Cancelling out
상쇄(Cancelling out)는 수학적 표현(mathematical expression)으로부터 부분표현을, 부분표현이 같고 반대되는 효과를 가지기 때문에 이 제거가 표현의 의미 또는 값을 바꾸지 않을 때, 제거하는 것에 대해 사용되는 수학적(mathematical) 과정입니다. 예를 들어, 분수(fraction)는 분자(numerator)와 분모(denominator)의 공통 인수(common factor)를 상쇄함으로써 가장-낮은 항(lowest terms)으로 표시됩니다. 또 다른 예제로서, 만약 a×b=a×c이면, 곱셈의 항 a는 만약 a≠0이면 상쇄될 수 있으며, 결과적으로 동등한 표현 b=c를 초래합니다; 이것은 a로 나누는 것과 동등합니다.
Cancelling
만약 부분표현이 동일하지 않으면, 부분적으로 그것들을 상쇄하는 것이 여전히 가능할 수 있습니다. 예를 들어, 간단한 방정식 3 + 2y = 8y에서, 양쪽 변은 실제로 2y를 포함합니다 (왜냐하면 8y는 2y + 6y와 같기 때문입니다). 그러므로, 양쪽 변에서 2y를 상쇄하여, 3 = 6y, 또는 y = 0.5를 남길 수 있습니다. 이것은 양쪽 변에서 2y를 빼는 것과 동등합니다.
때때로, 상쇄는 방정식에 제한적인 변경 또는 여분의 해를 도입할 수 있습니다. 예를 들어, 부등식 ab ≥ 3b가 주어지면, 양쪽 변에서 b를 상쇄하여 a ≥ 3을 해로 제공할 수 있을 것처럼 보입니다. 그러나 이것처럼 '순진하게' 상쇄하는 것은 우리가 모든 해 (부등식을 만족시키는 (a, b)의 집합)을 얻지 못함을 의미할 것입니다. 이것은 만약 b가 음수(negative number)이면, 음수로 나누는 것이 ≥ 관계를 ≤ 관계로 변경하기 때문입니다. 예를 들어, 비록 2가 1보다 클지라도, −2는 −1보다 작습니다. 역시 만약 b가 영이면, 영 곱하기 어떤 것은 0이고 상쇄하는 것은 영에 의한 나눗셈(dividing by zero)을 의미할 것이므로 해당 경우에서 수행할 수 없습니다. 따라서 실제로, 연산을 상쇄하는 동안, 올바르게 상쇄하는 것은 단지 우리가 생각했었던 한 가지가 아니라, 세 가지 해의 집합으로 이어질 것입니다. 역시 '순진한' 해가 모든 경우가 아닌 일부 경우에서 단지 해임을 말해줍니다.
- 만약 b > 0이면: 우리는 상쇄하여 a ≥ 3를 얻을 수 있습니다.
- 만약 b < 0이면: 상쇄는 대신에 a ≤ 3를 제공하는데, 왜냐하면 이 경우에서 관계가 역전되어야 하기 때문입니다.
- 만약 b가 정확히 영이면: 그 방정식은 a의 임의의 값에 대해 참인데, 왜냐하면 양쪽 변은 영일 것이고, 0 ≥ 0이기 때문입니다.
따라서 상쇄가 정확하게 수행되고 어떤 해가 간과되거나 잘못된 것이 없는지 보증하기 위해 약간의 주의가 필요할 수 있습니다. 우리의 단순 부등식은 다음과 같은 세 가지 해 집합을 가집니다:
- b > 0이고 a ≥ 3 (예를 들어, b = 5이고 a = 6은 해인데 왜냐하면 6 x 5는 30, 3 x 5는 15이고, 30 ≥ 15이기 때문입니다)
또는 - b < 0이고 a ≤ 3 (예를 들어 b = –5이고 a = 2은 해인데 왜냐하면 2 x (–5)는 –10, 3 x (–5)는 –15이고, –10 ≥ –15이기 때문입니다)
또는 - b = 0 (및 a가 임의의 숫자일 수 있음) (왜냐하면 어떤 것 x 영 ≥ 3 x 영이기 때문입니다)
- b > 0이고 a ≥ 3 (예를 들어, b = 5이고 a = 6은 해인데 왜냐하면 6 x 5는 30, 3 x 5는 15이고, 30 ≥ 15이기 때문입니다)
우리의 '순진한' 해 (즉 a ≥ 3)는 역시 때때로 틀릴 수 있습니다. 예를 들어, 만약 b = –5이면 심지어 4 ≥ 3이더라도 a = 4는 해가 아닌데, 왜냐하면 4 × (–5)는 –20, 3 x (–5)는 –15이고, –20은 ≥ –15가 아니기 때문입니다.
In advanced and abstract algebra, and infinite series
보다 고급 수학에서, 상쇄는 무한 급수(infinite series)의 문맥에서 사용될 수 있으며, 그것의 항은 유한 합 또는 수렴 급수(convergent series)를 얻기 위해 상쇄될 수 있습니다. 이 경우에서, 용어 망원(telescoping)이 자주 사용됩니다. 상당한 주의와 오류의 방지가 수정된 방정식이 유효할 지를 보증하기 위해, 또는 그러한 급수의 본성으로 인해 그것이 경계 이내에서 유효할 지 경계(bounds)를 확립하기 위해 종종 필요합니다.
Related concepts and use in other fields
계산 과학(computational science)에서, 상쇄는 종종 수치적 알고리듬(numerical algorithm)의 정확도(accuracy)와 실행 시간(execution time)을 개선하는 것에 사용됩니다.
See also