Product (mathematics)

수학(mathematics)에서, 곱(product)은 곱셈(multiplication)의 결과, 또는 곱해질 인수(factor)를 식별하는 표현입니다. 예를 들어, 30은 6와 5의 곱이고 (곱셈의 결과), $x\cdot (2+x)$ 는 $x$ 와 $(2+x)$ 의 곱입니다 (두 인수는 함께 곱해졌음을 나타냅니다).

실수(real) 또는 복소수(complex)의 곱해진 순서는 곱에 영향을 미치지 않습니다; 이것은 곱셈의 교환 법칙(commutative law)으로 알려져 있습니다. 행렬(matrices) 또는 다양한 다른 결합 대수(associative algebra)의 구성원이 곱해질 때, 곱은 보통 인수의 순서에 따라 달라집니다. 행렬 곱셈(matrix multiplication)은, 예를 들어, 비-교환적이고, 일반적으로 다른 대수에서도 마찬가지입니다.

수학에서 곱의 많은 다른 종류가 있습니다: 단지 숫자, 다항식 또는 행렬을 곱할 수 있을 뿐만 아니라, 우리는 역시 많은 다른 대수적 구조(algebraic structure)에 곱을 역시 정의할 수 있습니다.

Product of two numbers

Product of two natural numbers

$r$ 행과 $s$ 열을 갖는 직사각형 패턴에 여러 개의 돌을 배치하면 다음의 결과만큼 돌을 제공합니다:

r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{s{\text{ times}}}=\sum _{j=1}^{r}s=\underbrace {s+s+\cdots +s} _{r{\text{ times}}}

.

Product of two integers

정수는 양수와 음수를 허용합니다. 그들의 곱은 다음 규칙에서 파생된 기호와 결합된 양수 총액의 곱에 의해 결정됩니다:

{\begin{array}{|c|c c|}\hline \cdot &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}

(이 규칙은 덧셈에 걸쳐 곱셈의 분배(distributivity)를 요구하는 필연적인 결과이고, 추가적인 규칙이 아닙니다.)

단어에서, 우리는 다음을 가집니다:

음 곱하기 음은 양을 제공합니다.
음 곱하기 양은 음을 제공합니다.
양 곱하기 음은 음을 제공합니다.
양 곱하기 양은 양을 제공합니다.

Product of two fractions

두 분수는 그것들의 분자와 분모를 곱함으로써 곱해질 수 있습니다:

{\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}

Product of two real numbers

두 실수의 곱에 대한 엄격한 정의는 실수 구성의 부산물입니다. 이 구성은 모든 각 실수에 대해 $a$ 가 $A$ 의 원소의 최소 위쪽 경계(least upper bound)를 만족하는 유리수(rational number)의 집합 $A$ 가 있음을 의미합니다:

a=\sup _{x\in A}x.

만약 $b$ 가 $B$ 의 최소 위쪽 경계인 또 다른 실수이면, 곱 $a\cdot b$ 는 다음으로 정의됩니다:

a\cdot b=\sup _{x\in A,y\in B}x\cdot y.

이 정의는 $A$ 와 $b$ 의 특정 선택에 의존하지 않습니다. 즉, 만약 그것들이 최소 위쪽 경계를 변경없이 변경되면, $a\cdot b$ 를 정의하는 최소 위쪽 경계는 변경되지 않습니다.

Product of two complex numbers

두 복소수는, 다음처럼, 분배 법칙과 $i^{2}=-1$ 이라는 사실에 의해 곱해질 수 있습니다:

{\begin{aligned}(a+b\,i)\cdot (c+d\,i)&=a\cdot c+a\cdot d\,i+b\,i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,i\end{aligned}}

Geometric meaning of complex multiplication

복소수는 극 좌표(polar coordinates)에서 쓸 수 있습니다:

a+b\,i=r\cdot (\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))=r\cdot e^{i\varphi }

게다가,

c+d\,i=s\cdot (\cos(\psi )+i\sin(\psi ))=s\cdot e^{i\psi },

이것으로부터, 우리는 다음을 얻습니다:

(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i=r\cdot s\cdot e^{i(\varphi +\psi )}.

기하학적 의미는 크기가 곱해지고 편각이 더해진다는 것입니다.

Product of two quaternions

두 쿼터니언(quaternion)의 곱은 쿼터니언(quaternions)에 대한 기사에서 찾을 수 있습니다. 이 경우에서, $a\cdot b$ 와 $b\cdot a$ 는 일반적으로 다름을 주목하십시오.

