Fraction

분수(fraction) (라틴어(Latin) fractus, "부러진(broken)"으로부터)는 전체의 부분, 또는, 보다 일반적으로, 같은 부분의 임의의 숫자를 나타냅니다. 일상 언어로 말했을 때, 분수는 어떤 크기의 얼마나 많은 부분, 예를 들어, 이분의 일, 팔분의 오, 사분의 삼과 같이 묘사합니다. 공통(common), 보통(vulgar), 또는 단순(simple) 분수 (예를 들어, ${\tfrac {1}{2}}$ 및 ${\tfrac {17}{3}}$ )는 선분 위에 (또는 슬래시 앞에) 표시되는 정수(integer) 분자와 그 선분 아래 (또는 뒤)에 표시되는, 비-영 정수 분모로 구성됩니다. 분자와 분모는 복합 분수, 복잡한 분수, 및 혼합 숫자 시스템을 포함하여, 보통이 아닌 분수에 역시 사용됩니다.

우리는 양의 보통 분수로 시작하며, 여기서 분자와 분모가 자연수(natural number)입니다. 분자는 같은 부분의 숫자를 나타내고, 분모는 그들 부분 중 몇 개가 한 단위 또는 전체를 만드는지 가리킵니다. 분모는 절대 영이 될 수 없는데 왜냐하면 영 부분은 전체를 만드는 것이 불가능하기 때문입니다. 예를 들어, 분수 3/4에서, 분자, 3은 분수가 3개의 같은 부분을 나타내는 것을 우리에게 말하고, 분모, 4는 4개의 부분이 전체를 만드는 것을 우리에게 말합니다. 오른쪽 그림은 케이크의 ${\tfrac {3}{4}}$ 또는 3⁄4를 묘사합니다.

보통 분수는 유리수(rational number)를 나타내는 숫자 시스템입니다. 같은 숫자는 십진수, 백분율, 또는 음의 지수와 함께 역시 표현될 수 있습니다. 예를 들어, 0.01, 1% 및 10⁻² 모두는 분수 1/100과 같습니다. 숫자 7과 같은 정수는 1의 암시적 분모를 가지는 것으로 생각될 수 있습니다: 7은 7/1과 같습니다.

분수에 대해 다른 용도는 비율(ratio)과 나눗셈(division)을 나타내는 것입니다.^[1] 따라서 분수 3/4는 비율 3:4 (전체에 대한 부분의 비율) 및 나눗셈 3 ÷ 4 (사로 나눈 삼)을 나타내기 위해 역시 사용됩니다. 나눗셈을 나타내기 위해 분수를 사용하는 경우에서 비-영 분모는 영에 의한 나눗셈(division by zero)이 정의되지 않은 규칙의 한 예제입니다.

우리는 음수 분수를 역시 쓸 수 있으며, 이것은 양의 분수의 반대를 나타냅니다. 예를 들어, 만약 1/2이 반 달러 이익을 나타내면, −1/2은 반 달러 손실을 나타냅니다. 부호화된 숫자의 나눗셈의 규칙 때문에, 그것은 요구되었는 것에서, 예를 들어, 양수로 나눈 음수는 음수이므로, −1/2, -1/2 및 1/-2 모두는 같은 분수, 음의 절반을 나타냅니다. 음수로 나눈 음수는 양수이기 때문에, -1/-2는 양의 절반을 나타냅니다.

수학(mathematics)에서, a와 b는 정수(integer)이고 b는 비-영인, 형식 a/b로 표현될 수 있는 모든 숫자의 집합은 유리수(rational numbers)의 집합으로 불리고 몫(quotient)을 의미하는, 기호 Q로 나타냅니다. 유리수가 될 숫자에 대한 테스트는, 그것이 해당 형식 (즉, 보통 분수)으로 쓸 수 있다는 것입니다. 어쨌든, 단어 분수(fraction)는, 유리수가 아닌, 수학적 표현, 예를 들어 대수적 분수(algebraic fraction) (대수적 표현의 몫), 및 √2/2 (2의 제곱근을 참조하십시오)와 π/4 (π가 무리수임을 증명을 참조하십시오)와 같은 무리수를 포함하는, 표현을 묘사하기 위해 역시 사용됩니다.

Vocabulary

분수에서, 묘사되어질 같은 부분의 숫자는 분자(numerator) (라틴어(Latin) numerātor로부터, "카운터" 또는 "번호")이고, 부분의 종류 또는 변화는 분모(denominator) (라틴어(Latin) dēnōminātor, "이름 또는 지정하는 것")입니다.^[2] 예제로, 분수 8⁄5는 총 여덟 부분에 해당하며, 그것의 각각은 "오등분"으로 이름지은 유형의 것입니다. 나눗셈(division)의 관점에서, 분자는 나누어지는-것(dividend)에 해당하고, 분모는 나누는-것(divisor)에 해당합니다.

비공식적으로, 분자와 분모는 단독으로 배치에 의해 구별할 수 있을 것이지만, 공식적인 문맥에서 그들은 보통 분수 막대(fraction bar)로 구분됩니다. 분수 막대는 (1/3에서 처럼) 수평, (2/5에서 처럼) 비스듬히, 또는 (4⁄9에서 처럼) 대각선일 수 있습니다.^[3] 이들 표시는 각각 수평 막대; 버질, 슬래시(slash) (미국), 또는 스트로크(stroke) (영국); 및 분수 막대, 솔리더스 또는 분수 슬래시(fraction slash)로 알려져 있습니다.^{[n 1]} 타이포그래피(typography)에서, 세로로 쌓인 분수는 "en" 또는 "nut"으로 역시 알려져 있고, 대각선 그것은 "em" 또는 "mutton fractions"으로, 한 자릿수 분자와 분모를 가진 분수가 좁은 en 사각형 또는 더 넓은 em 사각형의 여부에 기초합니다.^[3] 전통적인 조판에서, 완전한 분수 (예를 들어, 1/2)를 지니는 유형의 조각은 "case fraction"으로 알려져 있으며, 반면에 분수의 오직 일부를 나타내는 것은 "piece fractions"라고 불렀습니다.

영어 분수의 분모는, 만약 분자가 일이 아니면 복수형에서, 일반적으로 순서-숫자(ordinal numbers)로 표현됩니다. (예를 들어, 2⁄5 및 3⁄5는 모두 "오등분"의 숫자로 둘 다 읽습니다.) 예외는 분모 2를 포함하며, 이것은 항상 "반" 또는 "반쪽"으로 읽고, 분모 4, 이것은 대안적으로 "쿼터" 또는 "사등분"으로 표현될 수 있을 것이고, 분모 100, 이것은 대안적으로 "백" 또는 "백분율(percent)"로 표현될 수 있을 것입니다. 분모가 1일 때, 그것은 "전체"로 표현될 수 있을 것이지만, 정수로 읽히는 것과 함께, 보다 공통적으로 무시됩니다. (예를 들어, 3/1은 "세 개의 전체" 또는 간단히 "삼"으로 설명될 수 있을 것입니다.) 분자가 1일 때, 그것은 생략될 수 있습니다 (예를 들어, "십분의 일" 또는 "각 쿼터").

