Reflection (mathematics)

수학(mathematics)에서, 반사(reflection 또는 reflexion^[1])는 고정 점(fixed point)의 집합으로 초평면(hyperplane)을 가진 등거리-변환(isometry)인 유클리드 공간(Euclidean space)에서 자체로의 매핑(mapping)입니다; 이 집합은 (이차원에서) 반사의 축(axis) 또는 (삼차원에서) 반사의 평면(plane)으로 불립니다. 반사에 의한 그림의 이미지는 반사의 축 또는 평면에서 그것의 거울 이미지(mirror image)입니다. 예를 들어 작은 라틴 문자 p의 거울 이미지는 수직축에 관한 반사에 관해 q처럼 보일 수 있습니다. 수평축에서 반사에 의한 그것의 이미지는 b처럼 보일 수 있습니다. 반사는 인볼루션(involution)입니다: 연속으로 두 번 적용될 때, 모든 각 점은 그것의 원래 위치로 반환되고, 모든 각 기하학적 대상은 그것의 원래 상태로 복원됩니다.

용어 반사는 유클리드 공간에서 자체로의 매핑의 더 큰 클래스, 즉 인볼루션인 비-항등 등거리-변환에 대해 때때로 사용됩니다. 그러한 등거리-변환은, 아핀 부분-공간(affine subspace)이지만, 아마도 초평면보다 다 작은 고정된 점 ("거울")의 집합을 가집니다. 예를 들어 한 점을 통한 반사(reflection through a point)는 단지 하나의 고정된 점을 가진 인볼루션의 등거리-변환입니다; 그것 아래에 있는 문자 p의 이미지는 d처럼 보일 수 있습니다. 이 연산은 중앙 반전(central inversion)으로 역시 알려져 있고 (Coxeter 1969, §7.2), 대칭 공간(symmetric space)으로 유클리드 공간을 나타냅니다. 유클리드 벡터 공간(Euclidean vector space)에서, 원점에 위치해 있는 점에서 반사는 벡터 부정과 같습니다. 다른 예제는 삼-차원 공간의 직선에서 반사를 포함합니다. 전형적으로, 어쨌든, 용어 "반사"의 적법하지 않은 사용은 초평면(hyperplane)에서 반사를 의미합니다.

반사를 거쳐 변화하지 않는 그림은 반사의 대칭(reflectional symmetry)을 가지는 것으로 말합니다.

일부 수학자들은 "reflection"에 대한 동의어로 "flip"을 사용합니다.^[2]^[3]^[4]

Construction

Point $Q$ is the reflection of point $P$ through the line $AB$ .

평면 (또는 각각, 3-차원) 기하학에서, 한 점의 반사를 찾기 위해 그 점에서 반사에 사용된 직선 (평면)에 수직(perpendicular)으로 떨어뜨리고 반대 편에서 같은 거리로 확장합니다. 그림의 반사를 찾기 위해, 그림의 각 점을 반사하십시오.

컴퍼스와 직선자(compass and straightedge)를 사용하여 직선 $AB$ 를 통해 점 $P$ 를 반사하기 위해, 다음과 같이 진행하십시오 (그림을 참조하십시오):

단계 1 (빨간색): $P$ 로부터 등거리(equidistant)에 있어야 할, 직선 $AB$ 에 점 $A'$ 및 $B'$ 를 생성하기 위해 $P$ 에 중심을 두고 어떤 고정된 반지름 $r$ 을 갖는 원(circle)을 구성하십시오.
단계 2 (녹색): 반지름 $r$ 을 갖는 $A'$ 및 $B'$ 에 중심을 둔 원을 구성하십시오. $P$ 및 $Q$ 는 이들 두 원의 교차의 점이 될 것입니다.

점 $Q$ 는 직선 $AB$ 를 통한 점 $P$ 의 반사입니다.

Properties

A reflection across an axis followed by a reflection in a second axis not parallel to the first one results in a total motion that is a rotation around the point of intersection of the axes, by an angle twice the angle between the axes.

