Norm (mathematics)

Original article: w:Norm (mathematics)

This article is about norms of normed vector spaces. For field theory, see Field norm. For ideals, see Ideal norm. For group theory, see Norm (group). For norms in descriptive set theory, see prewellordering.

수학(mathematics)에서 노름(norm)은 원점(origin)으로부터 거리와 같은 특정 방법으로 행동하는 실수(real) 또는 복소수(complex) 벡터 공간(vector space)에서 비-음의 실수로의 함수(function)입니다: 그것은 스케일링과 함께 교환(commutes)하고, 삼각형 부등식(triangle inequality)의 형식을 따르고, 오직 원점에서 영입니다. 특히, 원점으로부터 벡터의 유클리드 거리(Euclidean distance)는 유클리드 노름(Euclidean norm) 또는 2-노름(2-norm)이라고 하는 노름이며, 역시 벡터 자체와 안의 곱(inner product)의 제곱근으로 정의될 수 있습니다.

유사노름(pseudonorm) 또는 반노름(seminorm)은 노름의 처음 두 속성을 만족시키지만, 원점 이외의 다른 벡터에 대해 영일 수 있습니다. 지정된 노름을 갖는 벡터 공간은 노름 벡터 공간(normed vector space)이라고 불립니다. 유사한 방식에서, 반노름을 갖는 벡터 공간은 반노름 벡터 공간이라고 불립니다.

Definition

복소수 $\mathbb {C}$의 부분필드(subfield) F에 걸쳐 벡터 공간(vector space) $X$가 주어지면, $X$ 위의 노름은 다음 속성을 갖는 실수-값 함수(real-valued function) $p:X\to \mathbb {R}$이며, 여기서 $|s|$는 스칼라 $s$의 보통의 절댓값(absolute value)을 나타냅니다:

1. 하위덧셈성(Subadditivity)/삼각형 부등식: 모든 $x,y\in X$에 대해 $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.
2. 절대 동차(Absolute homogeneity): 모든 $x\in X$와 모든 스칼라 $s$에 대해 $p(sx)=\left|s\right|p(x)$.
3. 양의 한정/점-분리: 모든 $x\in X$에 대해, 만약 $p(x)=0$이면 $x=0$입니다.
   • 속성 (2)가 $p(0)=0$를 의미하기 때문에, 일부 저자는 속성 (3)을 동동한 조건으로 대체합니다: 모든 $x\in X$에 대해, $p(x)=0$인 것과 $x=0$인 것은 필요충분 조건입니다.

$X$ 위의 반노름(seminorm)은 특히, 모든 각 노름이 역시 반노름이 되도록 (및 따라서 역시 부분선형 함수형(sublinear functional)이 되도록) 속성 (1)과 (2)를 가지는 함수 $p:X\to \mathbb {R}$입니다. 어쨌든, 노름이 아닌 반노름이 존재합니다. 속성 (1)과 (2)는 $p$가 노름 (또는 보다 일반적으로, 반노름)이면 $p(0)=0$이고 $p$가 역시 다음 속성을 가짐을 의미합니다:

4. 비-음수성(Nonnegativity): 모든 $x\in X$에 대해 $p(x)\geq 0$

일부 저자는 비-음수성을 "노름"의 정의의 일부로 포함하지만, 이것이 반드시 필요하지는 않습니다.

Equivalent norms

p와 q가 벡터 공간 $X$ 위의 두 노름 (또는 반노름)이라고 가정합니다. 그런-다음 p와 q는 만약 모든 각 벡터 $x\in X$에 대해 다음을 만족하는 c > 0를 갖는 두 실수 상수 c와 C가 존재하면 동등(equivalent)이라고 불립니다: $$cq(x)\leq p(x)\leq Cq(x).$$

노름 p와 q가 동등한 것과 그것들이 $X$ 위에 같은 토폴로지를 유도하는 것은 필요충분 조건입니다. 유한-차원 공간 위에 임의의 두 노름은 동등이지만, 이것이 무한-차원 공간으로 확장되지 않습니다.