전체 분수는 하나의 합성으로 표현될 수 있으며, 이 경우에서 그것은 하이픈으로 쓰거나, 분자 1을 가진 분수의 숫자이며, 이 경우에서 그들은 아닙니다. (예를 들어, "이-오등분"는 분수 2/5이고 "이 오등분"은 ¹⁄₅의 두 경우로 이해되는 같은 분수입니다.) 분수는 형용사로 사용될 때 항상 하이픈으로 연결해야 합니다. 대안적으로, 분수는 세는-숫자(cardinal number)로 표현된 분모와 함께 그것을 분모 "분의" 분자로 읽음으로써 묘사될 수 있습니다. (예를 들어, 3/1은 "일 분의 삼"으로 역시 표현될 수 있습니다.) 용어 "분의"는 심지어 솔리더스 분자의 경우에서 사용되며, 여기서 숫자는 슬래시 마크의 왼쪽과 오른쪽 위치됩니다. (예를 들어, 1/2는 "일-절반", "절반" 또는 "이 분의 일"로 읽힐 수 있습니다.) 10의 거듭제곱이 아닌 큰 분모를 가진 분수는 종종 이러한 패션으로 렌더링되며 (예를 들어, 1/117을 "백 십칠 분의 일") 반면에 십으로 나눌-수-있는 분모를 가진 그들은 전형적으로 정규의 보통 패션에서 읽힙니다 (예를 들어, 6/1000000은 "육-백만등분", "육 백만등분", 또는 "육 일-백만등분"으로 읽힙니다).

Forms of fractions

Simple, common, or vulgar fractions

단순 분수 (역시 공통 분수 또는 보통 분수로 알려짐)는 a/b 또는 ${\tfrac {a}{b}}$ 로 쓰인 유리수(rational number)이며, 여기서 a와 b는 둘 다 정수(integers)입니다.^[7] 다른 분수와 마찬가지로, 분모 (b)는 절대 영이 아닙니다. 예제는 ${\tfrac {1}{2}}$ , $-{\tfrac {8}{5}}$ , ${\tfrac {-8}{5}}$ , 및 ${\tfrac {8}{-5}}$ 을 포함합니다. 단순 분수는 양수 또는 음수일 수 있고, 그들은 적절한 또는 부적절한 것일 수 있습니다 (아래를 참조하십시오). 합성 분수, 복잡한 분수, 혼합 분수, 및 십진수는 단순 분수가 아닙니다 (아래를 참조하십시오); 그래도, 만약 무리수가 아니면, 그들은 단순 분수로 평가될 수 있습니다.

단위 분수(unit fraction)는 1의 분자를 가진 공통 분수입니다, 예를 들어, ${\tfrac {1}{7}}$ . 단위 분수는, 1/2를 표현하는, 2⁻¹, 및 1/(2²) 또는 1/4를 표현하는, 2⁻²에서 처럼, 음의 지수를 사용하여 역시 표현될 수 있습니다.
이원적 분수(dyadic fraction)는 분모가 2의 거듭제곱(power of two), 예를 들어 ${\tfrac {1}{8}}={\tfrac {1}{2^{3}}}$ 인 것에서 공통 분수입니다.

Proper and improper fractions

공통 분수는 적절한 것 또는 부적절한 것으로 분류될 수 있습니다. 분자와 분모가 모두 양수일 때, 분수는, 만약 분자가 분모보다 작으면, 적절한 것, 그렇지 않으면 부적절한 것으로 불립니다.^[8]^[9] 일반적으로, 공통 분모는, 만약 분수의 절댓값(absolute value)이 1보다 작으면–즉, 만약 분수가 –1보다 크고 1보다 작으면, 적절한 분수(proper fraction)로 말합니다.^[10]^[11] 그것은, 만약 분수의 절댓값이 1보다 크거나 같으면, 부적절한 분수(improper fraction), 또는 때때로 위-무거운 분수(top-heavy fraction)인 것으로 말합니다.^[12] 적절한 분수의 예제는 2/3, –3/4, 및 4/9입니다; 부적절한 분수의 예제는 9/4, –4/3, 및 3/3입니다.

Reciprocals and the "invisible denominator"

분수의 역수(reciprocal)는 교환된 분자와 분모를 갖는 또 다른 분수입니다. ${\tfrac {3}{7}}$ 의 역수는, 예를 들어, ${\tfrac {7}{3}}$ 입니다. 분수와 그 역수의 곱은 1이므로, 역수는 분수의 곱셈의 역(multiplicative inverse)입니다. 적절한 분수의 역수는 부적절하고, 1과 같지 않은 부적절한 분수의 역수는 (즉, 분자와 분모가 같지 않습니다) 적절한 분수입니다.

분수의 분자와 분모가 같을 때 ( ${\tfrac {7}{7}}$ , 예를 들어), 그의 값은 1이고, 분수는 그러므로 부적절한 것입니다. 그의 역수 역시 1의 값을 가지고, 부적절 것입니다.

임의의 정수는 분모로 일을 갖는 분수로 쓸 수 있습니다. 예를 들어 17은 ${\tfrac {17}{1}}$ 로 쓸 수 있으며, 여기서 1은 때때로 보이지-않는 분모로 참조됩니다. 그러므로, 영을 제외한, 모든 각 분수 또는 정수는 역수를 가집니다. 17의 역수는 ${\tfrac {1}{17}}$ 입니다.

Ratios

비율(ratio)은 때때로 분수로 표현될 수 있는 둘 이상의 숫자 사이의 관계입니다. 전형적으로, 여러 항목이 그룹화되고 비율로 비교되어, 각 그룹 사이의 관계를 수치적으로 지정합니다. 비율은 "그룹 1 대 그룹 2 ... 대 그룹 n"으로 표현됩니다. 예를 들어, 만약 자동차 경품이 12대의 차량이 있고, 그것에서

2대는 흰색,
6대는 빨간색, 및
4대는 노란색이면,

빨강 대 흰 대 노랑 자동차의 비율은 6 대 2 대 4입니다. 노란 자동차 대 흰 자동차의 비율은 4 대 2이고 4:2 또는 2:1로 표현될 수 있을 것입니다.

비율은, 그것이 전체에 대한 비율로 표현될 때, 종종 분수로 변환됩니다. 위의 예제에서, 경품으로 주어진 모든 자동차에 대한 노랑 자동차의 비율은 4:12 또는 1:3입니다. 우리는 이들 비율을 분수로 변환할 수 있고 경품에서 자동차의 4/12 또는 자동차의 ⅓이 노랑 색이라고 말할 수 있습니다. 그러므로, 만약 사람이 경품에서 하나의 자동차를 무작위로 선택하면, 그것이 노랑 색이 될 수 있는 세 번 중에 하나의 기회 또는 확률(probability)이 있습니다.

Decimal fractions and percentages

십진 분수(decimal fraction)는 그의 분모가 명시적으로 제공되지 않지만, 10의 정수 거듭제곱인 것으로 이해되는 분수입니다. 십진 분수는 공통적으로 십진 표기법을 사용하여 표현되며 그것에서 암시된 분모가 십진 분리-기호(decimal separator)의 오른쪽에 자릿수(digits)로 결정되며, 분리-기호의 모양 (예를 들어, 마침표, 부풀린 마침표 (•), 쉼표)은 지역에 따라 다릅니다 (예를 들어, 십진 분리-기호(decimal separator)를 참조하십시오). 따라서, 0.75에 대해 분자는 75이고 암시된 분모는 10의 두 번째 거듭제곱, 즉 100인데, 왜냐하면 십진 분리-기호의 오른쪽에 두 자릿수가 있기 때문입니다. (3.75와 같은) 1보다 큰 십진수에서, 숫자의 분수 부분(fractional part)은 (이 경우에서 0.75의 값과 함께) 십진점의 오른쪽에 자릿수에 의해 표시됩니다. 3.75은 부적절한 분수, 375/100, 또는 혼합된 숫자, $3{\tfrac {75}{100}}$ 중의 하나로 쓸 수 있습니다.