Product of a sequence

수열의 곱에 대한 곱 연산자는 그리스 대문자 파이(pi) Π에 의해 표시됩니다 (대문자 시그마 Σ를 합계(summation) 기호로 사용하는 것과 유사합니다).^[1] 예를 들어, 표현식 $\textstyle \prod _{i=1}^{6}i^{2}$ 은 $1\cdot 4\cdot 9\cdot 16\cdot 25\cdot 36$ 를 쓰는 또 다른 방법입니다.^[2]

오직 하나의 숫자로 구성된 수열의 곱은 바로 그 숫자 자체입니다; 인수가 전혀 없는 곱은 빈 곱(empty product)으로 알려져 있고, 1과 같습니다.

Commutative rings

교환 링(Commutative ring)은 곱 연산을 가집니다.

Residue classes of integers

링 $\mathbb {Z} /N\mathbb {Z}$ 에서 잔여 클래스는 다음과 같이 더해질 수 있습니다:

(a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z}

그리고 다음과 같이 곱해질 수 있습니다:

(a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z}

Convolution

실수에서 자체로의 두 함수는 합성곱(convolution)이라고 하는 또 다른 방식으로 곱해질 수 있습니다.

만약 다음이면:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{and}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,

다음 적분은

(f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau

바르게 정의되고 합성곱이라고 불립니다.

푸리에 변환(Fourier transform) 아래에서, 합성곱은 점-별 함수 곱이 됩니다.

Polynomial rings

두 다항식의 곱은 다음에 의해 제공됩니다:

\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}

여기서

c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}

Products in linear algebra

선형 대수에서 많은 다양한 종류의 곱이 있습니다. 이들 중 일부는 매우 다른 의미를 가진 혼동스러울 정도로 유사한 이름 (밖의 곱(outer product), 외부 곱(exterior product))을 가지고 있고, 반면에 다른 것들은 매우 다른 이름 (밖의 곱, 텐서 곱, 크로네커 곱)을 가지고 여전히 본질적으로 같은 아이디어를 전달합니다. 이것들의 간략한 개요는 다음 섹션에서 제공됩니다.

Scalar multiplication

벡터 공간의 바로 그 정의에 의해, 우리는 임의의 벡터와 임의의 스칼라의 곱을 형성할 수 있고, 맵 $\mathbb {R} \times V\rightarrow V$ 을 제공합니다.

Scalar product

스칼라 곱(scalar product)은 쌍-선형 맵입니다:

\cdot :V\times V\rightarrow \mathbb {R}

이때, 다음 조건, 모든 $0\not =v\in V$ 에 대해 $v\cdot v>0$ 임을 따릅니다.

스칼라 곱으로부터, 우리는 $\|v\|:={\sqrt {v\cdot v}}$ 을 놓음으로써 노름(norm)을 정의할 수 있습니다.

스칼라 곱은 역시 우리에게 두 벡터 사이의 각도를 정의하는 것을 허용합니다:

\cos \angle (v,w)={\frac {v\cdot w}{\|v\|\cdot \|w\|}}

$n$ -차원 유클리드 공간에서, 표준 스칼라 곱 (점 곱(dot product)이라고 불림)은 다음에 의해 제공됩니다:

\left(\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}e_{i}\right)\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\,\beta _{i}

Cross product in 3-dimensional space

3-차원에서 두 벡터의 교차 곱(cross product)은 두 인수에 수직인 벡터이고, 길이는 두 인수에 의해 확장된 평행사변형의 넓이와 같습니다.

교차 곱은 역시 형식적(formal)^[a] 행렬식(determinant)으로 표현될 수 있습니다:

\mathbf {u\times v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u_{1}&u_{2}&u_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\\end{vmatrix}}

Composition of linear mappings

선형 매핑은 놓여있는 필드 F를 갖는 두 벡터 공간 V와 W 사이의 함수 f로 정의될 수 있으며, 다음을 만족시킵니다:^[3]

f(t_{1}x_{1}+t_{2}x_{2})=t_{1}f(x_{1})+t_{2}f(x_{2}),\forall x_{1},x_{2}\in V,\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {F} .

만약 우리가 단지 유한 차원 벡터 공간을 고려하면,

f(\mathbf {v} )=f\left(v_{i}\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)=v_{i}f\left(\mathbf {b_{V}} ^{i}\right)={f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j},

이것에서 b_V와 b_W는 V와 W의 기저(bases)를 나타내고, v_i는 b_Vⁱ에 대한 v의 성분(component)을 나타내고, 아인슈타인 합계 관례(Einstein summation convention)가 적용됩니다.

