Arithmetic progression

Original article: w:Arithmetic progression

Visual proof of the derivation of arithmetic progression formulas – the faded blocks are a rotated copy of the arithmetic progression

수학(mathematics)에서, 산술 진행(arithmetic progression) (AP) 또는 산술 수열(arithmetic sequence)은 연속적인 항 사이의 차이가 상수인 것을 만족하는 숫자(number)의 수열(sequence)입니다. 차이는 여기서 두 번째 빼기 첫 번째를 의미합니다. 예를 들어, 수열 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . .은 2의 공통 차이(common difference)를 갖는 산술 진행입니다.

만약 산술 진행의 초기 항이 $a_{1}$이고 연속적인 구성원의 공통 차이는 d이면, 수열의 n번째 항 ($a_{n}$)은 다음으로 제공됩니다:

$\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d$,

그리고 일반적으로

$\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d$.

산술 진행의 유한한 부분은 유한 산술 진행(finite arithmetic progression)으로 불리고 때때로 그냥 산술 진행으로 불립니다. 유한 산술 진행의 합(sum)은 산술 급수(arithmetic series)라고 불립니다.

산술 진행의 행동은 공통 차이 d에 달려 있습니다. 만약 공통 차이가:

• 양수이면, 구성원 (항)은 양의 무한대(infinity)를 향해 증가할 것입니다;
• 음수이면, 구성원 (항)은 음의 무한대를 향해 증가할 것입니다.

Sum

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Computation of the sum 2 + 5 + 8 + 11 + 14. When the sequence is reversed and added to itself term by term, the resulting sequence has a single repeated value in it, equal to the sum of the first and last numbers (2 + 14 = 16). Thus 16 × 5 = 80 is twice the sum.

유한 산술 진행의 구성원의 합(sum)은 산술 급수(arithmetic series)라고 불립니다. 예를 들어, 다음 합을 생각해 보십시오:

$2+5+8+11+14$

이 합은 더해지는 항의 숫자 n (여기서 5)을 얻고, 진행에서 첫 번째와 마지막 숫자의 합 (여기서 2 + 14 = 16)에 곱해서, 2로 나눔으로써 신속하게 구할 수 있습니다:

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

위의 경우에서, 이것은 다음 방정식을 제공합니다:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

이 공식은 임의의 숫자 $a_{1}$ 및 $a_{n}$에 대해 작동합니다. 예를 들어:

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

Derivation

Animated proof for the formula giving the sum of the first integers 1+2+...+n.

위의 공식을 유도하기 위해, 두 가지 다른 방법으로 산술 급수를 표현하여 시작합니다:

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.$

두 방정식의 양쪽 변을 더해서, d를 포함하는 모든 항은 삭제됩니다:

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).$

2로 양쪽 변을 나누어 방정식의 공통 형식을 산출합니다:

$S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).$

대안적인 형식은 치환: $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$을 다시-삽입하여 결과로써 생깁니다:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$

게다가, 급수의 평균값은 $S_{n}/n$를 통해 계산될 수 있습니다:

${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

공식은 이산 균등 분포(discrete uniform distribution)의 평균과 매우 유사합니다.

기원후 499년, 인도 수학과 인도 천문학의 고전 시대로부터 저명한 수학자-천문학자인 아리아바타(Aryabhata)는 Aryabhatiya (섹션 2.18)에서 이 방법을 제공했습니다.

일화에 따르면, 어린 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 초등학교 처벌에 대해 1+2+3+...+99+100을 계산하기 위해 이 방법을 재정립했습니다.

Product

초기 원소 a₁, 공통 차이 d, 및 총합에서 n 원소를 갖는 유한 산술 진행의 구성원의 곱(product)은 다음 닫힌 형식에서 결정됩니다:

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},$

여기서 $x^{\overline {n}}$는 올라가는 팩토리얼(rising factorial)을 나타내고 $\Gamma$는 감마 함수(Gamma function)를 나타냅니다. (공식은 $a_{1}/d$가 음의 정수 또는 영일 때 유효하지 않습니다.)

이것은 진행 $1\times 2\times \cdots \times n$의 곱이 팩토리얼(factorial) $n!$에 의해 제공되고 양의 정수 $m$와 $n$에 대해 곱

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n$

이 다음 식

${\frac {n!}{(m-1)!}}$

에 의해 제공된다는 사실로부터 일반화입니다.

위로부터 예제 3, 8, 13, 18, 23, 28, ...를 취하면, a_n = 3 + (n-1)×5으로 주어진 산술 진행의 50번째 항까지 항의 곱은 다음입니다:

$P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.$

Standard deviation

임의의 산술 진행의 표준 편차는 다음으로 계산될 수 있습니다:

$\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

여기서 $n$은 진행에서 항의 숫자이고 $d$는 항 사이의 공통 차이입니다. 공식은 이산 균등 분포(discrete uniform distribution)의 표준 편차와 매우 유사합니다.

Intersections

임의의 두 개의 이중으로 무한 산술 진행의 교집합(intersection)은 빈 집합(공집합) 또는 또 다른 산술 진행이며, 이것은 중국의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)를 사용하여 구할 수 있습니다. 만약 이중으로 무한 산술 진행의 가족에서 진행의 각 쌍은 비-빈 교집합을 가지면, 그들의 모두에서 공통된 숫자가 존재합니다; 즉, 무한 산술 진행은 헬리 가족(Helly family)을 형성합니다. 어쨌든, 무한하게 많은 무한 산술 진행의 교집합은 그 자체가 무한 진행이라기 보다는 단일 숫자일 수 있을 것입니다.

Summary of formulas

만약 다음이면,

$a_{1}$은 산술 진행의 첫 번째 항입니다.

$a_{n}$은 산술 진행의 n번째 항입니다.

$d$은 산술 진행의 항 사이의 차이입니다.

$n$은 산술 진행에서 항의 숫자입니다.

$S_{n}$은 산술 진행에서 n 항의 합입니다.

${\overline {n}}$은 산술 급수의 평균값입니다.

다음입니다:

1. $\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,$

2. $\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.$

3. $S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].$

4. $S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).$

5. ${\overline {n}}$ = $S_{n}/n$

6. ${\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

7. $d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}};m\neq n$.

See also

• Primes in arithmetic progression
• Linear difference equation
• Arithmetico-geometric sequence
• Generalized arithmetic progression, a set of integers constructed as an arithmetic progression is, but allowing several possible differences
• Harmonic progression
• Heronian triangles with sides in arithmetic progression
• Problems involving arithmetic progressions
• Utonality

References

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.

External links

• "Arithmetic series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". MathWorld.