십진 분수는 음의 지수, 예를 들어, 0.0000006023을 나타내는, 6.023×10⁻⁷와 함께 과학적 표기법(scientific notation)을 사용하여 역시 표현될 수 있습니다. 10⁻⁷는 10⁷의 분모를 나타냅니다. 10⁷로 나누면 왼쪽으로 십진 점 7 자리를 이동합니다.

십진 분리-기호의 오른쪽에 무한히 많은 자릿수를 가진 십진수는 무한 급수(infinite series)로 나타냅니다. 예를 들어, 1/3 = 0.333...은 무한 급수 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...을 나타냅니다.

분수의 또 다른 종류는 백분율(percentage) (라틴어 per centum로부터 "백개 당"을 의미하는, 기호 %로 나타내는 것)이며, 그것에서 암시된 분모는 항상 100입니다. 따라서, 51%는 51/100을 의미합니다. 100보다 더 큰 또는 영보다 더 작은 백분율은 같은 방법으로 처리되는데, 예를 들어, 311%는 311/100과 같고, –27%는 –27/100과 같습니다.

퍼밀(permille) 또는 천-당 부분(parts per thousand) (ppt)의 관련된 개념은 1000의 암시된 분모를 가지며, 반면에 보다 일반적인 개당-부분 표기법(parts-per notation), 백만-당 부분 (ppm)에서 75 ppm은 비율이 75/1,000,000임을 의미합니다.

공통 분수 또는 십진 분수가 사용된 여부는 종종 기호 또는 문맥의 문제입니다. 공통 분모는, 분모가 상대적으로 작을 때, 가장 자주 사용됩니다. 암기 계산(mental calculation)에 의해, 그것은 3/16에 16을 곱하는 것이 동동한 분수의 십진수 (0.1875)를 사용하여 같은 계산을 수행하는 것보다 더 쉽습니다. 그리고 그것은 1/3에 15를 곱하는 것이, 예를 들어, 삼분의 일의 임의의 십진수 근사에 15를 곱하는 것이 더 정확(accurate)합니다. 화폐 가치는 공통적으로 분모 100, 즉 두 십진수를 가진 십진 분수, 예를 들어, $3.75로 표시됩니다. 어쨌든, 위에 주목한 것처럼, 이전-십진 영국 통화에서, 실링과 펜스는 분수의 형식 (이지만 의미는 아닌)으로 종종 제공되었으며, 예를 들어 3/6 ("삼 및 육"으로 읽는)은 3 실링 및 육 펜스를 의미하고 분수 3/6에 전혀 관련되지 않습니다.

Mixed numbers

혼합된 숫자 시스템(mixed numeral) (혼합된 분수(mixed fraction) 또는 혼합된 숫자(mixed number)라고 역시 알려짐)은 비-영 정수와 (같은 부호를 가진) 적절한 분수의 합의 전통적인 표시입니다. 그것은 예를 들어 $2{\tfrac {3}{16}}$ 인치와 같이 주로 측정에서 사용됩니다. 과학적 측정은 혼합된 숫자가 아닌 거의 변함없이 십진 표기법을 사용합니다. 합은 적절한 "+"와 같은 명백한 연산자를 사용없이 암시됩니다. 예를 들어, 두 개의 전체 케이크와 다른 케이크의 3/4을 참조에서, 케이크의 정수 부분과 분수 부분을 나타내는 숫자 시스템은 명확한 표기법 $2+{\tfrac {3}{4}}$ 대신에 $2{\tfrac {3}{4}}$ 으로 서로 옆에 쓰입니다. 정수 더하기 부분의 임의의 그러한 합은 비-동류 양을 더하는 것(adding unlike quantities)의 규칙을 적용함으로써 부적절한 분수(improper fraction)로 변환될 수 있습니다.

이 전통은, 공식적으로, 대수에서 표기법과 충돌하며 여기서 인접한 인수는, 명시적 중위 연산자(infix operator)없이, 곱을 나타냅니다. 두 대수적 표현이 서로 옆에 쓰일 때, 곱셈의 연산은 이 일반적인 규칙에 의해 암시됩니다: $2x$ 는, 비록 $x$ 의 값이 분수일지라도, $2$ 와 ${\textstyle x}$ 의 곱을 항상 의미합니다. 표현 $2{\tfrac {b}{c}}$ , 예를 들어, 혼합된 숫자가 아닙니다; 대신에, 곱셈은 명시적으로 요구되며, 여기서 $2{\tfrac {b}{c}}=2\cdot {\tfrac {b}{c}}$ 입니다.

가독성을 높이기 위해, 곱셈은 때때로 명백하게 만들거나 괄호가 더합니다. 그래서, $2{\tfrac {b}{c}}$ 는 다음으로 쓸 수 있을 것입니다:

2\cdot {\tfrac {b}{c}},\quad

또는

\quad 2\times {\tfrac {b}{c}},\quad

또는

\quad 2\left({\tfrac {b}{c}}\right),\;\ldots

부적절한 분수는 다음으로 혼합된 숫자로 변환될 수 있습니다:

유클리드 나눗셈(Euclidean division) (나머지와 함께 나눗셈)을 사용하여, 분자를 분모로 나눕니다. 예제에서, ${\tfrac {11}{4}}$ , 11을 4로 나눕니다. 11 ÷ 4 = 2 나머지 3.
몫(quotient) (나머지 없이)은 혼합된 숫자의 정수 부분이 됩니다. 나머지는 분수 부분의 분자가 됩니다. 예제에서, 2는 정수 부분이고 3은 분수 부분의 분자입니다.
새로운 분모는 부적절한 분수의 분모와 같습니다. 예제에서, 그것은 4입니다. 따라서, ${\tfrac {11}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$ 입니다.

Historical notions

Egyptian fraction

이집트 분수(Egyptian fraction)는 구별되는 양의 단위 분수의 합, 예를 들어 ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}$ 입니다. 이 정의는 고대 이집트인들이 이 방식으로 ${\tfrac {1}{2}}$ , ${\tfrac {2}{3}}$ 및 ${\tfrac {3}{4}}$ 을 제외한 모든 분수를 표현했다는 사실에서 유래합니다. 모든 각 양의 유리수는 이집트 분수로 확장될 수 있습니다. 예를 들어, ${\tfrac {5}{7}}$ 는 ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}$ 로 쓸 수 있습니다. 임의의 양의 유리수는 무한하게 많은 방법에서 단위 분수의 합으로 쓸 수 있습니다. ${\tfrac {13}{17}}$ 을 쓰기 위한 두 가지 방법은 ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}$ 및 ${\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}$ 입니다.

'Complex' and 'Compound' fractions

'복잡 분수'(‘complex fraction’) 및 '합성 분수'(‘compound fraction’)의 개념은 둘 다 구식이고^[13] 요즘에는 잘 정의되지 않은 방식으로 사용되며, 부분적으로 서로 동의어로^[14] 또는 혼합된 숫자로 취합니다.^[15] 그들은 기술적인 용어로써 그 의미를 잃어버렸고 속성 "복잡한" 및 "합성"은 "부분으로 구성된"의 일상 생활 의미로 사용되는 경향이 있습니다.

