Minor (linear algebra)

선형 대수(linear algebra)에서, 행렬 A의 소행렬식(minor)은 행과 열 중 하나 이상을 제거함으로써 A에서 잘라낸 더 작은 정사각 행렬의 행렬식(determinant)입니다. 정사각 행렬에서 하나의 행과 하나의 열만 제거함으로써 얻은 소행렬식(첫 번째 소행렬식)은 행렬 여인수(cofactors)를 계산하는 데 필요하며, 이는 차례로 정사각형 행렬의 행렬식과 역(inverse)을 모두 계산하는 데 유용합니다. 정사각 행렬이 원래 행렬보다 작아야 한다는 요구 사항은 종종 정의에서 생략됩니다.

Definition and illustration

First minors

만약 A가 정사각 행렬이면, i-번째 행과 j-번째 열에 있는 엔트리의 소행렬식 ((i, j) 소행렬식, 또는 첫 번째 소행렬식이라고 함^[1])은 i-번째 행과 j-번째 열을 삭제함으로써 형성된 부분행렬(submatrix)의 행렬식(determinant)입니다. 이 숫자는 종종 M_i,j로 표시됩니다. (i, j) 여인수는 소행렬식에 $(-1)^{i+j}$ 를 곱함으로써 구합니다.

이들 정의를 설명하기 위해, 다음 3x3 행렬을 생각해 보십시오:

{\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}

소행렬식 M_2,3과 여인수 C_2,3을 계산하기 위해, 위 행렬에서 행 2와 열 3을 제거한 행렬의 행렬식을 찾습니다:

M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13

따라서, (2,3) 엔트리의 여인수는 다음과 같습니다:

\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.

General definition

A를 m × n 행렬이라고 놓고 k를 0 < k ≤ m, 및 k ≤ n를 갖는 정수(integer)라고 놓습니다. A의 k × k 소행렬식은, 역시 A의 차수 k의 소행렬 행렬식 또는, 만약 m = n이면, A의 (n−k)번째 소행렬 행렬식이라고 불림 (단어 "행렬식"은 종종 생략되고, 한글에서는 생략될 때 소행렬 대신 소행렬식으로 표시됩니다), A에서 m−k 행과 n−k 열을 삭제함으로써 얻은 k × k 행렬의 행렬식입니다. 때때로 그 용어는 위와 같이 (m−k 행과 n−k 열을 삭제함으로써) A로부터 얻은 k × k 행렬을 참조하기 위해 사용되지만, 이 행렬은 A의 (정사각) 부분행렬이라고 참조되어야 하며, 이 행렬의 행렬식을 참조하기 위해 "소행렬(minor)"라는 용어를 남겨 두어야 합니다. 위와 같은 행렬 A에 대해, 크기 k × k의 총 ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ 개의 소행렬식이 있습니다. 차수 영의 소행렬식은 종종 1로 정의됩니다. 정사각 행렬에 대해, 영-번째 소행렬식은 행렬의 행렬식일 뿐입니다.^[2]^[3]

$1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ 와 $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ 를 인덱스를 각각 I와 J라고 부르는 그것의 순서화된 수열이라고 놓습니다 (달리 명시되지 않은 한, 소행렬식에 대해 이야기할 때 항상 가정되는 자연스러운 순서입니다). 이들 인덱스 선택에 해당하는 소행렬식 ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ 은 소스에 따라 $\det _{I,J}A$ 또는 $\det A_{I,J}$ 또는 $[A]_{I,J}$ 또는 $M_{I,J}$ 또는 $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ 또는 $M_{(i),(j)}$ 로 표시됩니다 (여기서 $(i)$ 는 인덱스 I의 수열을 나타내며, 이런 식입니다). 역시, 문헌에서 사용되는 두 가지 유형의 표기법이 있습니다: 인덱스 I 및 J의 순서화된 수열과 결합된 소행렬식에 의해, 일부 저자는^[4] 원래 행렬의 원소를 인덱스가 I에 있는 행과 인덱스가 J에 있는 열로부터 취함으로써 위와 같이 형성된 행렬의 행렬식을 의미하고, 반면에 일부 다른 저자는 I에서 행과 J에서 열을 삭제함으로써 원래 행렬에서 형성된 행렬의 I 및 J 행렬식에 결합된 소행렬식을 의미합니다.^[2] 어떤 표기법 사용 여부는 질문에서 출처로부터 항상 확인되어야 합니다. 이 기사에서, I의 행과 J의 열에서 원소를 선택하는 포함한 정의를 사용합니다. 예외적인 경우는 위에서 설명한 첫 번째 소행렬식 또는 (i, j)-소행렬식의 경우입니다; 이 경우에서, 배타적 의미 ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ 는 문헌에서 모든 곳에서 표준이고 이 기사에서도 사용됩니다.

