테고리로 놓습니다. pt를 C의 끝 대상(terminal object)을 나타내는 것으로 놓습니다 (빈 곱). C 안의 링 대상(ring object)은 보통 링 공리를 만족하는 사상 $R\times R{\stackrel {a}{\to }}R$ (덧셈), $R\times R{\stackrel {m}{\to }}R$ (곱셈), $\operatorname {pt} {\stackrel {0}{\to }}R$ (덧셈의 항등원), $R{\stackrel {i}{\to }}R$ (덧셈의 역원), and $\operatorname {pt} {\stackrel {1}{\to }}R$ (곱셈의 항등원)을 구비한 대상 R입니다. 동등하게, 링 대상은 링의 카테고리: $C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Rings} {\stackrel {\textrm {forgetful}}{\longrightarrow }}\mathbf {Sets}$를 통해 점 $h_{R}=\operatorname {Hom} (-,R):C^{\operatorname {op} }\to \mathbf {Sets}$의 함수자의 인수분해를 갖춘 대상 R입니다.

Ring scheme

대수 기하학에서, 기저 스킴(scheme) S에 관한 링 스킴은 S-스킴의 카테고리에서 링 대상입니다. 하나의 예제는 링 스킴 W_n over Spec Z이며, 이것은 임의의 교환 가능한 링 A에 대해 A에 관한 길이 n의 p-아이소티픽 비트 벡터의 링 W_n(A)을 반환합니다.

Ring spectrum

대수 토폴로지(algebraic topology)에서, 링 스펙트럼(ring spectrum)은 링 공리 다이어그램은 호모토피까지 교환하는 것을 만족하는, 곱셈 $\mu \colon X\wedge X\to X$ 그리고 구 스펙트럼(sphere spectrum) S로부터 단위 맵 $S\to X$와 함께 스펙트럼(spectrum) X입니다. 실제로, 그것은 대칭 스펙트럼(symmetric spectra)의 카테고리와 같은 스펙트럼의 좋은 카테고리에서 모노이드 대상(monoid object)으로 링 스펙트럼을 정의하는 것이 공통적입니다.

See also

• Algebra over a commutative ring
• Algebraic structure
• Categorical ring
• Category of rings
• Glossary of ring theory
• Nonassociative ring
• Ring theory
• Ring of sets
• Semiring
• Spectrum of a ring
• Simplicial commutative ring

Special types of rings:

• Boolean ring
• Commutative ring
• Dedekind ring
• Differential ring
• Division ring (skew field)
• Exponential ring
• Field
• Finite ring
• Integral domain
• Lie ring
• Local ring
• Noetherian and artinian rings
• Ordered ring
• Principal ideal domain (PID)
• Reduced ring
• Regular ring
• Ring of periods
• Ring theory
• SBI ring
• Unique factorization domain (UFD)
• Valuation ring and discrete valuation ring
• Zero ring