이제 우리는 유한 차원 벡터 공간 사이의 두 선형 매핑의 합성을 고려합니다. 선형 매핑 f를 V를 W로 매핑하는 것으로 놓고, 선형 매핑 g를 W를 U로 매핑하는 것으로 놓습니다. 그런-다음 우리는 다음을 얻을 수 있습니다:

g\circ f(\mathbf {v} )=g\left({f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{W}} ^{j}\right)={g^{j}}_{k}{f^{i}}_{j}v_{i}\mathbf {b_{U}} ^{k}.

또는 행렬 형식에서:

g\circ f(\mathbf {v} )=\mathbf {G} \mathbf {F} \mathbf {v} ,

이것에서 F의 i-행, j-열 원소는, F_ij로 표시되며, f^j_i, 및 G_ij=g^j_i입니다.

두 선형 맵보다 많은 것의 합성은 행렬 곱셈의 체인에 의해 유사하게 표현될 수 있습니다.

Product of two matrices

두 행렬이 주어지면:

A=(a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}

and

B=(b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}

그것들의 곱은 다음에 의해 제공됩니다:

B\cdot A=\left(\sum _{j=1}^{r}a_{i,j}\cdot b_{j,k}\right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t}\;\in \mathbb {R} ^{s\times t}

Composition of linear functions as matrix product

선형 함수의 합성과 두 행렬의 곱 사이의 관계가 있습니다. 이것을 보이기 위해, r = dim(U), s = dim(V), 및 t = dim(W)를 벡터 공간 U, V, 및 W의 (유한) 차원(dimensions)으로 놓습니다. ${\mathcal {U}}=\{u_{1},\ldots ,u_{r}\}$ 를 U의 기저(basis), ${\mathcal {V}}=\{v_{1},\ldots ,v_{s}\}$ 를 V의 기저, 및 ${\mathcal {W}}=\{w_{1},\ldots ,w_{t}\}$ 를 W의 기저로 놓습니다. 이 기저의 관점에서, $A=M_{\mathcal {V}}^{\mathcal {U}}(f)\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ 를 f : U → V를 표현하는 행렬, 및 $B=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {V}}(g)\in \mathbb {R} ^{r\times t}$ 를 g : V → W를 표현하는 행렬로 놓습니다. 그런-다음, 다음은 $g\circ f:U\rightarrow W$ 를 표현하는 행렬입니다:

B\cdot A=M_{\mathcal {W}}^{\mathcal {U}}(g\circ f)\in \mathbb {R} ^{s\times t}

.

다시 말해서: 행렬 곱은 선형 함수의 합성의 좌표에서 설명입니다.

Tensor product of vector spaces

둘의 유한 차원 벡터 공간 V와 W가 주어지면, 그것들의 텐서 곱은 다음을 만족시키는 (2,0)-텐서로 정의될 수 있습니다:

V\otimes W(v,m)=V(v)W(w),\forall v\in V^{*},\forall w\in W^{*},

여기서 V^*와 W^*는 V와 W의 이중 공간(dual space)을 나타냅니다.^[4]

무한-차원 벡터 공간에서, 우리는 역시 다음을 가집니다:

텐서 곱, 밖의 곱(outer product), 및 크로네커 곱(Kronecker product) 모두는 같은 일반적인 아이디어를 전달합니다. 이들 사이의 차이는 크로네커 곱은 단지 이전에-고정된 기저에 관한 행렬의 텐서 곱이고, 반면에 텐서 곱은 보통 본질적 정의(intrinsic definition)에서 제공됩니다. 밖의 곱은 단순히 (행렬 대신에) 벡터로 제한된 크로네커 곱입니다.

The class of all objects with a tensor product

일반적으로, 우리가 선형 대수 텐서 곱처럼 작동하는 방식으로 결합될 수 있는 둘의 수학적 대상(objects)이 있을 때마다, 이것은 가장 일반적으로 모노이드 카테고리(monoidal category)의 내부 곱(internal product)으로 이해될 수 있습니다. 즉, 모노이드 카테고리는 텐서 곱의 의미를 정확하게 포착합니다; 그것은 텐서 곱이 그렇게 작동하는 이유에 대한 개념을 정확히 포착합니다; 더 정확하게 말하면, 모노이드 카테고리는 텐서 곱을 가지는 (주어진 유형(type)의) 모든 것의 클래스(class)입니다.

