Algebraic fraction

대수학(algebra)에서, 대수적 분수(algebraic fraction)는 그의 분자와 분모가 대수적 표현(algebraic expression)인 분수(fraction)입니다. 대수적 분수의 두 예제는 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 및 ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 입니다. 대수적 분수는 산술적 분수(arithmetic fraction)와 같은 법칙의 적용을 받습니다.

유리 분수(rational fraction)는 그의 분자와 분모가 둘다 다항식(polynomial)인 대수적 분수입니다. 따라서 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 은 유리 분수이지만, ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 는 아닌데, 왜냐하면 분자에 제곱근 함수를 포함하기 때문입니다.

Terminology

대수적 분수 ${\tfrac {a}{b}}$ 에서, 나누어지는 숫자 a는 분자라고 불리고 나누는 숫자 b는 분모라고 불립니다. 분자와 분모는 대수적 분수의 항(terms)이라고 불립니다.

복잡한 분수(complex fraction)는 그의 분자 또는 분모, 또는 둘 다에 분수를 포함하는 분수입니다. 단순 분수(simple fraction)는 그것의 분자 또는 그것의 분모에 분수를 포함하지 않습니다. 분수는 만약 분자와 분모에 공통적인 유일한 인수가 1이면 가장-낮은 항(lowest terms)에 있습니다.

분수 형식에서가 아닌 표현은 정수 표현(integral expression)입니다. 정수 표현은 분모 1을 제공함으로써 분수 형식으로 항상 쓸 수 있습니다. 혼합 표현(mixed expression)은 하나 이상의 정수 표현과 하나 이상의 분수 항의 대수적 합입니다.

Rational fractions

만약 표현 a와 b가 다항식(polynomial)이면, 대수적 분수는 유리 대수적 분수(rational algebraic fraction)^[1] 또는 단순히 유리 분수(rational fraction)라고 불립니다.^[2]^[3] 유리 분수는 유리 표현으로 역시 알려져 있습니다. 유리 분수 ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ 는 만약 $\deg f(x)<\deg g(x)$ 이면, 적절한(proper)이라고 불리고, 그렇지 않으면, 부적절한(improper)이라고 불립니다. 예를 들어, 유리 분수 ${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$ 가 적절한 것이면, 유리 분수 ${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$ 및 ${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$ 는 부적절한 것입니다. 임의의 부적절한 유리 분수는 다항식 (상수도 가능함) 및 적절한 유리 분수의 합으로 표현될 수 있습니다. 부적절한 분수의 첫 번째 예제에서 우리는 다음을 가집니다:

{\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},

여기서 두 번째 항은 적절한 유리 분수입니다. 두 적절한 유리 분수의 합은 마찬가지로 적절한 유리 분수입니다. 유리 분수를 둘 이상의 분수의 합으로 표현하는 역 과정은 그것을 부분 분수(partial fraction)로 분해하는 것을 말합니다. 예를 들어

{\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.

여기서, 오른쪽 변에 대한 두 항은 부분 분수라고 불립니다.

Irrational fractions

무리 분수(irrational fraction)는 분수 지수 아래에서 변수를 포함하는 분수입니다.^[4] 무리 분수의 예제는 다음입니다:

{\frac {x^{1/2}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{1/3}-x^{1/2}}}.

무리 분수를 유리 분수로 변환하는 과정은 유리화(rationalization)라고 불립니다. 제곱근이 단항식(monomial)인 모든 각 무리 분수는 근의 인덱스의 최소 공통 배수(least common multiple)를 구하고, 지수로 최소 공통 배수를 갖는 또 다른 변수에 대해 변수를 치환함으로써 유리화될 수 있습니다. 주어진 예제에서, 최소 공통 배수는 6이므로, 우리는 $x=z^{6}$ 을 치환하여 다음을 얻습니다:

{\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.

Notes

^ Bansi Lal (2006). Topics in Integral Calculus. p. 53. ISBN 9788131800027.
^ Ėrnest Borisovich Vinberg (2003). A course in algebra. p. 131. ISBN 9780821883945.
^ Parmanand Gupta. Comprehensive Mathematics XII. p. 739. ISBN 9788170087410.
^ Washington McCartney (1844). The principles of the differential and integral calculus; and their application to geometry. p. 203.

References

Brink, Raymond W. (1951). "IV. Fractions". College Algebra.

[1] Bansi Lal (2006). Topics in Integral Calculus. p. 53. ISBN 9788131800027.

[2] Ėrnest Borisovich Vinberg (2003). A course in algebra. p. 131. ISBN 9780821883945.

[3] Parmanand Gupta. Comprehensive Mathematics XII. p. 739. ISBN 9788170087410.

[4] Washington McCartney (1844). The principles of the differential and integral calculus; and their application to geometry. p. 203.

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