Arithmetic–geometric mean

Original article: w:Arithmetic–geometric mean

수학에서, 두 양의 실수 x와 y의 산술–기하 평균(arithmetic–geometric mean) (AGM)은 다음으로 정의됩니다:

x와 y를 a₀와 g₀로 부릅니다:

${\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y.\end{aligned}}$

그런 다음 두 개의 상호의존적인 수열(sequence) (a_n)와 (g_n)을 다음으로 정의합니다:

${\begin{aligned}a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,,\end{aligned}}$

여기서 제곱근은 주요 값(principal value)을 취합니다. 이들 두 수열은 같은 숫자, x와 y의 산술–기하 평균으로 수렴(converge)합니다; 그것은 M(x, y), 또는 때때로 agm(x, y)에 의해 표시됩니다.

산술–기하 평균은 지수 함수(exponential function) 및 삼각 함수(trigonometric functions)뿐만 아니라 일부 수학적 상수(mathematical constant), 특히, $\pi$를 계산하는 것에 대해 빠른 알고리듬(algorithm)에서 사용됩니다.

Example

a₀ = 24와 g₀ = 6의 산술–기하 평균을 찾기 위해, 다음처럼 반복하십시오:

${\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}$

처음 다섯 반복은 다음 값을 제공합니다:

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

자릿수의 숫자에서 a_n과 g_n은 각 반복마다 (밑줄친) 근사적으로 두 배로 일치합니다. 24와 6의 산술-기하 평균은 이들 두 수열의 공통 극한이며, 이것은 근사적으로 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.입니다.

History

이 수열 쌍을 기반으로 한 첫 번째 알고리듬은 르장드르(Lagrange)의 연구에 나타났습니다. 그것의 속성은 가우스(Gauss)에 의해 더 나아가서 분석되었습니다.

Properties

두 양수의 기하 평균은 산술 평균보다 절대 더 클 수 없습니다 (산술 및 기하 평균의 부등식을 참조하십시오). 결과로써, n > 0에 대해, (g_n)은 증가하는 수열, (a_n)는 감소하는 수열이고, g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n입니다. 이들은 만약 x ≠ y이면 엄격한 부등식입니다.

M(x, y)는 따라서 x와 y의 기하 및 산술 평균 사이의 숫자입니다; 그것은 역시 x와 y 사이에 있습니다.

만약 r ≥ 0이면, M(rx,ry) = r M(x,y)입니다.

M(x,y)에 대해 적분-형식 표현이 있습니다:

${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\div \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$

여기서 K(k)는 첫 번째 종류의 완전한 타원 적분입니다:

$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}$

실제로, 산술–기하 과정은 너무 빨리 수렴되므로, 이 공식을 통해 타원 적분을 계산하기 위한 효율적인 방법을 제공합니다. 공학에서, 그것은 예를 들어 타원형 필터(elliptic filter) 설계에 사용됩니다.

Related concepts

1과 2의 제곱근(square root of 2)의 산술–기하 평균의 역수는 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss) 후에, 가우스의 상수(Gauss's constant)라고 불립니다.

${\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots$

기하–조화 평균(geometric–harmonic mean)은, 기하 및 조화(harmonic) 평균의 수열을 사용하여, 유사한 방법에 의해 계산될 수 있습니다. 산술–조화 평균은 비슷하게 정의될 수 있지만, 기하 평균(geometric mean)과 같은 값을 취합니다.

산술-기하 평균은 – 다른 것들 사이에서 – 알고리듬(logarithms), 첫 번째 및 두 번째 종류의 완전한 불완전한 타원 적분, 및 야코비 타원 함수(Jacobi elliptic functions)를 계산하기 위해 사용될 수 있습니다.

Proof of existence

산술 및 기하 평균의 부등식으로부터, 우리는 다음임을 결론 지을 수 있습니다:

$g_{n}\leq a_{n}$

및 따라서

$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$

즉, 수열 g_n은 비-감소하는 것입니다.

게다가, 그것은 역시 x와 y의 더 큰 것에 의해 위로 경계졌음을 쉽게 알 수 있습니다 (이것은 두 숫자의 산술 및 기하 평균 둘 다는 그들 사이에 놓인다는 사실에서 비롯됩니다). 따라서, 단조 수렴 정리(monotone convergence theorem)에 의해, 수열은 수렴이므로, 다음을 만족하는 g가 존재합니다:

$\lim _{n\to \infty }g_{n}=g$

어쨌든, 우리는 다음임을 역시 알 수 있습니다:

$a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}$

및 따라서:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g$

Q.E.D.

Proof of the integral-form expression

이 증명은 가우스에 의해 제공됩니다. 다음을 놓습니다:

$I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},$

적분화의 변수를 $\theta '$로 변경하면, 여기서

$\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$

다음을 제공합니다:

${\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}$

따라서, 우리는 다음을 가집니다:

${\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}$

마지막 상등은 $I(z,z)=\pi /(2z)$임을 관찰한 것으로부터 옵니다.

마침내, 우리는 원하는 결과를 얻습니다:

$M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.$

The AGM method

가우스는 다음임을 알아냅니다. $N\to +\infty$일 때, 수열

${\begin{aligned}a_{0}&&b_{0}\\a_{1}&={\frac {a_{0}+b_{0}}{2}},&b_{1}&={\sqrt {a_{0}b_{0}}}\\a_{2}&={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}},&b_{2}&={\sqrt {a_{1}b_{1}}}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\a_{N+1}&={\frac {a_{N}+b_{N}}{2}},&b_{N+1}&={\sqrt {a_{N}b_{N}}}\end{aligned}}$

은 같은 결과, 산술-기하 평균, agm을 가집니다:

$\lim _{N\to \infty }a_{N}=\lim _{N\to \infty }b_{N}=M(a,b)$.

이 사실을 초등(elementary) 초월 함수(transcendental function)와 일부 고전 상수, 특히 상수 π를 계산하기 위한 빠른 알고리듬(fast algorithms)을 구성하기 위해 사용하는 것이 가능합니다.

Applications

The number π

예를 들어, 가우스–살라민(Salamin) 공식에 따르면:

$\pi ={\frac {4\left(M(1;{\frac {1}{\sqrt {2}}})\right)^{2}}{\displaystyle 1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},$

여기서

$c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)$

이것은 다음을 사용하여 정밀도의 손실없이 계산될 수 있습니다:

$c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}}.$

Complete elliptic integral K(sinα)

$a_{0}=1,\quad b_{0}=\cos \alpha$을 취하면, agm을 산출합니다:

$\lim _{N\to \infty }a_{N}={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}}~,$

여기서 K(k)는 완전한 첫 번째 종류의 타원 적분입니다:

$K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta ~.$

다시 말해서, 이것은 agm을 통해 효과적으로 계산될 수 있을 것입니다:

$K(k)={\frac {\pi }{2~M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}~.$

Other applications

란덴(Landen)의 오름차순 변환과 함께 AGM의 이 속성을 사용하여, 리처드 브렌트(Richard Brent)는 초등 초월 함수 (e^x, cos x, sin x)의 빠른 평가를 위한 최초의 AGM 알고리듬을 제안했습니다. 그 후, 많은 저자들이 AGM 알고리듬의 사용법을 연구했습니다.

See also

• Generalized mean
• Gauss–Legendre algorithm

External links

• Arithmetic-Geometric Mean Calculator
• Proof of convergence rate in PlanetMath