Central moment

Original article: w:Central moment

확률 이론(probability theory)과 통계(statistics)에서, 중심 모멘트는 확률 변수의 평균(mean)에 대한 확률 변수(random variable)의 확률 분포(probability distribution)의 모멘트(moment)입니다; 즉, 그것은 평균에서 확률 변수의 편차의 지정된 정수 거듭제곱의 기댓값(expected value)입니다. 다양한 모멘트는 확률 분포의 속성이 유용하게 특성화될 수 있는 값의 하나의 집합을 형성합니다. 고차 중심 모멘트는 분포의 위치(location)가 아니라 오직 분포의 확산과 모양에 관련되기 때문에, 중심 모멘트는 영에서 대신에 평균에서 편차의 관점에서 계산되는 보통의 모멘트보다 우선적으로 사용됩니다.

중심 모멘트의 집합은 일변수 및 다변수 분포 둘 다에 대해 정의될 수 있습니다.

Univariate moments

실수-값 확률 변수(random variable) X의 평균(mean)에 대한 n번째 모멘트(moment) (또는 n번째 중심 모멘트)는 수량 μ_n := E[(X − E[X])ⁿ]이며, 여기서 E는 기대 연산자(expectation operator)입니다. 확률 밀도 함수(probability density function) f(x)를 갖는 연속(continuous) 일변수(univariate) 확률 분포(probability distribution)에 대해, 평균 μ에 대한 n번째 모멘트는 다음입니다:

$\mu _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.$

코시 분포(Cauchy distribution)와 같은 평균을 가지지 않는 확률 변수에 대해, 중심 모멘트는 정의되지 않습니다.

처음 몇 가지 중요한 모멘트는 직관적인 해석을 가집니다:

• "영 번째(zeroth)" 중심 모멘트 μ₀는 1입니다.
• 첫 번째 중심 모멘트 μ₁는 0입니다 (첫 번째 원시 모멘트(raw moment) 또는 기댓값(expected value) μ와 혼동하지 마십시오).
• 두 번째 중심 모멘트 μ₂는 분산(variance)이라고 불리고, 보통 σ²로 나타내며, 여기서 σ는 표준 편차(standard deviation)를 나타냅니다.
• 세 번째와 네 번째 중심 모멘트는 각각 기울어짐(skewness)과 뾰족(kurtosis)을 정의하기 위해 사용되는 표준화된 모멘트(standardized moment)를 정의하기 위해 사용됩니다.

Properties

n번째 중심 모멘트는 평행이동-불변입니다. 즉, 임의의 확률 변수 X와 임의의 상수 c에 대해, 우리는 다음을 가집니다:

$\mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X).\,$

모든 n에 대해, n번째 중심 모멘트는 차수 n의 동차(homogeneous)입니다:

$\mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,$

오직 n이 1, 2, 또는 3과 같음을 만족하는 n에 대해, 우리는 독립적(independent)인 확률 변수 X와 Y에 대해 덧셈성 속성을 가집니다:

$\mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,$ provided n ∈ {1, 2, 3}.

n번째 중심 모멘트와 평행이동-불변과 동차성 속성을 공유하지만, 심지어 n ≥ 4가 n번째 누적(cumulant) κ_n(X)일 때도 이 덧셈성 속성을 계속 가지는 관련된 함수형입니다. n = 1에 대해, n번째 누적은 바로 기댓값(expected value)입니다; n = 2 또는 3중 하나에 대해, n번째 누적은 바로 n번째 중심 모멘트입니다; n ≥ 4에 대해, n번째 누적은 (영에 대한) 처음 n 모멘트에서 n-차 일계수 다항식이고, 역시 처음 n 중심 모멘트에서 (더 간단한) n-차 다항식입니다.

Relation to moments about the origin

때때로 원점에 대한 모멘트를 평균에 대한 모멘트로 변환하는 것이 편리합니다. 원점에 대한 n-차 모멘트를 평균에 대한 모멘트로 변환하기 위한 일반적인 방정식은 다음입니다:

$\mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},$

여기서 μ는 분포의 평균이고, 원점에 대한 모멘트는 다음에 의해 제공됩니다:

$\mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.$

경우 n = 2, 3, 4에 대해 – 각각, 분산, 기울어짐, 및 뾰족에 대한 관계때문에 가장 흥미로운 것 – 이 공식은 다음이 됩니다 ($\mu =\mu '_{1}$ and $\mu '_{0}=1$임을 주목하십시오):

$\mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,$ which is commonly referred to as $\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}$

$\mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,$

$\mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,$

... 이런 식으로 계속되며, 파스칼의 삼각형을 따르는, 즉,

$\mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,$

왜냐하면 $5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}$이기 때문입니다.

다음 합은 복합 분포(compound distribution)를 가지는 확률 변수입니다:

$W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},$

여기서 $Y_{i}$는 같은 공통 분포를 공유하는 서로 독립 확률 변수이고 $M$는 자체 분포를 갖는 $Y_{k}$와 독립인 확률 정수 변수입니다. $W$의 모멘트는 다음으로 정의됩니다:

$\operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],$

여기서 $\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right]$는 $j=0$에 대해 영으로 정의됩니다.

Symmetric distributions

대칭 분포(symmetric distribution) (평균에 대한 반사된(reflected) 것에 의해 영향을 받지 않는 분포)에서, 모든 홀수 중심 모멘트는 영과 같은데, 왜냐하면 n번째 모멘트에 대해 공식에서. 평균보다 특정 총양만큼 작은 X 값을 포함하는 각 항은 평균보다 같은 총양만큼 큰 X의 값을 포함하는 항을 정확하게 상쇄되기 때문입니다.

Multivariate moments

확률 밀도 함수(probability density function) f(x,y)를 갖는 연속(continuous) 이변수(bivariate) 확률 분포(probability distribution)에 대해, 평균 μ = (μ_X, μ_Y)에 대한 (j,k) 모멘트는 다음입니다:

$\mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.$

Central moment of complex random variables

복소 확률 변수 X에 대해 n번째 중심 모멘트는 다음으로 정의됩니다:

$\alpha _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right],$

X의 절대 n번째 중심 모멘트는 다음으로 정의됩니다:

$\beta _{n}=\operatorname {E} \left[|(X-\operatorname {E} [X])|^{n}\right].$

2-차 중심 모멘트 β₂는 X의 분산(variance)이라고 불리고 반면에 2-차 중심 모멘트 α₂는 X의 유사-분산(pseudo-variance)입니다.

See also

• Standardized moment
• Image moment
• Normal distribution § Moments
• Complex random variable