Notation

만약 노름 $p\colon X\to \mathbb {R}$가 벡터 공간 X 위에 주어지면, 벡터 $z\in X$의 노름은 보통 그것을 이중 수직 직선 내에 감쌈으로써 나타냅니다: $\|z\|=p(z).$ 그러한 표기법은 역시 때때로 p가 반노름이면 사용됩니다. 유클리드 공간에서 벡터의 길이에 대해 (이것이 아래에 설명된 것처럼 노름의 한 예제입니다), 단일 수직 막대를 갖는 표기법 $|x|$이 역시 광범위하게 쓰입니다.

레이텍(LaTeX)과 관련됨 마크업 언어에서, 노름 표기법의 이중 막대는 $\|$로 렌더링되는 매크로 \|로 입력됩니다. 이중 수직 직선은 평행 직선(parallel line)을 나타내기 위해 사용되며, 평행 연산자(parallel operator)와 평행 덧셈(parallel addition)은 \parallel로 입력되고 $\parallel$로 렌더링됩니다. 비록 유사하게 보일지라도, 이들 두 매크로는 \|가 대괄호(bracket)를 나타내고 \parallel가 연산자를 나타낼 때 혼동되어서는 안됩니다. 그러므로, 그들 주위의 크기와 공간은 같은 방법에서 계산되지 않습니다. 유사하게, 단일 수직 막대는 대괄호로 사용될 때 |로 코딩되고, 연산자로 사용될 때 \mid로 코딩됩니다.

유니코드(Unicode)에서, "이중 수직 직선" 문자의 표시는 U+2016 ‖ DOUBLE VERTICAL LINE입니다. "이중 수직 직선" 기호는 평행 직선 및 병렬 연산자를 나타내기 위해 의도된 "...와 평행" 기호, U+2225 ∥ PARALLEL TO와 혼동되어서는 안 됩니다. 이중 수직 직선은 언어학에서 측면 클릭(lateral clicks)을 나타내기 위한 목적인 U+01C1 ǁ LATIN LETTER LATERAL CLICK과 혼동되어서도 안 됩니다.

단일 수직 직선 |은 유니코드 표시 U+007C | VERTICAL LINE를 가집니다.

Examples

모든 각 (실수 또는 복소수) 벡터 공간은 노름을 수용합니다: 만약 $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}$가 벡터 공간 X에 대해 하멜 기저(Hamel basis)이면 x = Σ_{i ∈ I} s_ix_i ∈ X (여기서 스칼라 s_i의 유한하게 많은 것을 제외한 모두가 0입니다)를 Σ_{i ∈ I} |s_i|로 보내는 실수-값 맵은 X 위에 노름입니다. 역시 특정 문제에 유용하게 만드는 추가적인 속성을 나타내는 많은 노름이 있습니다.

Absolute-value norm

다음 절댓값(absolute value)은 $$\|x\|=|x|$$

실수(real) 또는 복소수(complex)에 의해 형성된 일-차원(one-dimensional) 벡터 공간 위에 노름입니다. 일-차원 벡터 공간 X 위에 임의의 노름 p는 절댓값 노름에 (스케일링까지) 동등하며, 벡터 공간 $f:\mathbb {F} \to X$의 노름-보존하는 동형(isomorphism)이 있음을 의미하며, 여기서 $\mathbb {F}$는 $\mathbb {R}$ 또는 $\mathbb {C}$이고 노름-보존하는 것은 $|x|=p(f(x))$임을 의미합니다. 이 동형은 $1\in \mathbb {F}$를 노름 1의 벡터로 보냄으로써 제공되며, 이것은 존재하는데 왜냐하면 그러한 벡터는 임의의 비-영 벡터에 그것의 노름의 역을 곱함으로써 얻어지기 때문입니다.

Euclidean norm

Main article: Euclidean distance

$n$-차원 유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$ 위에, 벡터 ${\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$의 길이의 직관적인 개념은 다음 공식에 의해 포획됩니다: $$\|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.$$

이것은 원점에서 점 X까지의 보통의 거리—피타고라스 정리(Pythagorean theorem)의 결과–를 제공하는 유클리드 노름입니다. 이 연산은 역시 "SRSS"(square root of the sum of squares에 대한 약어)로 참조될 수 있습니다.

유클리드 노름은 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 지금까지 가장 공통적으로 사용된 노름이지만, 아래에 보일 것처럼 이 벡터 공간 위에 다른 노름이 있습니다. 어쨌든, 모든 이들 노름은 그것들 모두가 같은 토폴로지를 정의한다는 의미에서 동등합니다.

