Bounded operator

함수형 해석학(functional analysis)과 연산자 이론(operator theory)에서, 경계진 선형 연산자(bounded linear operator)는 $X$ 의 경계진(bounded) 부분집합을 $Y$ 의 경계진 부분집합으로 매핑하는 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) (TVS) $X$ 와 $Y$ 사이에 선형 변환(linear transformation) $L:X\to Y$ 입니다. 만약 $X$ 와 $Y$ 가 노름 벡터 공간(normed vector space) (TVS의 특별한 경우)이면, $L$ 이 경계진 것과 모든 $x\in X$ 에 대해 다음을 만족하는 일부 $M>0$ 이 존재하는 것은 필요충분 조건입니다:

$\|Lx\|_{Y}\leq M\|x\|_{X}.$

가장 작은 그러한 $M$ 은 $L$ 의 연산자 노름(operator norm)이라고 불리고 $\|L\|$ 에 의해 표시됩니다. 노름 공간 사이에 경계진 연산자는 연속(continuous)이고 그 반대도 마찬가지입니다.

경계진 선형 연산자의 개념이 노름 공간에서 토폴로지적 벡터 공간으로 확장되어 왔습니다.

함수형 해석학 외부에서, 함수 $f:X\to Y$ 가 "경계진(bounded)" 것이라고 불릴 때 이것은 보통 그것의 이미지(image) $f(X)$ 가 코도메인의 경계진 부분집합임을 의미합니다. 선형 맵이 이 속성을 가지는 것과 그것이 동일하게 $0$ 이 것은 필요충분 조건입니다. 결과적으로, 함수형 해석학에서, 선형 연산자가 "경계진"이라고 불리우면 그것은 (경계진 이미지를 갖는 것의) 이 추상적인 의미를 의미하지 않습니다.

In normed vector spaces

모든 각 경계진 연산자는 $0$ 에서 립시츠 연속(Lipschitz continuous)입니다.

Equivalence of boundedness and continuity

노름 공간 사이의 선형 연산자가 경계진 것과 그것이 연속(continuous)인 것은 필요충분 조건입니다.

Proof

$L$ 이 경계진 것이라고 가정합니다. 그런-다음, 비-영 $h$ 를 갖는 모든 벡터 $x,h\in X$ 에 대해 우리는 다음을 가집니다: $\|L(x+h)-L(x)\|=\|L(h)\|\leq M\|h\|.$

$h$ 가 0으로 간다고 놓으면 $L$ 이 $x$ 에서 연속임을 보일 수 있습니다. 게다가, 상수 $M$ 은 $x$ 에 의존하지 않기 때문에, 이것은 실제로 $L$ 이 균등하게 연속(uniformly continuous)이고, 심지어 립시츠 연속(Lipschitz continuous)임을 보여줍니다.

반대로, $\|h\|\leq \delta$ 을 갖는 모든 벡터 $h\in X$ 에 대해 $\|L(h)\|=\|L(h)-L(0)\|\leq 1$ 를 만족하는 $\delta >0$ 가 존재한다는 것은 영 벡터에서 연속으로부터 따라옵니다. 따라서, 모든 비-영 $x\in X$ 에 대해, 우리는 다음을 가집니다: $\|Lx\|=\left\Vert {\|x\| \over \delta }L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert ={\|x\| \over \delta }\left\Vert L\left(\delta {x \over \|x\|}\right)\right\Vert \leq {\|x\| \over \delta }\cdot 1={1 \over \delta }\|x\|.$ 이것이 $L$ 이 경계진 것임을 입증합니다. Q.E.D.

In topological vector spaces

두 토폴로지적 벡터 공간(topological vector space) (TVS) 사이의 선형 연산자 $F:X\to Y$ 는 만약 $B\subseteq X$ 가 $X$ 에서 경계질(bounded) 때마다 $F(B)$ 가 $Y$ 에서 경계지면 경계진 선형 연산자 또는 단지 경계진 것이라고 불립니다. TVS의 부분집합은 만약 원점의 모든 각 이웃이 그것을 흡수(absorbs)하면 경계진 (또는 보다 정확하게, 폰 노이만 경계진(von Neumann bounded)) 것이라고 불립니다. 노른 공간 (및 심지어 반노름 공간(seminormed space))에서, 부분집합이 폰 노이만 경계진 것과 그것이 노름 경계진 것은 필요충분 조건입니다. 따라서, 노름 공간에 대해, 폰 노이만 경계진 집합의 개념은 노름-경계진 부분집합의 보통의 개념과 동일합니다.