반사에 대해 행렬(matrix)은 행렬식(determinant) −1과 고윳값(eigenvalue) −1, 1, 1, ..., 1과 직교(orthogonal)합니다. 두 그러한 행렬의 곱은 회전을 나타내는 특수 직교 행렬입니다. 모든 각 회전(rotation)은 원점을 통해 초평면에서 반사의 짝수에서 반사의 결과이고, 모든 각 부적절한 회전(improper rotation)은 홀수에서 반사하는 것의 결과입니다. 따라서 반사는 직교 그룹(orthogonal group)을 생성하고, 이 결과는 카르탕–디외도네 정리(Cartan–Dieudonné theorem)로 알려져 있습니다.

유사하게, 유클리드 공간의 모든 등거리-변환으로 구성된 유클리드 그룹(Euclidean group)은 아핀 초평면에서 반사에 의해 생성됩니다. 일반적으로, 아핀 초평면에서 반사에 의해 생성된 그룹(group)은 반사 그룹(reflection group)으로 알려져 있습니다. 이 방법으로 생성된 유한 그룹(finite group)은 콕서터 그룹(Coxeter group)의 예제입니다.

Reflection across a line in the plane

이-차원(two dimensions)에서 원점을 통한 직선을 가로지르는 반사는 다음 공식에 의해 설명될 수 있습니다:

\operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}l-v,

여기서 $v$ 는 반사될 벡터를 나타내며, $l$ 은 반사가 수행된 것을 가로지르는 직선에서 임의의 벡터를 나타내고, $v\cdot l$ 는 $l$ 과 함께 $v$ 의 점 곱(dot product)을 나타냅니다. 위의 공식은 다음으로 역시 쓸 수 있음을 주목하십시오:

\operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,

$l$ 을 가로지르는 $v$ 의 반사는 2 곱하기 $l$ 위의 $v$ 의 투영(projection), 빼기 벡터 $v$ 와 같다고 말합니다. 직선에서 반사는 1, 및 −1의 고윳값을 가집니다.

Reflection through a hyperplane in n dimensions

유클리드 공간(Euclidean space) $\mathbb {R} ^{n}$ 에서 벡터 $v$ 가 주어지면, $a$ 에 직교(orthogonal), 원점을 통한 초평면(hyperplane)에서 반사에 대해 공식은 다음에 의해 주어집니다:

\operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,

여기서 $v\cdot a$ 는 $a$ 와 함께 $v$ 의 점 곱(dot product)입니다. 위의 방정식에서 두 번째 항은 단지 $v$ 의 $a$ 위로의 벡터 투영(vector projection)의 두 배임을 주목하십시오. 우리는 다음임을 쉽게 점검할 수 있습니다:

만약 $v$ 가 $a$ 에 평행이면, $Ref a (v) = - v$ 이고,
만약 $v$ 가 $a$ 에 수직이면, $Ref a (v) = v$ 입니다.

기하 곱(geometric product)을 사용하면, 수식은 다음입니다:

\operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.

이들 반사는 원점을 고정시키는 유클리드 공간의 등거리-변환이므로 그들은 직교 행렬(orthogonal matrices)로 나타낼 수 있습니다. 위의 반사에 대응하는 직교 행렬은 그의 엔트리가 다음인 행렬(matrix)입니다:

R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},

여기서 $δ ij$ 는 크로네커 델타(Kronecker delta)입니다.

원점을 통과하지 않는 아핀 초평면 $v\cdot a=c$ 에서 반사에 대해 그 공식은 다음입니다:

\operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.

Notes

^ "Reflexion" is an archaic spelling.[1]
^ Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media, p. 251
^ Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th ed.), Cengage Learning, p. 32
^ Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course, American Mathematical Society, p. 6

References

Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
Popov, V.L. (2001) [1994], "Reflection", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Weisstein, Eric W. "Reflection". MathWorld.

External links

Reflection in Line at cut-the-knot
Understanding 2D Reflection and Understanding 3D Reflection by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.

[1] "Reflexion" is an archaic spelling.[1]

[2] Childs, Lindsay N. (2009), A Concrete Introduction to Higher Algebra (3rd ed.), Springer Science & Business Media, p. 251

[3] Gallian, Joseph (2012), Contemporary Abstract Algebra (8th ed.), Cengage Learning, p. 32

[4] Isaacs, I. Martin (1994), Algebra: A Graduate Course, American Mathematical Society, p. 6

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