유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)의 두 벡터의 안의 곱(inner product)은 직교-정규 기저(orthonormal basis)에 걸쳐 그것들의 좌표 벡터(coordinate vector)의 점 곱(dot product)입니다. 따라서, 유클리드 노름은 좌표-없는 방법에서 다음으로 쓸 수 있습니다: $$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.$$

유클리드 노름은 역시 $L^{2}$ norm, $\ell ^{2}$ norm, 2-norm, 또는 square norm이라고 불립니다; $L^{p}$ 공간을 참조하십시오. 그것은 유클리드 길이, $L^{2}$ 거리, 또는 $\ell ^{2}$ 거리라고 불리는 거리 함수(distance function)를 정의합니다.

유클리드 노름이 주어진 양의 상수인 $\mathbb {R} ^{n+1}$에서 벡터의 집합은 $n$-구를 형성합니다.

Euclidean norm of complex numbers

복소수(complex number)의 유클리드 노름은, 만약 복소 평면(complex plane)이 유클리드 평면(Euclidean plane) $\mathbb {R} ^{2}$로 식별되면 그것의 절댓값(absolute value)입니다 (역시 모듈러스라고 불립니다). 복소수 $x+iy$를 유클리드 평면에서 벡터로의 이 식별은 양 ${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ (오일러가 처음 제안한 것처럼) 복소수와 결합된 유클리드 노름을 만듭니다.

Quaternions and octonions

See also: Quaternion and Octonion

실수(real number)에 걸쳐 정확하게 넷의 오일러 후르비츠 대수(Euclidean Hurwitz algebra)가 있습니다. 이것들은 실수 $\mathbb {R} ,$ 복소수 $\mathbb {C} ,$ 쿼터니언(quaternion) $\mathbb {H} ,$ 및 마지막으로 옥토니언(octonion) $\mathbb {O}$이며, 여기서 실수에 걸쳐 이들 공간의 차원은 각각 $1,2,4,$ 및 $8$입니다. $\mathbb {R}$과 $\mathbb {C}$ 위의 정식의 노름은 이전에 논의된 것처럼 그것들의 절댓값(absolute value) 함수입니다.

쿼터니언(quaternion)의 $\mathbb {H}$ 위에 정식의 노름은 $\mathbb {H}$에서 모든 각 쿼터니언 $q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k}$에 대해 다음에 의해 정의됩니다: $$\lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}$$

이것은 벡터 공간 $\mathbb {R} ^{4}$로 고려된 $\mathbb {H}$ 위에 유클리드 노름과 같습니다. 유사하게, 옥토니언(octonion) 위에 정식의 노름은 바로 $\mathbb {R} ^{8}$ 위에 유클리드 노름입니다.

Finite-dimensional complex normed spaces

$n$-차원 복소 공간(complex space) $\mathbb {C} ^{n}$ 위에, 가장 공통적인 노름은 다음입니다: $$\|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.$$

이 경우에서, 그 노름은 벡터와 자체의 안의 곱(inner product)의 제곱근(square root)으로 표현될 수 있습니다: $$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},$$

여기서 ${\boldsymbol {x}}$는 열 벡터(column vector) $\left(\left[x_{1};x_{2};\ldots ,x_{n}\right]\right)$를 나타내고, ${\boldsymbol {x}}^{H}$는 그것의 켤레 전치(conjugate transpose)를 나타냅니다.

이 공식은 유클리드와 복소 공간을 포함하여 임의의 안의 곱 공간(inner product space)에 대해 유효합니다. 복소 공간에 대해, 안의 곱은 복소 점 곱(complex dot product)과 동등합니다. 따라서 이 경우에서 공식은 역시 다음 표기법을 사용하여 쓸 수 있습니다: $$\|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.$$

Taxicab norm or Manhattan norm

Main article: Taxicab geometry

$$\|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.$$

그 이름은 택시가 원점에서 점 x까지 이동하기 위해 직사각형의 거리 그리드(street grid)에서 운전해야 하는 거리와 관련이 있습니다.