Continuity and boundedness

TVS 사이의 모든 각 수열적으로 연속(sequentially continuous) 선형 연산자는 경계진 연산자입니다.^[1] 이것은 모든 각 연속 선형 연산자가 경계진 것임을 의미합니다. 어쨌든, 일반적으로, 두 TVS 사이의 경계진 선형 연산자는 연속일 필요는 없습니다.

이 공식은 경계진 집합을 경계진 집합으로 취하는 연산자로 일반 토폴로지적 벡터 공간 사이의 경계진 연산자를 정의하는 것을 허용합니다. 이 문맥에서, 모든 각 연속 맵이 경계진 것임은 여전히 참이며, 어쨌든 그 전환은 실패합니다; 경계진 연산자가 연속일 필요는 없습니다. 이것은 역시 이 문맥에서 경계성이 더 이상 립시츠 연속성과 동등하지 않음을 의미합니다.

만약 도메인이 경계적인 공간(bornological space) (예를 들어, 유사-메트릭가능 TVS(pseudometrizable TVS), 프레셰 공간(Fréchet space), 노름 공간(normed space))이면, 임의의 다른 지역 볼록 공간으로의 선형 연산자가 경계진 것과 그것이 연속인 것은 필요충분 조건입니다. LF 공간(LF space)에 대해, 더 약한 전환은 유지됩니다; LF 공간에서 임의의 경계진 선형 맵은 순열적으로 연속(sequentially continuous)입니다.

만약 $F:X\to Y$ 가 두 토폴로지적 벡터 공간 사이의 선형 연산자이면 및 $F(U)$ 가 $Y$ 의 경계진 부분공간을 만족하는 $X$ 에서 원점의 이웃 $U$ 가 존재하면, $F$ 는 연속입니다.^[2] 이 사실은 종종 원점의 일부 이웃에 경계진 선형 연산자가 반드시 연속이라고 말함으로써 요약될 수 있습니다. 특히, 원점의 일부 이웃에 경계진 임의의 선형 함수자는 (심지어 만약 그것이 도메인이 노름 공간(normed space)이 아니더라도) 연속입니다.

Bornological spaces

경계적인 공간은 정확히 또 다른 지역적 볼록 공간으로의 모든 각 경계진 선형 연산자가 반드시 연속적인 그것들의 지역적 볼록 공간입니다. 즉, 지역적 볼록 TVS $X$ 가 경계적인 공간인 것과 모든 각 지역적 볼록 TVS $Y$ 에 대해 선형 연산자 $F:X\to Y$ 가 연속인 것과 그것이 경계진 것은 필요충분 조건입니다.^[3]

모든 각 노름 공간은 경계적인 것입니다.

Characterizations of bounded linear operators

$F:X\to Y$ 를 토폴로지적 벡터 공간 사이의 선형 연산자로 놓습니다 (반드시 하우스도르프는 아님). 다음은 동등합니다:

$F$ 는 (지역적으로) 경계진 것입니다;^[3]
(정의): $F$ 는 그것의 도메인의 경계진 부분집합을 그것의 코도메인의 경계진 부분집합으로 매핑합니다;^[3]
$F$ 는 그것의 도메인의 경계진 부분집합을 그것의 이미지(image) $\operatorname {Im} F:=F(X)$ 의 경계진 부분집합으로 매핑합니다;^[3]
$F$ $F$ 는 모든 각 널 수열을 경계진 수열로 매핑합니다;^[3]
- 널 수열은 정의에 의해 원점으로 수렴하는 수열입니다.
- 따라서 원점에서 순차적으로 연속인 임의의 선형 맵은 반드시 경계진 선형 맵입니다.
$F$ $F$ 는 모든 각 맥키 수렴 널 수열을 $Y$ $Y$ 의 경계진 부분집합으로 매핑합니다.^{[note 1]}
- 수열 $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ 은 만약 $r_{\bullet }=\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ 이 $X$ 의 경계진 부분집합을 만족하는 양의 실수의 발산하는 수열 $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ 이 존재하면 $X$ 에서 원점으로 수렴하는 맥키라고 말합니다.