Other products in linear algebra

선형 대수에서 곱의 다른 종류는 다음을 포함합니다:

Cartesian product

집합 이론(set theory)에서, 데카르트 곱(Cartesian product)은 여러 집합에서 집합(set) (또는 곱 집합)을 반환하는 수학 연산(mathematical operation)입니다. 즉, 집합 A와 B에 대해, 데카르트 곱 A × B은 모든 순서쌍(ordered pair) (a, b)의 집합입니다–여기서 a ∈ A와 b ∈ B입니다.^[5]

데카르트 곱을 가지는 (주어진 유형(type)의) 모든 것의 클래스는 데카르트 카테고리(Cartesian category)라고 불립니다. 이들 중 다수는 데카르트 닫힌 카테고리(Cartesian closed categories)입니다. 집합은 그러한 대상의 예제입니다.

Empty product

숫자와 대부분의 대수 구조(algebraic structure)에 대한 빈 곱(empty product)의 1 (곱셈의 항등 원소)의 값을 가지며, 마치 빈 합(empty sum)이 0 (덧셈의 항등 원소) 값을 갖는 것과 같습니다. 어쨌든, 빈 곱의 개념은 더 일반적이고, 논리(logic), 집합 이론(set theory), 컴퓨터 프로그래밍(computer programming), 및 카테고리 이론(category theory)에서 특별한 처리를 요구합니다.

Products over other algebraic structures

다른 종류의 대수 구조(algebraic structure)에 걸쳐 곱은 다음을 포함합니다:

집합의 데카르트 곱
그룹의 직접 곱, 그리고 역시 반-직접 곱, knit product, 및 wreath product
그룹의 자유 곱
링의 곱
아이디얼의 곱
토폴로지적 공간의 곱(product of topological spaces)^[1]
확률 변수의 Wick product
대수적 토폴로지에서 cap, cup, Massey, 및 slant product
호모토피에서 smash product 및 웨지 합 (때때로 웨지 곱이라고 불림)

위의 곱 중 몇 개는 모노이드 카테고리(monoidal category)에서 내부 곱(internal product)에 대한 일반적인 개념의 예제입니다; 나머지는 카테고리 이론에서 곱의 일반적인 개념에 의해 설명될 수 있습니다.

Products in category theory

앞의 모든 예제는 곱에 대한 일반적인 개념의 특수한 경우 또는 예제입니다. 곱의 개념에 대한 일반적인 처리에 대해, product (category theory)을 참조하시며, 이것은 어떤 종류의 두 대상(objects)을 결합하여 아마도 다른 종류의 대상을 만드는 방법을 설명합니다. 그러나 역시 카테고리 이론에서, 우리는 다음을 가집니다:

피버 곱 또는 당김(pullback),
곱 카테고리, 카테고리의 곱인 카테고리.
모델 이론(model theory)에서 극단-곱
텐서 곱의 본질을 포착하는 모노이드 카테고리(monoidal category)의 내부 곱.

Other products

함수의 곱 적분(product integral) (수열의 곱에 대한 연속 등가 또는 일반/표준/덧셈 적분의 곱셈의 버전으로). 곱 적분은 역시 "연속 곱" 또는 "multiplical"로 알려져 있습니다.
복소 곱셈, 타원 곡선의 이론.

Notes

^ Here, "formal" means that this notation has the form of a determinant, but does not strictly adhere to the definition; it is a mnemonic used to remember the expansion of the cross product.

References

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-16.
^ "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Retrieved 2020-08-16.
^ Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. pp. 9–10. ISBN 1447148207.
^ Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (2nd ed.). Orlando: Academic Press. p. 200. ISBN 0080874398.
^ Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (2nd ed.). New York: Springer. p. 13. ISBN 0387316094.

Bibliography

Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.

[3] Here, "formal" means that this notation has the form of a determinant, but does not strictly adhere to the definition; it is a mnemonic used to remember the expansion of the cross product.

[:0-1] Weisstein, Eric W. "Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-16.

[2] "Summation and Product Notation". math.illinoisstate.edu. Retrieved 2020-08-16.

[4] Clarke, Francis (2013). Functional analysis, calculus of variations and optimal control. Dordrecht: Springer. pp. 9–10. ISBN 1447148207.

[5] Boothby, William M. (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry (2nd ed.). Orlando: Academic Press. p. 200. ISBN 0080874398.

[6] Moschovakis, Yiannis (2006). Notes on set theory (2nd ed.). New York: Springer. p. 13. ISBN 0387316094.

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