그것의 1-노름이 주어진 상수인 벡터의 집합은 노름에서 1을 뺀 것과 동등한 차원의 교차 폴리토프(cross polytope)의 표면을 형성합니다. 택시캡 노름은 $\ell ^{1}$ 노름입니다. 이 노름에서 유도된 거리는 맨해튼 거리(Manhattan distance) 또는 ℓ₁ 거리라고 불립니다.

1-노름은 단순히 열의 절댓값의 합입니다.

대조적으로, 다음은 $$\sum _{i=1}^{n}x_{i}$$ 노름이 아닌데 왜냐하면 그것은 음의 결과를 산출할 수 있기 때문입니다.

p-norm

Main article: L^p space

p ≥ 1를 실수로 놓습니다. 벡터 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$의 p-노름 (역시 $\ell _{p}$-노름으로 불림)은 다음입니다: $$\left\|\mathbf {x} \right\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}.$$

p = 1에 대해, 우리는 택시캡 노름(taxicab norm)을 얻고, p = 2에 대해, 우리는 유클리드 노름(Euclidean norm)을 얻고, p가 $\infty$로 무한대로 접근할 때 p-노름은 무한대-노름(infinity norm) 또는 최대 노름(maximum norm)으로 접근합니다: $$\left\|\mathbf {x} \right\|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.$$ p-노름은 일반화된 평균(generalized mean) 또는 거듭제곱 평균과 관련됩니다.

이 정의는 0 < p < 1에 대해 여전히 일부 흥미로움이 있지만, 결과 함수는 노름을 정의하지 않는데, 왜냐하면 삼각형 부등식(triangle inequality)을 위반하기 때문입니다. 심지어 측정-가능 아날로그에서, 0 < p < 1의 이 경우에 대해 참인 것은 해당하는 L^p 클래스가 벡터 공간이라는 것이고, 그것은 역시 다음 함수가 L^p(X)를 완비 메트릭 이상적 벡터 공간(topological vector space)으로 만드는 거리를 (p번째 근없이) 정의한다는 것입니다: $$\int _{X}\left|f(x)-g(x)\right|^{p}~\mathrm {d} \mu$$

이들 공간은 함수형 해석학(functional analysis), 확률 이론(probability theory), 및 조화 해석학(harmonic analysis)에서 매우 흥미롭습니다. 어쨌든, 자명한 경우를 제외하고, 이 토폴로지적 벡터 공간은 지역적으로 볼록이 아니고 연속적인 비-영 선형 형식을 가지지 않습니다. 따라서 토폴로지적 이중 공간은 오직 영 함수형을 포함합니다.

p-노름의 부분 도함수는 다음에 의해 제공됩니다: $${\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.$$

x에 관한 도함수는, 따라서, 다음입니다: $${\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}={\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.$$

여기서 ∘는 아다마르 곱(Hadamard product)을 나타내고 $|\cdot |$는 벡터의 각 성분의 절댓값에 대해 사용됩니다.

p = 2의 특별한 경우에 대해, 이것은 다음이 됩니다: $${\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},$$ 또는 $${\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\left\|\mathbf {x} \right\|_{2}={\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}.$$

Maximum norm (special case of: infinity norm, uniform norm, or supremum norm)

$\|x\|_{\infty }=1$

Main article: Maximum norm

만약 $\mathbf {x}$가 $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$를 만족하는 일부 벡터이면, $$\|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).$$

그것의 무한대 노름이 주어진 상수, c인 벡터의 집합은 가장자리 길이 2c를 갖는 초-입방체(hypercube)의 표면을 형성합니다.

Zero norm

확률론과 함수형 해석학에서, 영 노름은 측정-가능 함수(measurable function)의 공간과 F-노름 ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}}$을 갖는 수열의 F-공간(F-space)에 대해 완비 메트릭 토폴로지를 유도합니다. 여기서 우리는 F-노름에 의해 $\lVert x\rVert =d(x,0)$를 만족하는 거리 d를 갖는 F-공간 위에 일부 실수-값 함수 $\lVert \cdot \rVert$를 의미합니다. 위의 설명된 F-노름은 요구된 동차성 속성이 없기 때문에 보통의 의미의 노름이 아닙니다.