만약 $X$ 와 $Y$ 가 지역적 볼록(locally convex)이면 다음은 이 목록에 더해질 수 있습니다:

$F$ 는 경계진 디스크(disks)를 경계진 디스크로 매핑합니다.^[4]
$F^{-1}$ 는 $Y$ 에서 경계적(bornivorous) 디스크를 $X$ 에서 경계적 디스크로 매핑합니다.^[4]

만약 $X$ 가 경계적인 공간(bornological space)이고 $Y$ 가 지역적 볼록이면 다음은 이 목록에 더해질 수 있습니다:

$F$ $F$ 는 그것의 도메인의 일부 점에서 순차적으로 연속입니다 (또는 동등하게, 모든 각 점에서 그렇습니다).^[5]
- 두 TVS 사이의 순열적으로 연속(sequentially continuous) 선형 맵은 항상 경계진 것이지만,^[1] 그 전환은 (도메인이 경계적인 것이고 코도메인이 지역적 볼록과 같은) 유지할 추가적인 가정을 요구합니다.
- 만약 도메인 $X$ 가 역시 순열적 공간(sequential space)이면 $F$ 가 순열적으로 연속(sequentially continuous)인 것과 그것이 연속인 것은 필요충분 조건입니다.
$F$ 가 원점에서 순열적으로 연속(sequentially continuous at the origin)입니다.

Examples

두 유한-차원 노름 공간 사이의 임의의 선형 연산자는 경계진 것이고, 그러한 연산자는 일부 고정된 행렬에 의한 곱셈(matrix)으로 보일 수 있습니다.
유한-차원 노름 공간에 정의된 임의의 선형 연산자는 경계진 것입니다.
$\ell ^{1}$ 로 여겨지는, 실수의 결국 영 수열의 수열 공간(sequence space) $c_{00}$ 에서, 수열의 합을 반환하는 실수에 대한 선형 연산자는 연산자 노름 1을 갖는 경계진 것입니다. 만약 같은 공간이 $\ell ^{\infty }$ 노름으로 여겨지면, 같은 연산자는 경계진 것이 아닙니다.
많은 적분 변환(integral transform)은 경계진 선형 연산자입니다. 예를 들어, 만약 다음이 $K:[a,b]\times [c,d]\to \mathbb {R}$ 연속 함수이면, 균등 노름(uniform norm)과 다음 공식에 의해 주어진 $L$ 을 갖는 공간 $C[c,d]$ 에서 값으로 부여된 $[a,b]$ 에서 연속 함수의 공간 $C[a,b]$ 에서 정의된 연산자 $L$ 은 $(Lf)(y)=\int _{a}^{b}\!K(x,y)f(x)\,dx,$ 경계진 것입니다. 이 연산자는 사실 컴팩트 연산자(compact operator)입니다. 컴팩트 연산자는 경계진 연산자의 중요한 클래스를 형성합니다.
다음 라플라스 연산자(Laplace operator)는 $\Delta :H^{2}(\mathbb {R} ^{n})\to L^{2}(\mathbb {R} ^{n})\,$ (그것의 도메인(domain)이 소볼레프 공간(Sobolev space)이고 그것이 제곱-적분가능 함수(square-integrable function)의 공간에서 값을 취합니다) 경계집니다.
$x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots <\infty \,$ 을 갖는 실수의 모든 수열(sequence) $\left(x_{0},x_{2},x_{2},\ldots \right)$ 의 Lp 공간 $\ell ^{2}$ 에서 미는 연산자(shift operator)는 $L(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=\left(0,x_{0},x_{1},x_{2},\ldots \right)$ 경계진 것입니다. 그것의 연산자 노름은 $1$ 임을 쉽게 알 수 있습니다.

