Apollonius's theorem

기하학(geometry)에서, 아폴로니우스의 정리는 삼각형(triangle)의 중선(median)의 길이를 그 변의 길이와 관련시키는 정리(theorem)입니다. 그것은 "임의의 삼각형의 임의의 두 변의 제곱의 합은 세 번째 변의 절반에 대한 제곱의 두 배 더하기, 세 번째 변을 양분하는 중선에 대한 제곱의 두 배와 같습니다"라고 명시합니다.

특히, 임의의 삼각형 $ABC$ 에서, 만약 $AD$ 가 중선이면,

|AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|AD|^{2}+|BD|^{2}).

그것은 스튜어트의 정리(Stewart's theorem)의 특별한 경우(special case)입니다. $| AB | = | AC |$ 인 이등변 삼각형(isosceles triangle)에 대해, 중선 $AD$ 는 $BC$ 에 수직이고 정리는 삼각형 $ADB$ (또는 삼각형 $ADC$ )에 대해 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)로 축소됩니다. 평행사변형(parallelogram)의 대각선은 서로를 이등분한다는 사실로부터, 정리는 평행사변형 법칙(parallelogram law)과 동등합니다.

이 정리는 고대 그리스의 수학자 페르가의 아폴로니우스(Apollonius of Perga)의 이름을 따서 명명되었습니다.

Proof

이 정리는 스튜어트의 정리의 특별한 경우로서 증명될 수 있으며, 또는 벡터를 사용하여 증명될 수있다 (평행사변형 법칙(parallelogram law)을 참조하십시오). 다음은 코사인 법칙을 사용하는 독립적인 증명입니다.^[1]

삼각형은 변 $a, b, c$ 와 함께 변 $a$ 에 중선 $d$ 를 그려졌다고 놓습니다. $m$ 을 중선에 의해 형성된 선분의 길이라고 놓으면, $m$ 은 $a$ 의 절반입니다. $a$ 와 $d$ 사이에 형성된 각을 θ와 θ′라 놓는데, 여기서 θ는 $b$ 를 포함하고 θ′는 $c$ 를 포함합니다. 그러면 θ′은 θ의 보충-각(supplement)이고 cos θ′ = −cos θ입니다. θ와 θ′에 대해 코사인 법칙(law of cosines)은 다음을 말합니다

{\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}

이들 방정식을 변변 더하면 다음을 얻습니다:

b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})

증명 끝.

References

^ Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.

External links

Apollonius Theorem at PlanetMath.org.
David B. Surowski: Advanced High-School Mathematics. p. 27

[1] Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.

[1]