Hamming distance of a vector from zero

See also: Hamming distance and discrete metric

메트릭 기하학(metric geometry)에서, 이산 메트릭(discrete metric)은 구별되는 점에 대해 값 일을 취하고 그렇지 않으면 영을 취합니다. 벡터 공간의 원소에 좌표-별로 적용될 때, 이산 거리는 코딩(coding)과 정보 이론(information theory)에서 중요한 해밍 거리(Hamming distance)를 정의합니다. 실수 또는 복소수 필드에서, 영에서 이산 메트릭의 거리는 비-영 점에서 동차이지 않습니다; 실제로, 영에서 거리는 그것의 비-영 인수가 영에 접근함에 따라 일로 유지됩니다. 어쨌든, 영에서 숫자의 이산 거리는 노름의 다른 속성, 즉 삼각형 부등식 및 양의 한정성을 만족시킵니다. 벡터에 성분-별로 적용될 때, 영에서 이산 거리는 그것의 벡터 인수에서 비-영 성분의 숫자를 세는 비-동차 "노름"처럼 행동합니다; 다시 말하지만, 이 비-동차 "노름"은 불연속입니다.

신호 처리(signal processing)와 통계(statistics)에서, 데이비드 도노호(David Donoho)는 영 "노름"을 인용 부호로 참조했습니다. 도노호의 표기법에 따르면, x의 영 "노름"은 단순히 x의 비-영 좌표의 숫자 또는 영에서 벡터의 해밍 거리입니다. 이 "노름"이 경계진 집합에 지역화되면, 그것은 p가 0에 접근함에 따라 p-노름의 극한입니다. 물론, 영 "노름"은 진정한 노름은 아닌데, 왜냐하면 그것은 양의 동차(positive homogeneous)가 아니기 때문입니다. 실제로, 그것은 심지어 위에서 설명된 의미에서 F-노름이 아닌데, 왜냐하면 스칼라-벡터 곱셈의 스칼라 인수와 그것의 벡터 인수에 관해, 공동으로 및 개별적으로, 불연속이기 때문입니다. 용어를 남용하여(Abusing terminology), 일부 엔지니어는 도노호의 인용 부호를 생략하고 비영-의-숫자 함수를 L⁰ 노름이라고 부적절하게 호출하며, 측정-가능 함수(measurable function)의 르베그 공간(Lebesgue space)에 대해 표기법을 반영합니다.

Infinite dimensions

위의 노름을 성분의 무한 숫자로의 일반화는 각각 $X\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 위에 복소-값 수열과 함수에 대해 다음 노름을 갖는 ℓ^p와 L^p 공간으로 이어집니다:

$$\|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}$$

이것은 나아가서 더 일반화될 수 있습니다 (하르 측정(Haar measure)을 참조하십시오).

임의의 안의 곱(inner product)은 자연스러운 방법에서 노름 ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$을 유도합니다.

무한 차원 노름 벡터 공간의 다른 예제는 바나흐 공간(Banach space) 기사에서 볼 수 있습니다.

Composite norms

$\mathbb {R} ^{n}$ 위의 다른 노름은 위의 것을 조합함으로써 구성될 수 있습니다; 예를 들어 다음은 $$\|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}$$

$\mathbb {R} ^{4}$ 위의 노름입니다.

임의의 노름과 임의의 단사(injective) 선형 변환(linear transformation) A에 대해, 우리는 다음과 같게 x의 새로운 노름을 정의할 수 있습니다: $$\|Ax\|.$$

2D에서, A를 45°만큼 회전하고 적절한 스케일링과 함께, 이것은 택시캡 노름을 최대 노름으로 변경합니다. 택시캡 노름에 적용된 각 A는, 반전과 축의 교환까지, 다른 단위 볼: 특정 모양, 크기, 및 방향의 평행사변형(parallelogram)을 제공합니다.

3D에서, 이것은 유사하지만 1-노름 (팔면체(octahedron))과 최대 노름 (평행사변형 밑변을 갖는 프리즘(prism))에 대해 다릅니다.

"엔트리-별" 공식에 의해 정의되지 않은 노름의 예제가 있습니다. 예를 들어, $\mathbb {R} ^{n}$에서 (영에 중심을 둔) 중심적으로-대칭 볼록 몸체의 민코프스키 함수형(Minkowski functional)은 $\mathbb {R} ^{n}$ 위에 노름을 정의합니다 (아래의 § Classification of seminorms: absolutely convex absorbing sets을 참조하십시오).