복잡 분수

복소수를 포함한 분수와 혼동해서는 안됩니다

복잡 분수(complex fraction)에서, 분자 또는 분모 중에 하나, 또는 둘 다가 분수 또는 혼합된 숫자이며,^[16]^[17] 분수의 나눗셈에 해당합니다. 예를 들어, ${\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}$ 및 ${\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}$ 은 복잡 분수입니다. 복잡 분수를 단순 분수로 줄이기 위해, 가장-긴 분수 선분을 나눗셈을 나타내는 것으로 취급하십시오. 예를 들어:

{\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}

{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}=12{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {12\cdot 4+3}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{4}}\cdot {\tfrac {1}{26}}={\tfrac {51}{104}}

{\frac {\tfrac {3}{2}}{5}}={\tfrac {3}{2}}\times {\tfrac {1}{5}}={\tfrac {3}{10}}

{\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\times {\tfrac {3}{1}}=24.

만약, 복잡 분수에서, 어떤 분수 선분이 우선하는지 말할 수 있는 고유한 방법이 없으면, 이 표현은 모호성때문에 부적절하게 형성됩니다. 그래서 5/10/20/40은, 여러 가능한 해석때문에, 유효한 수학적 표현이 아닌데, 예를 들어, 다음 처럼 해석이 가능합니다:

5/(10/(20/40))={\frac {5}{10/{\tfrac {20}{40}}}}={\frac {1}{4}}\quad

또는

\quad (5/10)/(20/40)={\frac {\tfrac {5}{10}}{\tfrac {20}{40}}}=1

합성 분수

합성 분수(compound fraction)는 분수의 분수, 또는 그것의 단어와 연결된 분수의 임의의 개수이며,^[16]^[17] 분수의 곱셈에 해당합니다. 합성 분수를 단순 분수로 줄이기 위해, 단지 곱셈을 수행하십시오 (곱셈(multiplication)에 대한 섹션을 참조하십시오). 예를 들어, ${\tfrac {5}{7}}$ 의 ${\tfrac {3}{4}}$ 는 합성 분수이며, ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}$ 에 해당합니다. 용어 합성 분수 및 복잡 분수는 밀접하게 관련되고 때때로 하나가 다른 하나에 대해 동의어로 사용됩니다. (예를 들어, 합성 분수 ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}$ 은 복잡 분수 ${\tfrac {3/4}{7/5}}$ 와 동등합니다.)

Arithmetic with fractions

정수와 마찬가지로, 분수는 교환(commutative), 결합(associative), 및 분배(distributive) 법칙, 및 영에 의한 나눗셈(division by zero)에 반대하는 규칙을 따릅니다.

Equivalent fractions

분수의 분자와 분모에 같은 (비-영) 숫자를 곱하면 원래 분수에 동등한 분수가 결과로써 생깁니다. 이것은 참인데 왜냐하면 임의의 비-영 숫자 $n$ 에 대해, 분수 ${\tfrac {n}{n}}=1$ 이기 때문입니다. 그러므로, ${\tfrac {n}{n}}$ 로 곱하면 일을 곱하는 것과 동등하고, 일에 곱해진 임의의 숫자는 원래 숫자와 같은 값을 가집니다. 예제의 방법에 의해, 분수 ${\tfrac {1}{2}}$ 로 시작하십시오. 분자와 분모에 모두 2를 곱했을 때, 결과는 ${\tfrac {2}{4}}$ 이며, 이것은 ${\tfrac {1}{2}}$ 으로 같은 값 (0.5)를 가집니다. 이것을 시각적으로 보여주기 위해, 케이크를 4조각으로 자른다고 상상해 보십시오; 두 조각 ( ${\tfrac {2}{4}}$ )은 함께 절반 케이크 ( ${\tfrac {1}{2}}$ )를 만듭니다.

Simplifying (Reducing) fractions

분수의 분자와 분모를 같은 비-영 숫자로 나누면 같은 분수를 산출할 것입니다. 만약 분수의 분자와 분모가 모두 1보다 큰 (인수라고 부르는) 숫자로 둘 다 나눌 수 있으면, 분수는 더 작은 분자 및 더 작은 분모를 가진 같은 분수로 감소될 수 있습니다. 이것을 행하기 위해, 최대 공통 약수(greatest common factor)가 식별되고, 분자와 분모 둘 다가 이 인수로 나뉩니다. 예를 들어, 만약 분수 ${\tfrac {a}{b}}$ 의 분자와 분모 둘 다가 $c$ 로 나뉘면, 그들은 $a=cd$ 및 $b=ce$ 로 쓸 수 있으므로, 분수는 ${\tfrac {cd}{ce}}$ 이 되며, 이것은 분자와 분모를 $c$ 로 나눔으로써 감소된 분수 ${\tfrac {d}{e}}$ 를 제공하기 위해 감소될 수 있습니다.

만약 분자와 분모가 1보다 더 큰 임의의 인수를 공유하지 않으면, 분수는 기약, 가장-낮은 항, 가장-간단한 항이라고 말합니다. 예를 들어, ${\tfrac {3}{9}}$ 은 가장-낮은 항이 아닌데 왜냐하면 3과 9 둘 다는 3으로 정확하게 나누어질 수 있기 때문입니다. 대조적으로, ${\tfrac {3}{8}}$ 는 가장-낮은 항입니다–3과 8 둘 다에 균등하게 들어가는 유일한 양의 정수는 1입니다.

이들 규칙을 사용하여, 우리는 ${\tfrac {5}{10}}$ = ${\tfrac {1}{2}}$ = ${\tfrac {10}{20}}$ = ${\tfrac {50}{100}}$ 임을 보일 수 있습니다.

또 다른 예제로, 63과 462의 최대 공통 약수는 21이므로, 분수 ${\tfrac {63}{462}}$ 은 분자와 분모를 21로 나눔으로써 가장-낮은 항으로 감소될 수 있습니다.

{\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\div 21}{462\div 21}}={\tfrac {3}{22}}

유클리드 알고리듬(Euclidean algorithm)은 임의의 두 양의 정수의 최대 공통 약수를 구하는 것에 대해 하나의 방법을 제공합니다.

Comparing fractions

같은 양의 분모를 가진 분수를 비교하면 분자를 비교함으로써 같은 결과를 산출합니다:

{\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}

인데 왜냐하면 3 > 2이고, 같은 분모

4

는 양수입니다.

만약 같은 분모가 음수이면, 분자를 비교한 반대 결과가 분수에 대해 유지됩니다:

{\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}

because

{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}

and

-3<-2

.

만약 두 양수의 분수가 같은 분자를 가지면, 더 작은 분모를 가진 분수가 더 큰 숫자입니다. 전체가 같은 조각으로 나뉠 때, 만약 더 적은 같은 조각이 전체를 만드는 데 요구되면, 각 조각은 반드시 더 커야 합니다. 두 양의 분수가 같은 분자를 가질 때, 그들은 같은 숫자의 부분을 나타내지만, 더 작은 분모를 가진 분수에서, 부분은 더 큰 것입니다.