Unbounded linear operators

$X$ 를 다음 노름을 갖는 $[-\pi ,\pi ]$ 에서 모든 삼각 다항식(trigonometric polynomial)의 공간으로 놓습니다:

$\|P\|=\int _{-\pi }^{\pi }\!|P(x)|\,dx.$

하나의 다항식을 그것의 도함수(derivative)로 매핑하는 연산자 $L:X\to X$ 는 경계진 것이 아닙니다. 사실, $n=1,2,\ldots$ 를 갖는 $v_{n}=e^{inx}$ 에 대해, 우리는 $n\to \infty$ 일 때 $\|L(v_{n})\|=2\pi n\to \infty$ 동안 $\|v_{n}\|=2\pi$ 를 가지므로 $L$ 은 경계진 것이 아닙니다.

Properties of the space of bounded linear operators

$X$ 에서 $Y$ 로의 모든 경계진 선형 연산자의 공간은 $B(X,Y)$ 에 의해 표시되고 노름 벡터 공간입니다.
만약 $Y$ 가 바나흐이면, $B(X,Y)$ 도 그렇습니다.
이것으로부터 이중 공간(dual space)이 바나흐임이 따라옵니다.
임의의 $A\in B(X,Y)$ 에 대해, $A$ 의 커널은 $X$ 의 닫힌 선형 부분공간입니다.
만약 $B(X,Y)$ 가 바나흐이고 $X$ 가 비-자명한 것이면, $Y$ 는 바나흐입니다.

References

^ Proof: Assume for the sake of contradiction that $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ converges to $0$ but $F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is not bounded in $Y.$ Pick an open balanced neighborhood $V$ of the origin in $Y$ such that $V$ does not absorb the sequence $F\left(x_{\bullet }\right).$ Replacing $x_{\bullet }$ with a subsequence if necessary, it may be assumed without loss of generality that $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ for every positive integer $i.$ The sequence $z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }$ is Mackey convergent to the origin (since $\left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ is bounded in $X$ ) so by assumption, $F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is bounded in $Y.$ So pick a real $r>1$ such that $F\left(z_{i}\right)\in rV$ for every integer $i.$ If $i>r$ is an integer then since $V$ is balanced, $F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,$ which is a contradiction. Q.E.D. This proof readily generalizes to give even stronger characterizations of " $F$ is bounded." For example, the word "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is a bounded subset of $X.$ " in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ in $X.$ "

^ ^a ^b Wilansky 2013, pp. 47–50.
^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 156–175.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Narici & Beckenstein 2011, pp. 441–457.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011, p. 444.
^ Narici & Beckenstein 2011, pp. 451–457.

Bibliography

"Bounded operator", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Kreyszig, Erwin: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

[4] Proof: Assume for the sake of contradiction that $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ converges to $0$ but $F\left(x_{\bullet }\right)=\left(F\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is not bounded in $Y.$ Pick an open balanced neighborhood $V$ of the origin in $Y$ such that $V$ does not absorb the sequence $F\left(x_{\bullet }\right).$ Replacing $x_{\bullet }$ with a subsequence if necessary, it may be assumed without loss of generality that $F\left(x_{i}\right)\not \in i^{2}V$ for every positive integer $i.$ The sequence $z_{\bullet }:=\left(x_{i}/i\right)_{i=1}^{\infty }$ is Mackey convergent to the origin (since $\left(iz_{i}\right)_{i=1}^{\infty }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ is bounded in $X$ ) so by assumption, $F\left(z_{\bullet }\right)=\left(F\left(z_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ is bounded in $Y.$ So pick a real $r>1$ such that $F\left(z_{i}\right)\in rV$ for every integer $i.$ If $i>r$ is an integer then since $V$ is balanced, $F\left(x_{i}\right)\in riV\subseteq i^{2}V,$ which is a contradiction. Q.E.D. This proof readily generalizes to give even stronger characterizations of " $F$ is bounded." For example, the word "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ is a bounded subset of $X.$ " in the definition of "Mackey convergent to the origin" can be replaced with "such that $\left(r_{i}x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to 0$ in $X.$ "

[FOOTNOTEWilansky201347–50-1] Wilansky 2013, pp. 47–50.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011156–175-2] Narici & Beckenstein 2011, pp. 156–175.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011441–457-3] Narici & Beckenstein 2011, pp. 441–457.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011444-5] Narici & Beckenstein 2011, p. 444.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011451–457-6] Narici & Beckenstein 2011, pp. 451–457.

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