Antipodal point

Original article: w:Antipodal point

For the geographical antipodal point of a place on Earth, see antipodes.

Antipodal points on a circle are 180 degrees apart.

수학(mathematics)에서, 구(sphere)의 정반대 점(antipodal points)은 서로 지름-방향으로 반대편의 점입니다 (그러한 정의의 특정 특질은 한 점에서 다른 점으로 그린 직선이 구의 중심을 통과하여 참된 지름을 형성한다는 것입니다).

이 용어는 원(circle) 또는 임의의 n-구(n-sphere)의 반대편 점에 적용됩니다.

정반대 점은 때때로 antipode라고 불리며, 진정한 단어 단수는 antipus이기 때문에 "반대쪽 발"을 의미하는 그리스 외래어 antipodes의 역-형성(back-formation)입니다.

Theory

수학(mathematics)에서, 정반대 점(antipodal points)의 개념은 임의의 차원의 구(spheres)로 일반화됩니다: 구 위의 두 점은 만약 그것들이 중심을 통해 반대편에 있으면 정반대 점입니다; 예를 들어, 중심을 원점(origin)으로 취하면, 그것들은 관련된 벡터 v와 −v를 갖는 점입니다. 원(circle) 위에, 그러한 점은 역시 지름-방향으로 반대(diametrically opposite)라고 불립니다. 다시 말해서, 중심을 통과하는 각 직선은 중심에서 나오는 각 반직선(ray)에 대해 하나씩 두 지점에서 원과 교차하고, 이들 두 점은 정반대 점입니다.

보르수크–울람 정리(Borsuk–Ulam theorem)는 그러한 점의 쌍을 다루는 대수적 토폴로지(algebraic topology)의 결과입니다. 그것은 Sⁿ에서 Rⁿ으로의 임의의 연속 함수(continuous function)는 Sⁿ에서 정반대 점의 일부 쌍을 Rⁿ에서 같은 점으로 매핑한다고 말합니다. 여기서, Sⁿ은 (n + 1)-차원 공간에서 n-차원 구를 나타냅니다 (따라서 "보통"의 구는 S²이고 원은 S¹입니다).

정반대 맵(antipodal map) A : Sⁿ → Sⁿ은, A(x) = −x에 의해 정의되며, 구 위의 모든 각 점을 정반대 점으로 보냅니다. 그것은 n이 홀수이면, 항등 맵(identity map)와 호모토피적(homotopic)이고, 그 차수(degree)는 (−1)ⁿ⁺¹입니다.

만약 우리가 정반대 점을 식별된 것으로 고려하기를 원하면, 우리는 투영 공간(projective space)으로 이동합니다 (양자 역학(quantum mechanics)에 적용되는 이 아이디어에 대해, 투영 힐베르트 공간(projective Hilbert space)을 참조하십시오).

Antipodal pair of points on a convex polygon

볼록 다각형의 정반대 쌍은 볼록 다각형의 임의의 다른 직선과 교차 없이 정반대에 포함된 두 점에 접하는 2개의 무한 평행 직선을 허용하는 2개의 점의 쌍입니다.

External links

• "Antipodes", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "antipodal". PlanetMath.