다른 분자 및 분모를 가진 분수를 비교하는 한 가지 방법은 공통 분모를 찾는 것입니다. ${\tfrac {a}{b}}$ 및 ${\tfrac {c}{d}}$ 을 비교하기 위해, 이들은 ${\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}$ 및 ${\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}$ 으로 변환됩니다 (여기서 점은 곱셈을 의미하고 ×에 대한 대안적인 기호입니다). 그런-다음 bd는 공통 분모이고 분자 ad와 bc는 비교될 수 있습니다. 이때, 분수를 비교하기 위해 공통 분모의 값을 결정할 필요가 없습니다 – 우리는 bd를 평가하는 것없이, ad와 bc를 바로 비교할 수 있습니다, 예를 들어, ${\tfrac {2}{3}}$ ? ${\tfrac {1}{2}}$ 를 비교하면 ${\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}$ 를 제공합니다.

보다 힘든 질문 ${\tfrac {5}{18}}$ ? ${\tfrac {4}{17}}$ 에 대해, 공통 분모를 얻기 위해, 각 분수의 분모로 각 분수의 위와 아래를 곱하여, ${\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ? ${\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}$ 를 산출합니다. 이때, $18\times 17$ 를 계산할 필요는 없습니다 – 오직 분자가 비교될 필요가 있습니다. 5×17 (= 85)은 4×18 (= 72)보다 더 크므로, 비교의 결과는 ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$ 입니다.

음의 분수를 포함하는 모든 각 음수는 영보다 작고, 양의 분수를 포함하는 모든 각 양수는 영보다 크기 때문에, 그것은 임의의 음의 분수는 임의의 양의 분수보다 작음을 따릅니다. 이것은, 위의 규칙과 함께, 모든 가능한 분수를 비교하는 것을 허용합니다.

Addition

덧셈의 첫 번째 규칙은 오직 같은 양; 예를 들어 다양한 사등분의 양들이 더해질 수 있다는 것입니다. 사등분에 삼등분을 더하는 것과 같은, 양이 같지 않으면, 아래에 묘사된 것처럼 먼저 같은 양으로 변환해야 합니다: 두 사등분을 포함하는 주머니, 및 세 사등분을 포함하는 또 다른 주머니를 상상해 보십시오; 전체적으로, 다섯 사등분이 있습니다. 네 사등분은 일 (달러)과 동등하므로, 이것은 다음으로 나타낼 수 있습니다:

{\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}

.

Adding unlike quantities

다른 양 (예를 들어, 사등분 및 삼등분)을 포함하는 분수를 더하기 위해, 모두를 같은 양으로 변환해야 합니다. 선택된 유형의 분수를 변환하는 것이 쉽게 행해질 수 있는데; 각 분수의 두 분모 (아래 숫자)를 함께 곱하는 단순한 것입니다. 정수의 경우에서, 보이지-않는 분모(invisible denominator) $1$ 을 적용하십시오.

사등분을 삼등분에 더하기 위해, 분모의 유형 둘 다는 십이등분으로 변환됩니다. 따라서:

{\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.

다음 두 양을 더하는 것을 생각해 보십시오:

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}

먼저, ${\tfrac {3}{5}}$ 를 분자와 분모 둘 다에 삼을 곱함으로써 십오등분으로 변환하십시오: ${\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}$ . ${\tfrac {3}{3}}$ 은 1과 같으므로, ${\tfrac {3}{3}}$ 으로 곱셈은 분수의 값을 변경하지 않습니다.

다음으로, ${\tfrac {2}{3}}$ 를 분자와 분모 둘 다에 오를 곱함으로써 십오등분으로 변환하십시오: ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}$ .

이제 그것은 다음으로 볼 수 있습니다:

{\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}

는 다음과 동등합니다:

{\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}

이 방법은 다음과 같이 대수적으로 표현될 수 있습니다:

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}

이 대수적 방법은 항상 작동하며, 그것에 의하여 단순 분수의 합은 항상 다시 단수 분수임을 보장합니다. 어쨌든, 만약 단일 분모가 공통 인수를 포함하면, 이들의 곱보다 더 작은 분모가 사용될 수 있습니다. 예를 들어, ${\tfrac {3}{4}}$ 와 ${\tfrac {5}{6}}$ 를 더할 때, 단일 분모는 공통 인수 $2$ 를 가지고, 그러므로 분모 24 (4 × 6)대신에, 절반의 분모 12가 사용될 수 있으며, 결과에서 분모를 감소하는 것뿐만 아니라, 분자에서 인수를 감소합니다.

{\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}

가장-작은 가능한 분모는 단일 분모의 최소 공통 배수(least common multiple)로 제공되며, 이것은 단일 분모의 모든 공통 인수로 암기한 배수를 나눈 결과입니다. 이것은 최소 공통 분모로 불립니다.

Subtraction

분수를 빼는 것에 대해 과정은, 본질에서, 그들을 더하는 것의 과정과 같습니다: 공통 분모를 찾고, 각 분수를 선택된 공통 분모를 가진 동등한 분수로 바꿉니다. 결과 분수는 분모를 가질 것이고, 그의 분자는 원래 분수의 분자를 뺀 결과가 될 것입니다. 예를 들어,

{\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}

Multiplication

Multiplying a fraction by another fraction

분수를 곱하기 위해, 분자를 곱하고 분모를 곱하십시오. 따라서:

{\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{12}}

그 과정을 설명하기 위해, 사등분의 삼등분을 생각해 보십시오. 케이크의 예제를 사용하여, 만약 같은 크기의 세 작은 조각이 하나의 사등분을 구성하고, 네 사등분은 전체를 구성하면, 이들 작은, 같은 조각 12개가 전체를 구성합니다. 그러므로, 사등분의 삼등분은 십이등분입니다. 이제 분자를 생각해 보십시오. 첫 번째 분수 삼 분의 이는 삼분의 일의 두 배입니다. 사등분의 삼등분은 십이등분이므로, 사등분의 삼 분의 이는 십이 분의 이입니다. 두 번째 분수, 사 분의 삼은 사등분의 세 배이므로, 사 분의 삼의 삼 분의 이는 사등분의 삼 분의 이의 세 배입니다. 따라서 삼 분의 이 곱하기 사 분의 삼은 십이 분의 육입니다.

분수를 곱하는 것에 대해 지름길은 "취소(cancellation:약분)"로 불립니다. 효과적으로, 정답은 곱셈 동안 가장-낮은 항으로 줄어듭니다. 예를 들면:

{\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\tfrac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\tfrac {1}{1}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}

이는 왼쪽 분수의 분자와 오른쪽 분모의 둘 다에서 공통 인수(factor)이고 둘 다를 나눕니다. 삼은 왼쪽 분모와 오른쪽 분자의 공통 인수이고 둘 다를 나눕니다.

Multiplying a fraction by a whole number

정수는 자체를 1로 나눈 것으로 다시-쓸 수 있으므로, 정규 분수 곱셈 규칙은 여전히 적용할 수 있습니다.

6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}

이 방법은 작동하는데 왜냐하면 분수 6/1은 여섯 같은 부분, 그것의 각각 하나는 전체이기 때문입니다.

Multiplying mixed numbers

혼합된 숫자를 곱할 때, 그것은 혼합된 숫자를 부적절한 분수로 변환하는 것이 바람직한 것으로 여겨집니다.^{[citation needed]} 예를 들어:

3\times 2{\tfrac {3}{4}}=3\times \left({\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}\right)=3\times {\tfrac {11}{4}}={\tfrac {33}{4}}=8{\tfrac {1}{4}}

달리 말해서, $2{\tfrac {3}{4}}$ 는 ${\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}$ 와 같으며, 전체에서 11 사등분을 만들고 (왜냐하면 2 케이크, 각각이 사등분으로 나뉘어 총 8 사등분을 만들기 때문입니다) 33 사등분은 $8{\tfrac {1}{4}}$ 인데, 왜냐하면 각각은 사등분으로 구성되는, 8 케이크는 전체에서 32 사등분이기 때문입니다.