모든 위의 공식은 역시 수정없이 $\mathbb {C} ^{n}$ 위에 노름을 산출합니다.

역시 (실수 또는 복소수 엔트리를 갖는) 행렬의 공간 위에 노름, 소위 행렬 노름(matrix norms)이 있습니다.

In abstract algebra

Main article: Field norm

E를 비-분리가능 차수(inseparable degree) p^μ의 필드 k의 유한 확장(finite extension)으로 놓고, k가 대수적 클로저 K를 가진다고 놓습니다. 만약 E의 구별되는 삽입(embeddings)이 {σ_j}_j이면, 원소 α ∈ E의 갈루아-이론적 노름은 값 ${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}}$입니다. 해당 함수가 차수 [E:k]의 동차이기 때문에, 갈루아-이론적 노름은 이 기사의 의미에서 노름이 아닙니다. 어쨌든, (해당 개념이 의미가 있다고 가정하면) 노름의 [E:k]-번째 근은 노름입니다.

Composition algebras

합성 대수(composition algebra)에서 노름 $N(z)$의 개념은 노름의 보통의 속성을 공유하지 않는데, 왜냐하면 그것은 z ≠ 0에 대해 음수이거나 영일 수 있기 때문입니다. 합성 대수 (A, *, N)은 필드 A에 걸쳐 대수, 인볼루션(involution) *, 및 "노름"이라고 불리는 이차 형식(quadratic form) $N(z)=zz^{*}$으로 구성됩니다.

합성 대수의 특유한 특색은 N의 준동형(homomorphism) 속성입니다: 합성 대수의 두 원소 w와 z의 곱 wz에 대해, 그것의 노름은 $N(wz)=N(w)N(z)$를 만족시킵니다. $\mathbb {R} ,$ $\mathbb {C} ,$ $\mathbb {H} ,$ 및 O에 대해, 합성 대수 노름은 위에 논의된 노름의 제곱입니다. 그들의 경우에서 노름은 한정 이차 형식(definite quadratic form)입니다. 다른 합성 대수에서, 노름은 등방성 이차 형식(isotropic quadratic form)입니다.

Properties

벡터 공간 $X$ 위의 임의의 노름 $p:X\to \mathbb {R}$에 대해, 반대 삼격형 부등식(reverse triangle inequality)이 유지됩니다: $$p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.$$

만약 $u:X\to Y$가 노름 공간 사이의 연속 선형 맵이면, $u$의 노름과 $u$의 전치(transpose)의 노름은 같습니다.

L^p 노름에 대해, 우리는 훨더의 부등식(Hölder's inequality)을 가집니다: $$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$$ 이것의 특별한 경우는 코시–슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)입니다: $$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.$$

Illustrations of unit circles in different norms.

Equivalence

단위 원(unit circle) (노름 1의 모든 벡터의 집합)의 개념은 다른 노름에서 다릅니다: 1-노름에 대해, 단위 원은 정사각형(square)이고, 2-노름 (유클리드 노름)에 대해, 그것은 잘-알려진 단위 원(circle)이지만, 무한대 노름에 대해, 그것은 다른 정사각형입니다. 임의의 p-노름에 대해, 그것은 합동 축을 갖는 초타원(superellipse)입니다 (첨부 그림을 참조). 노름의 정의로 인해, 단위 원은 볼록(convex)이고 중심적으로 대칭이어야 합니다 (그러므로, 예를 들어, 단위 볼은 직사각형일 수 있지만 결코 삼각형이 될 수 없고, p-노름에 대해 $p\geq 1$입니다).

벡터 공간의 관점에서, 반노름은 공간 위에 토폴로지(topology)를 정의하고, 이것은 반노름이 별개의 벡터 사이를 구별할 수 있을 때 정확하게 하우스도르프(Hausdorff) 토폴로지이며, 이것은 다시 반노름이 노름인 것과 동등합니다. (노름 또는 반노름에 의해) 그때에 정의된 토폴로지는 수열 또는 열린 집합의 관점에서 이해될 수 있습니다. 벡터 $\{v_{n}\}$의 수열(sequence)은 $n\to \infty$일 때 $\left\|v_{n}-v\right\|\to 0$이면 노름에서 $v$로 수렴(converge)한다고 말합니다. 동등하게, 토폴로지는 열린 볼(balls)의 합집합으로 표시될 수 있는 모든 집합으로 구성됩니다. 만약 $(X,\|\cdot \|)$가 노름 공간이면 다음입니다:

$\|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y]$.

