Characterization (mathematics)
수학(mathematics)에서, 대상의 특성화(characterization)는 대상의 정의와는 다르지만, 그것과 논리적으로 동등한 조건의 집합입니다.[1] "속성 P가 대상 X를 특징짓는다"라고 말하는 것은 X가 속성(property) P를 가질 뿐만 아니라 X가 속성 P를 갖는 유일한 것 (즉, P는 X의 정의하는 속성임)이라는 말하는 것입니다. 유사하게, 속성 P의 집합은 이들 속성이 X를 모든 다른 대상과 구별할 때 X를 특징짓는다고 합니다. 심지어 특성화가 대상을 고유한 방법에서 식별하더라도, 여러 특성화가 단일 대상에 대해 존재할 수 있습니다. P의 관점에서 X의 특성화에 대한 공통적인 수학적 표현은 "P는 X에 대해 필요와 충분입니다"("P is necessary and sufficient for X"), 및 "X가 유지되는 것과 P인 것을 필요충분(iff) 조건입니다"("X holds if and only if P")를 포함합니다.
"속성 Q는 Y를 동형(isomorphism)까지(up to) 특징짓는다"와 같은 문장을 찾는 것도 공통적입니다. 첫 번째 유형의 명제는 다른 단어에서 P의 확장(extension)이 한원소 집합이라고 말하지만, 두 번째 유형은 Q의 확장이 단일 동치 클래스라(equivalence class)고 말합니다 (동형에 대해, 주어진 예제에서 — 까지(up to)가 사용되는 방법에 의존합니다, 일부 다른 동치 관계(equivalence relation)가 포함될 수 있습니다).
수학 용어에 대한 참조는 특성(characteristic)이 "뾰족한 말뚝"을 의미하는 그리스어 kharax에서 유래했다고 언급합니다:
"그리스어 kharax에서 물건을 표시하거나 새기는 데 사용되는 도구인 kharakhter가 나왔습니다. 일단 대상에 표시를 하면, 그것은 독특하게 되므로, 무언가의 특성은 독특한 본성을 의미하게 되었습니다. 후기 그리스어 접미사 -istikos는 명사 character을 형용사 characteristic으로 변환했으며, 이는 형용사 의미를 유지하는 것 외에도 나중에 명사가 되었습니다."[2]
화학에서, 재료의 특성 속성이 표본을 식별하는 역할을 하거나, 재료 연구에서, 구조와 속성이 특성화를 결정하는 것처럼, 수학에서 이론 또는 시스템에서 원했던 특질을 구별하는 속성을 표현하기 위한 지속적인 노력이 있습니다. 특성화는 수학에만 국한되지 않지만, 과학은 추상적이기 때문에, 많은 활동을 "특성화"로 설명할 수 있습니다. 예를 들어, Mathematical Reviews에서, 2018년 기준, 24,000개 이상의 기사에 기사 제목에 그 단어를 포함하고 있고, 93,600개 이상의 검토에 그 단어를 포함하고 있습니다.
대상과 특질의 임의적인 맥락에서, 특성화는 이종 관계(heterogeneous relation) aRb를 통해 표현되어 왔으며, 이는 대상 a가 특질 b를 가진다는 것을 의미합니다. 예를 들어 b는 추상적이거나 구체적일 수 있습니다. 대상은 세계의 확장(extensions)으로 고려될 수 있지만, 특질은 의도(intensions)의 표현입니다. 다양한 대상의 특성화 프로그램을 계속하면 그것들의 카테고리화(categorization)로 이어집니다.
Examples
- 일반적으로 두 정수의 비율(ratio)로 정의되는 유리수(rational number)는 유한하거나 반복하는 십진 전개(decimal expansion)을 갖는 숫자로 특징지을 수 있습니다.[1]
- 평행사변형(parallelogram)은 마주보는 변이 평행한 사변형(quadrilateral)입니다. 그 특성 중 하나는 대각선이 서로를 이등분한다는 것입니다. 이것은 모든 평행사변형에서 대각선이 서로를 이등분한다는 것을 의미하고, 반대로 대각선이 서로를 이등분하는 모든 사변형은 평행사변형이어야 합니다. 후자의 명제는 사변형에 대한 포괄적인 정의가 사용되는 경우에만 사실이며 (예를 들어, 직사각형(rectangles)이 평행사변형으로 계산되도록), 오늘날 수학에서 대상을 정의하는 지배적인 방법입니다.
- "실수 직선 위에 0부터 ∞까지의 구간에 대한 확률 분포 중, 기억없음성(memorylessness)은 지수 분포(exponential distributions)를 특징으로 합니다." 이 명제는 지수 분포가 기억-없음인 유일한 확률 분포라는 것을 의미하며, 그 분포가 위에서 정의한 대로 연속이라는 조건 아래에서 그렇습니다 (자세한 내용에 대해 확률 분포의 특성화(Characterization of probability distributions)를 참조).
- "보어–몰러럽 정리(Bohr–Mollerup theorem)에 따르면, f(1) = 1과 x > 0에 대해 x f(x) = f(x + 1)임을 만족하는 모든 함수 f 중에서, 로그-볼록성은 감마 함수(gamma function)를 특징짓습니다." 이것은 모든 그러한 함수 중에서 감마 함수가 로그-볼록인 유일한 것임을 의미합니다.[3]
- 원은 일-차원적, 컴팩트(compact)이고 연결된(connected) 것에 의한 매니폴드(manifold)로 특징짓습니다; 여기서 매끄러운 다양체로서의 특성화는 미분-동형(diffeomorphism)까지(up to)입니다.
See also
- Characterization of probability distributions
- Characterizations of the category of topological spaces
- Characterizations of the exponential function
- Characteristic (algebra)
- Characteristic (exponent notation)
- Classification theorem
- Euler characteristic
- Character (mathematics)
References
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Characterization". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-11-21.
- ^ Steven Schwartzmann (1994) The Words of Mathematics: An etymological dictionary of mathematical terms used in English, page 43, The Mathematical Association of America ISBN 0-88385-511-9
- ^ A function f is log-convex if and only if log(f) is a convex function. The base of the logarithm does not matter as long as it is more than 1, but mathematicians generally take "log" with no subscript to mean the natural logarithm, whose base is e.