Division

분수를 정수로 나누기 위해, 여러분은, 만약 그것이 분자에 균등하게 들어가면, 분자를 그 숫자로 나누거나, 분모에 그 숫자를 곱할 수 있습니다. 예를 들어, ${\tfrac {10}{3}}\div 5$ 는 ${\tfrac {2}{3}}$ 과 같고 역시 ${\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}$ 와 같으며, 이것은 ${\tfrac {2}{3}}$ 로 줄어듭니다. 숫자를 분수로 나누기 위해, 해당 숫자에 해당 분수의 역수(reciprocal)를 곱하십시오. 따라서, ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$ 입니다.

Converting between decimals and fractions

공통 분수를 십진수로 변경하기 위해, 분모로 분자의 십진수 표현의 긴 나눗셈을 행하고 (이것은 "분모를 분자로 나눕니다"로 관용적으로 역시 표현합니다), 답을 원하는 정확도로 반올림하십시오. 예를 들어, ¼을 십진수로 변경하기 위해, $1.00$ 을 $4$ 로 나누어서 $0.25$ 를 얻으십시오. ⅓를 십진수로 변경하기 위해, $1.000...$ 을 $3$ 으로 나누고, 원하는 정확도가 얻어질 때, 예를 들어, $4$ 십진수에서, $0.3333$ 과 함께 멈추십시오. 분수 ¼은 두 십진 자릿수로 정확하게 쓸 수 있지만, 분수 ⅓는 유한한 자릿수와 함께 십진수로 정확하게 쓸 수 없습니다. 십진수를 분수로 변경하기 위해, 분모에 $1$ 뒤에 십진 점의 오른쪽에 자릿수가 있는 것만큼 영을 쓰고, 분자에 원래 십진수의 모든 숫자를 쓰며, 단지 십진 점을 생략합니다. 따라서 $12.3456={\tfrac {123456}{10000}}$ 입니다.

Converting repeating decimals to fractions

십진수는, 계산을 수행할 때 틀림없이 더 유용하지만, 때때로 공통 분수가 가지는 정밀도가 부족합니다. 때때로 무한하게 반복하는 십진수(repeating decimal)는 같은 정밀도에 도달하기 위해 요구됩니다. 따라서, 그것은 반복되는 십진수를 분수로 변환하는 것이 종종 유용합니다.

반복하는 십진수를 나타내기 위한 선호되는^{[by whom?]} 방법은 해당 반복되는 자릿수 위에 (괄선(vinculum)으로 알려진) 막대를 배치하는 것입니다. 예를 들어, 0.789 = 0.789789789... 반복 패턴은 십진 점 바로 다음에 시작하는 반복 패턴에 대해, 숫자와 같은 개수의 아홉들로 패턴의 간단한 나눗셈, 그것은 충분할 것입니다. 예를 들어:

0.5 = 5/9

0.62 = 62/99

0.264 = 264/999

0.6291 = 6291/9999

패턴의 앞에 나서는 선행하는 영(leading zero) 경우에서, 아홉들은 같은 숫자의 후행하는 영(trailing zero)에 의해 접미사로 붙게 됩니다:

0.05 = 5/90

0.000392 = 392/999000

0.0012 = 12/9900

패턴의 앞에 나서는 십진수의 비-반복하는 집합 (0.1523987와 같은) 경우에서, 우리는 그것을, 각각, 비-반복하는 부분과 빈복하는 부분의 합으로 쓸 수 있습니다:

0.1523 + 0.0000987

그런-다음, 부분 둘 다를 분수로 변환하고, 위에 설명된 방법을 사용하여 그들을 더하십시오:

1523 / 10000 + 987 / 9990000 = 1522464 / 9990000

대안적으로, 대수는, 아래처럼, 사용될 수 있습니다:

x를 반복하는 십진수로 놓습니다:
x = 0.1523987
양쪽 변에 십진수의 반복하는 부분 바로 앞에 십진 점이 이동하도록 충분하게 큰 10의 거듭제곱 (이 경우에서 10⁴)을 곱하십시오:
10,000x = 1,523.987
양쪽 변에 해당 반복되는 자릿수와 같은 만큼의 10의 거듭제곱 (이 경우에서 10³)을 곱하십시오:
10,000,000x = 1,523,987.987
두 방정식을 변변끼리 서로 빼십시오 (만약 a = b 및 c = d이면 a − c = b − d입니다):
10,000,000x − 10,000x = 1,523,987.987 − 1,523.987
반복하는 십진수를 지우기 위해 뺄셈 연산을 계속하십시오:
9,990,000x = 1,523,987 − 1,523

9,990,000x = 1,522,464
x를 분수로 나타내기 위해 양쪽 변을 9,990,000으로 나누십시오:
x = 1522464 / 9990000

Fractions in abstract mathematics

실용적인 중요성 외에도, 분수는 수학자들에 의해 연구되는데, 수학자들은 위에서 주어진 분수에 대해 규칙이 일관되고 신뢰할 수 있는지 확인합니다. 수학자들은 분수를 정수(integer) $a$ 와 $b\neq 0$ 의 순서 쌍 $(a,b)$ 으로 정의하고, 그것에 대해 연산 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication) 및 나눗셈(division)은 다음으로 정의됩니다:^[18]

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,

(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,

(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)

(a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)

이들 정의는 위에 제공된 정의와 모든 각 경우에서 일치합니다; 오직 표기법이 다릅니다. 대안적으로, 연산으로 뺄셈과 나눗셈을 정의하는 대신, 덧셈과 곱셈에 관한 "역" 분수를 다음으로 정의될 수 있을 것입니다:

{\begin{array}{llrrl}&-(a,b)&=&(-a,b)&\quad {\text{additive inverse fractions,}}\\&&&&\quad {\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\&\;\;\ (a,b)^{-1}&=&(b,a)&\quad {\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&&\quad {\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{array}}

게다가, 다음으로 지정된, 관계(relation)

(a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,

는 분수의 동치 관계(equivalence relation)입니다. 하나의 동치 클래스로부터 각 분수는 전체 클래스에 대해 나타내는 것으로 여길 수 있고, 각 전체 클래스는 하나의 추상 분수로 여길 수 있을 것입니다. 이 동치는 위에서 정의된 연산에 의해 보존되며, 즉, 분수에서 연산한 것의 결과는 그들의 동치 클래스로부터 대표의 선택과 독립입니다. 공식적으로, 분수의 덧셈에 대해

(a,b)\sim (a',b')\quad

및

\quad (c,d)\sim (c',d')\quad

은 다음을 암시합니다:

((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))

및 다른 연산에 대해 마찬가지입니다.

정수의 분수에 대해, $(a,b)$ 소수를 가진 분수는 그들의 동등한 분수에 대해 고유하게 결정된 대표로 종종 취해지며, 이것은 같은 유리수가 되는 것으로 여겨집니다. 이 방법으로 정수의 분수는 유리수의 필드를 구성합니다.