벡터 공간 $X$ 위에 두 노름 $\|\cdot \|_{\alpha }$와 $\|\cdot \|_{\beta }$는 만약 그것들이 같은 토폴로지를 유도하면 동등하다라고 불리며, 이것이 발생하는 것과 모든 $x\in X$에 대해 다음을 만족하는 양의 실수 C와 D가 존재하는 것은 필요충분 조건입니다: $$C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.$$

예를 들어, 만약 $\mathbb {C} ^{n}$ 위에 $p>r\geq 1$이면, $$\|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.$$

특히, $$\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}$$ $$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }$$ $$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },$$ 즉, $$\|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.$$

만약 벡터 공간이 유한-차원 실수 또는 복소수 공간이면, 모든 노름은 동등합니다. 다른 한편으로, 유한-차원 벡터 공간의 경우에서, 모든 노름이 동등한 것은 아닙니다.

동등한 노름은 연속성과 수렴의 같은 개념을 정의하고 많은 목적에 대해 구별될 필요가 없습니다. 더 정확하게 말하면 벡터 공간 위에 동등 노름에 의해 정의된 균등 구조는 균등하게 동형적(uniformly isomorphic)입니다.

Classification of seminorms: absolutely convex absorbing sets

Main article: Seminorm

벡터 공간 $X$ 위에 모든 반노름은 $X$의 절대적으로 볼록(absolutely convex) 흡수하는 부분집합(absorbing subset) A의 관점에서 분류될 수 있습니다. 각 그러한 부분집합은 A의 게이지(gauge)라고 불리는 반노름 p_A에 해당하며, 다음으로 정의됩니다: $$p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}$$

여기서 'inf'는 다음과 같은 속성을 갖는 하한(infimum)입니다: $$\left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.$$

반대로:

임의의 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간(locally convex topological vector space)은 절대적으로 볼록 집합으로 구성하는 지역적 기저(local basis)를 가집니다. 그러한 기저를 구성하는 공통적인 방법은 점을 분리하는(separates points) 반노름 p의 가족 (p)을 사용하는 것입니다: 집합 {p < 1/n}의 모든 유한 교집합의 모음은 모든 각 p가 연속(continuous)이 되도록 공간을 지역적으로 볼록 토폴로지적 벡터 공간으로 바꿉니다.

그러한 하나의 방법은 약한 및 약한* 토폴로지를 설계하기 위해 사용됩니다.

노름 경우:

이제 (p)가 단일 p를 포함한다고 가정합니다: (p)가 분리하는(separating) 것이기 때문에, p는 노름이고, $A=\{p<1\}$는 열린 단위 볼(unit ball)입니다. 그런-다음 A는 0의 절대적으로 볼록 경계진(bounded) 이웃이고, $p=p_{A}$는 연속입니다.

그 전환은 안드레이 콜모고로프(Andrey Kolmogorov)에 기인한 것입니다: 임의의 지역적으로 볼록 및 지역적으로 경계진 토폴로지적 벡터 공간은 노름-가능(normable)입니다. 정확하게:

만약 $X$가 0의 절대적으로 볼록 경계진 이웃이면, 게이지 $g_{X}$는 ($X=\{g_{X}<1\}$가 되도록) 하나의 노름입니다.

See also

• Asymmetric norm
• F-seminorm
• Gowers norm
• Kadec norm
• Mahalanobis distance
• Magnitude (mathematics)
• Matrix norm
• Minkowski distance
• Minkowski functional
• Operator norm
• Paranorm
• Relation of norms and metrics
• Seminorm
• Sublinear function

Bibliography

• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur certains espaces vectoriels topologiques [Topological Vector Spaces: Chapters 1–5]. Éléments de mathématique. Vol. 2. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190. {{cite book}}: |journal= ignored (help)
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
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• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
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