Stewart's theorem

기하학(geometry)에서, 스튜어트의 정리(Stewart's theorem)는 삼각형에서 변의 길이와 체바선(cevian)의 길이 사이의 관계를 산출합니다. 그 이름은, 1746년에 정리를 출판한, 스코틀랜드의 수학자 매슈 스튜어트(Matthew Stewart)를 기리는 의미입니다.^[1]

Statement

$a$ , $b$ , 및 $c$ 를 삼각형의 변의 길이로 놓습니다. $d$ 를 길이 $a$ 의 변에 대한 체바선(cevian)의 길이로 놓습니다. 만약 체바선이 길이 $a$ 의 변을 길이 $m$ 및 $n$ 으로 나누는데, 여기서 $m$ 은 $c$ 에서 가깝고 $n$ 은 $b$ 에 가까우면, 스튜어트의 정리는 다음을 말합니다:

b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).

정리는 선분의 부호화된 길이를 사용하여 보다 대칭적으로 쓸 수 있습니다. 즉, A가 직선의 어떤 고정된 방향에서 B의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는지 여부에 따라 길이 AB를 양수 또는 음수로 취합니다. 이 공식에서, 정리는 만약 A, B, 및 C가 같은-직선 위의 점이고 P가 임의의 점이면, 다음임을 말합니다:

PA^{2}\cdot BC+PB^{2}\cdot CA+PC^{2}\cdot AB+AB\cdot BC\cdot CA=0.

^[2]

체바선이 중선(median)인 특별한 경우에서 (즉, 그것은 대변을 같은 길이의 선분으로 나눕니다), 결과는 아폴로니우스의 정리(Apollonius' theorem)로 알려져 있습니다.

공통적인 니마닉은 학생들에게 그 정리를 기억하기 좋도록 사용됩니다: 한 남자와 그의 아빠가 싱크대에 폭탄을 넣었습니다 (man+dad=bmb+cnc).

Proof

정리는 코사인 법칙(law of cosines)의 적용으로 입증될 수 있습니다.^[3]

θ를 m과 d 사이의 각도 및 θ′을 n과 d 사이의 각으로 놓습니다. 그런-다음 θ′는 θ의 보충-각(supplement)이고, 그래서 $cos θ' = -cos θ$ 입니다. 각도 θ 및 θ′를 사용하여 두 작은 삼각형에서 코사인의 법칙을 적용하여 다음을 생성합니다:

{\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}

첫 번째 방정식에 n을 곱하고 세 번째 방정식에 m을 곱하고 그들을 더하여 $cos θ$ 를 제거합니다. 우리는 다음을 얻습니다:

{\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2}),\\\end{aligned}}

이것은 요구된 방정식입니다.

대안적으로, 정리는 삼각형의 꼭짓점으로부터 밑변으로 수선의 발을 그리고 고도의 관점에서 거리 b, c, 및 d를 적어서 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 사용함으로써 입증될 수 있습니다. 방정식의 왼쪽 및 오른쪽 변은 그런-다음 대수적으로 같은 표현으로 줄입니다.^[2]

History

Hutton & Gregory (1843, p. 220)에 따르면, 스튜어트는 1746년에 에딘버러 대학교에서 수학 교수로 콜린 매클로린(Colin Maclaurin)을 대신할 후보가 되었을 때 그 결과를 출판했습니다. Coxeter & Greitzer (1967, p. 6)는, 그 결과는 아마도 기원전 300년경에 아르키메데스(Archimedes)에게 알려졌을 것이라고 말합니다. 그들은, 최초의 알려진 증명이 1751년에 심슨(R. Simson)에 의해 제공되었다고 (실수로) 계속 말합니다. Hutton & Gregory (1843)는, 그 결과는 1748년에 심슨 및 1752년에 심프슨에 의해 사용되었고, 유럽에서 첫 번째 등장은 1803년에 라자르 카르노(Lazare Carnot)에 의해 제공되었다고 말합니다.

Notes

^ Stewart, Matthew (1746), Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics, Edinburgh: Sands, Murray and Cochran "Proposition II"
^ ^a ^b Russell 1905, p. 3
^ Proof of Stewart's Theorem at PlanetMath.org.

References

Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library #19, The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-619-0
Hutton, C.; Gregory, O. (1843), A Course of Mathematics, vol. II, Longman, Orme & Co.
Russell, John Wellesley (1905), "Chapter 1 §3: Stewart's Theorem", Pure Geometry, Clarendon Press, OCLC 5259132

External links

[1] Stewart, Matthew (1746), Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics, Edinburgh: Sands, Murray and Cochran "Proposition II"

[Russell-2] Russell 1905, p. 3

[3] Proof of Stewart's Theorem at PlanetMath.org.

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