보다 일반적으로, a와 b는 임의의 정수 도메인(integral domain) R의 원소일 수 있으며, 이 경우에서 분수는 R의 분수의 필드(field of fractions)의 원소입니다. 예를 들어, 일부 정수 도메인 D로부터 계수를 갖는, 하나의 불확정에서 다항식(polynomial)은, 그들 자체로 정수 도메인이며, 그것을 P라고 부릅니다. 그래서 P의 a와 b 원소에 대해, 생성된 분수의 필드는 유리 분수(rational fraction)의 필드입니다 (유리 함수(rational function)의 필드로 역시 알려져 있습니다).

Algebraic fractions

대수적 분수는 두 대수적 표현(algebraic expression)의 인식된 몫(quotient)입니다. 정수의 분수와 마찬가지로, 대수적 분수의 분모는 영이 될 수 없습니다. 대수적 분수의 두 예제는 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 및 ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 입니다. 대수적 분수는 산술 분수와 같은 필드 속성(field properties)에 영향을 받습니다.

만약 분자와 분모가, ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 에서 처럼, 다항식(polynomial)이면, 대수적 분수는 유리 분수(rational fraction) (또는 유리 표현(rational expression))으로 불립니다. 무리 분수(irrational fraction)는 유리가 아닌 분수이며, 예를 들어, 그것들은, ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 에서 처럼, 분수 지수 또는 제곱근 아래의 변수를 포함합니다.

대수적 분수를 표현하기 위해 사용된 용어는 보통 분수에 대해 사용된 그것과 비슷합니다. 예를 들어, 대수적 분수는, 만약 분자와 분모에 대한 오직 공통 인수가 1 및 −1이면, 가장-낮은 항입니다. 분자 또는 분모, 또는 둘 다가 ${\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}$ 와 같은 분수를 포함하는 대수적 분수는 복잡 분수(complex fraction)로 불립니다.

유리수의 필드는 정수의 분수의 필드(field of fractions)이며, 반면에 정수 자체는 필드가 아니지만 오히려 정수 도메인(integral domain)입니다. 마찬가지로, 유리 표현(rational expressions)은 다항식(polynomial)의 분수의 필드입니다. 다항식의 계수(coefficient)가 (예를 들어, 정수, 실수(real numbers), 복소수(complex numbers), ...) 나오는 정수 도메인에 의존하는, 다항식의 다른 정수 도메인이 있습니다. 실수 계수, $\textstyle {\sqrt {2}}/2$ 와 같은 제곱근 표현(radical expression)을 갖는 다항식에 의해 생성된 분수의 필드를 고려하면, 초월적 표현 ${\textstyle \pi /2}$ 에서 처럼, 유리 분수인데, 왜냐하면 ${\sqrt {2}},\pi$ 및 $2$ 의 모두는 실수에 걸쳐 (상수) 다항식이기 때문입니다. 이들 같은 표현은, 어쨌든, 정수 계수를 갖는 다항식에 의해 생성된 분수의 필드의 원소로 여겨지지 않습니다. 이 특정 필드는 단지 위의 세 다항식의 $2$ 또는 분수로 $1/2$ 을 포함하지만, 제곱근 또는 초월적인 표현은 포함하지 않습니다.

용어 부분 분수(partial fraction)는 유리 표현을 합으로 분해할 때 사용됩니다. 목표는 유리 표현을 더 적은 차수의 분모를 가진 다른 유리 표현의 합으로 작성하는 것입니다. 예를 들어, 유리 표현 ${\frac {2x}{x^{2}-1}}$ 은 두 분수의 합: ${\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}$ 으로 다시-쓸 수 있습니다. 이것은 적분 및 미분 방정식과 같은 많은 영역에서 유용합니다.

Radical expressions

분수는 분자 및/또는 분모에서 제곱근(radicals)을 역시 포함할 수 있을 것입니다. 만약 분모가 제곱근을 포함하면, 그것은 특히 분수를 또 다른 분수에 더하거나 비교하는 것과 같은 추가적인 연산이 수행되어야 하면 그것을 유리화(rationalize)하는 것이 도움이 될 수 있습니다 (제곱근 표현의 단순화된 형식을 비교하십시오). 그것은 역시 만약 나눗셈이 수동으로 행해져야 하면, 보다 편리합니다. 분모가 단항(monomial) 제곱근이면, 그것은 분수의 위와 아래에 분모를 곱함으로써 유리화될 수 있습니다:

{\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}

이항(binomial) 분모의 유리화의 과정은 분모가 유리수가 되도록 분수의 위와 아래에 분모의 켤레(conjugate)를 곱하는 것을 포함합니다. 예를 들어:

{\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}

{\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}

위의 예제에서 처럼, 비록 이 과정이 무리수인 분자를 결과에 포함할지라도, 과정은 분모에서 처리해야 하는 무리수의 숫자를 줄임으로써 후속 조작을 여전히 용이하게 할 수 있을 것입니다.

Typographical variations

컴퓨터 디스플레이 및 타이포그래피(typography)에서, 단순 분수는 때때로 하나의 문자, 예를 들어, ½ (절반)로 인쇄됩니다. 유니코드(Unicode)에서 이것을 행하는 정보에 대해 숫자 형식(Number Forms)에 대한 기사를 참조하십시오.

과학적 출판은 사용에 대한 지침과 함께 분수를 설정하는 네 가지 방법을 구분합니다:^[19]

특수 분수(special fractions): 텍스트에서 다른 문자와 대략적으로 높이와 너비가 거의 같은, 기울어진 막대를 가진 단일 문자로 표시되는 분수. 일반적으로 ½, ⅓, ⅔, ¼ 및 ¾과 같은 단순 분수에 사용됩니다. 숫자가 더 작으므로, 가독성은, 특히 작은-크기 글꼴에 대해 문제가 될 수 있습니다. 이것들은 현대 수학적 표기법에서 사용되지 않지만, 다른 문맥에서 사용됩니다.
상자 분수(case fractions): 특수 분수와 비슷하게, 단일 인쇄 문자로 렌더링되지만, 수평 막대와 함께, 따라서 그들을 똑바로 만듭니다. 예제는 ${\tfrac {1}{2}}$ 이지만, 다른 문자와 같은 높이로 렌더링됩니다. 일부 출처는, 만약, 막대의 방향에 관계없이, 오직 하나의 인쇄 공간을 취하면, 분수의 모든 렌더링을 상자 분수로 포함합니다.^[20]
실링(shilling) 또는 사선 분수(solidus fractions): 1/2, 이 표기법은, 이 실링과 육 펜스를 의미하는, 반 크라운에 대해 2/6에서 처럼, 이전-십진 영국 통화 (£sd)에 대해 사용되었기 때문에 그렇게 불립니다. 반면에 표기법 "이 실링 및 육 펜스"는 분수를 나타내지 않지만, 앞의 슬래시는 분수, 특히 고르지-않은 선을 피하기 위해, (표시되지 않고) 산문을 가진 인라인 분수에 대해 지금 사용됩니다. 그것은 역시 가독성을 높이기 위해 분수 ((복잡 분수(complex fractions))) 또는 지수 안에 있는 분수에 대해 사용됩니다. 조각 분수(piece fractions)로 역시 알려진,^[21] 이 방법으로 쓰인 분수는 모두 하나의 인쇄 줄에 쓰이지만, 3개 이상의 인쇄 공간을 차지합니다.
키-큰 분수(built-up fractions): ${\frac {1}{2}}$ . 이 표기법은 보통 텍스트의 두 줄 이상을 사용하고 다른 텍스트 안에 포함될 때 결과로 줄 간격에서 변화를 가져옵니다. 크고 읽기 쉬운 반면에, 이들은 특히 단순 분수 또는 복잡 분수 안에서, 장애가 될 수 있습니다.

History

가장 초기의 분수는 정수(integer)의 역수(reciprocals): 둘 중 하나, 셋 중 하나, 넷 중 하나, 기타 등등을 나타내는 고대의 기호였습니다.^[22] 이집트인(Egyptians)은 이집트 분수(Egyptian fraction) (c. 1000 BC)를 사용했습니다. 약 4000년 전에, 이집트인들은 약간 다른 방법을 사용하여 분수로 나누었습니다. 그들은 단위 분수(unit fraction)와 함께 최소 공통 배수를 사용했습니다. 그들의 방법은 현대의 방법과 같은 답을 제공합니다.^[23] 이집트인은 악흐밈 나무 태블릿(Akhmim Wooden Tablet)에서 이원적 분수(dyadic fraction) 및 여러 린드 수학적 파피루스(Rhind Mathematical Papyrus) 문제에 대해 다른 표기법을 역시 사용했습니다.

그리스인(Greeks)은 단위 분수와 (나중에) 연속된 분수를 사용했습니다. 그리스(Greek) 철학자(philosopher) 피타고라스(Pythagoras) (c. 530 BC)의 추종자들(Followers)은 이의 제곱근은 정수의 분수로 표현될 수 없다는 것을 발견했습니다. (이것은 비록 메타폰툼(Metapontum)의 히파주스(Hippasus)에 아마도 틀리게 속한 것일지라도 공통적이며, 그는 이 사실을 밝힘으로써 사형되었다고 말합니다.) 150 BC에서, 인도(India)의 자이나교(Jain) 수학자들은 "Sthananga Sutra"를 썼으며, 그것은 숫자의 이론, 산술적 연산, 및 분수를 가진 연산에 대한 연구를 포함합니다.

bhinnarasi로 알려진 분수의 현대 표현은 아리아바타(Aryabhatta) (c. AD 500),^{[citation needed]} 브라마굽타(Brahmagupta) (c. 628), 및 바스카라(Bhaskara) (c. 1150)의 연구에서 인도에서 시작된 것으로 보입니다.^[24] 그들의 연구는 분모 (cheda) 위에 분자 (Sanskrit: amsa)를 놓음으로써 분수를 형성하지만, 그들 사이에 막대가 없습니다.^[24] 산스크리트 문헌(Sanskrit literature)에서, 분수는 항상 정수의 덧셈 또는 뺄셈으로 표현되었습니다.^{[citation needed]} 정수는 한 줄에 작성되었고 분수는 다음 줄에 두 부분으로 작성되었습니다. 만약 분수는 작은 원 ⟨०⟩ 또는 십자 ⟨+⟩로 표시되면, 그것은 정수에서 뺍니다; 만약 그러한 표시가 나타나지 않으면, 그것은 더해진 것으로 이해됩니다. 예를 들어, 바스카라 1세(Bhaskara I)는 다음으로 씁니다:^[25]

६ १ २

१ १ १_०

४ ५ ९

이것은 다음과 동등합니다:

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

그리고 표현 표기법에서 61/4, 11/5, 및 2−1/9 (즉, 18/9)로 쓰일 것입니다.

수평 분수 막대(fraction bar)는, 이슬람 상속 법학을 전문으로 하는, 모로코(Morocco), 페즈(Fez) 출신의 이슬람 수학자(Muslim mathematician) 알-헤사르(Al-Hassār) (fl. 1200)의 연구에서 처음으로 입증되었습니다.^[24] 그의 토론에서, 그는 "... 예를 들어, 만약 여러분이 오분의 삼과 삼분의 일을 쓰라는 지시를 받으면, 따라서 ${\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}$ 을 적습니다."라고 썼습니다.^[26] 정수 앞에 주어진 분수와 갖는^[24] 분수 표기법은 13세기 레오나르도 피보나치(Leonardo Fibonacci)의 연구에서 곧 나타납니다.^[27]

십진 분수(decimal fractions)의 기원에 대한 토론에서, 더크 얀 스트라어크(Dirk Jan Struik) 다음과 같이 말합니다:^[28]

"공통 계산의 관행으로 십진 분수의 도입은, 플랑드르 수학자 시몬 스테빈(Simon Stevin) (1548–1620)에 의해 번역된 프랑스어 번역본 La Disme, 그런-다음 북쪽 네덜란드(Netherlands)에 정착된, 1585년에 레이덴(Leyden)에서 출판된, 플랑드르(Flemish) 팜플렛 De Thiende으로 거슬러 올라갈 수 있습니다. 십진 분수는 스테빈 이전 수 세기 동안 중국(Chinese)에서 사용되었고 페르시아 천문학자 알-캐시(Al-Kāshī)는 그의 Key to arithmetic (사마르칸트(Samarkand), 15세기 초)에서 십진 및 육십진 분수 둘 다를 사용했다는 것은 사실입니다."^[29]

페르시아(Persian) 수학자 잠쉬드 알-캐시(Jamshīd al-Kāshī)는 15세기에 스스로 십진 분수를 발견했다고 주장했지만, J. Lennart Berggren은 그가 실수한 것으로 지적했는데, 왜냐하면 십진 분수는 10세기 초에 바그다드(Baghdad) 수학자 아불-하산 알-오쿠어디시(Abu'l-Hasan al-Uqlidisi)에 의해 그 이전에 5세기 동안 사용되었기 때문입니다.^[30]^{[n 2]}

In formal education

Pedagogical tools

초등학교(primary school)에서, 분수는 퀴즈네어 막대(Cuisenaire rods), 분수 막대(Fraction Bars), 분수 스트립, 분수 원, 종이 (접기 또는 절단 용), 패턴 블록(pattern block), 파이-모양 조각, 플라스틱 사각형, 격자 종이, 점 종이(dot paper), 지오보드(geoboard), 카운터 및 컴퓨터 소프트웨어로 시연되어 왔습니다.

Documents for teachers

미국에서 여러 주는 수학 교육에 대해 Common Core State Standards Initiative의 지침에서 학습 궤적을 채택해 왔습니다. 분수와 분수를 가진 연산의 학습을 순서화하는 것 외에도, 그 문서는 분수에 대한 다음 정의를 제공합니다: "형식 $a$ ⁄ $b$ 로 표현 가능한 숫자는 분수이며 여기서 $a$ 는 정수이고 $b$ 는 양의 정수입니다. (이들 표준에서 단어 분수는 항상 비-음의 숫자를 참조합니다."^[32] 그 문서 자체는 역시 음의 분수를 참조합니다.

Notes

^ Some typographers such as Bringhurst mistakenly distinguish the slash ⟨/⟩ as the virgule and the fraction slash ⟨⁄⟩ as the solidus,^[4] although in fact both are synonyms for the standard slash.^[5]^[6]
^ While there is some disagreement among history of mathematics scholars as to the primacy of al-Uqlidisi's contribution, there is no question as to his major contribution to the concept of decimal fractions.^[31]

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[33] While there is some disagreement among history of mathematics scholars as to the primacy of al-Uqlidisi's contribution, there is no question as to his major contribution to the concept of decimal fractions.^[31]

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