Complement

정사각 행렬 A의 소행렬식 M_{ijk...,pqr...}의 여 B_{ijk...,pqr...}은 M_{ijk...,pqr...}와 결합된 모든 행 (ijk...)과 열 (pqr...)이 제거된 행렬 A의 행렬식에 의해 형성됩니다. 원소 a_ij의 첫 번째 소행렬식의 여는 단지 해당 원소일 뿐입니다.^[5]

Applications of minors and cofactors

Cofactor expansion of the determinant

여인수는 행렬식의 확장에 대한 라플라스의 공식(Laplace's formula)에서 두드러지게 특색을 이루며, 이는 더 작은 행렬식의 관점에서 더 큰 행열식을 계산하는 방법입니다. n × n 행렬 $A=(a_{ij})$ 가 주어졌을 때, det(A)로 표시되는 A의 행렬식은 행렬의 임의의 행 또는 열의 여인수의 합과 이를 생성한 엔트리를 곱한 값으로 쓸 수 있습니다. 다시 말해, $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 를 정의한 다음 j-번째 열을 따라 여인수 확장은 다음을 제공됩니다:

\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}

i-번째 행을 따라 여인수 전개는 다음을 제공합니다:

\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}

Inverse of a matrix

다음과 같이 크라메르의 규칙(Cramer's rule)을 사용함으로써 여인수를 계산함으로써 역-가능 행렬(invertible matrix)의 역을 작성할 수 있습니다. 정사각 행렬 A의 모든 여인수에 의해 형성된 행렬은 여인수 행렬이라고 불립니다 (여인수의 행렬 또는, 때때로 여행렬(comatrix)이라고도 불립니다):

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}

그런-다음 A의 역은 A의 행렬식의 역수를 곱한 여인수 행렬의 전치입니다:

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

여인수 행렬의 전치는 A의 수반(adjugate) 행렬이라고 불립니다 (고전적 인접(classical adjoint)이라고도 불립니다).

위의 공식은 다음처럼 일반화될 수 있습니다: $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ 와 $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ 를 인덱스의 (자연스러운 순서에서) 순서화된 수열이라고 놓습니다 (여기서 A는 n × n 행렬입니다). 그런-다음^[6]

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},

여기서 $I',J'$ 는 모든 각 인덱스 1, ..., n이 $I$ 또는 $I'$ 에 정확히 한 번 나타나지만, 둘 다에는 나타나지 않도록 $I,J$ 에 보완적인 인덱스의 순서화된 수열 (인덱스는 위와 같이 크기의 자연적인 순서에 있음)을 나타내고 ( $J$ 및 $J'$ 에 대해 유사함), $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ 는 인덱스 집합 $I$ 의 행과 인덱스 집합 $J$ 의 열을 선택함으로써 형성된 A의 부분행렬의 행렬식을 나타냅니다. 역시, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$ . 간단한 증명은 쐐기 곱을 사용하여 제공될 수 있습니다. 실제로,

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},

여기서 $e_{1},\ldots ,e_{n}$ 는 기저 벡터입니다. 양쪽 변에 A에 의해 작용하여, 다음을 얻습니다

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).

부호는 $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ 로 풀릴 수 있으므로, 부호는 $I$ 와 $J$ 에서 원소의 합에 의해 결정됩니다.

Other applications

실수 엔트리 (또는 임의의 다른 필드에서 엔트리)와 랭크 r을 갖는 m × n 행렬이 주어졌을 때, 적어도 하나의 비-영 r × r 소행렬식이 존재하지만, 모든 더 큰 소행렬식은 영입니다.

소행렬식에 대해 다음 표기법을 사용합니다: A가 m × n 행렬이고, $I$ 는 $k$ 원소를 갖는 {1,...,m}의 부분집합이고, $J$ 는 $k$ 원소를 갖는 {1,...,n}의 부분집합이면, $I$ 에서 인덱스를 갖는 행과 $J$ 에서 인덱스를 갖는 열에 해당하는 A의 k × k 소행렬식에 대해 [A]_I,J를 씁니다.

만약 $I=J$ 이면, [A]_I,J는 주요 소행렬식(principal minor)이라고 불립니다.
만약 주요 소행렬식에 해당하는 행열이 더 큰 행렬의 정사각 위쪽-왼쪽 부분행렬이면 (즉, 그것이 1과 k까지 행과 열에서 행렬 원소로 구성되며, 선행 주요 부분행렬이라고도 알려져 있음), 주요 소행렬식은 (차수 k의) 선행 주요 소행렬식 또는 (차수 k의) 모서리 (주요) 소행렬식이라고 불립니다.^[3] n × n 정사각 행렬에 대해, n 선행 주요 소행렬식이 있습니다.
행렬의 기본 소행렬식(basic minor)은 비-영 행렬식을 갖는 최대 크기의 정사각 부분행렬의 행렬식입니다.^[3]
에르미트 행렬(Hermitian matrices)에 대해, 선행 주요 소행렬식은 양수 한정성(positive definiteness)을 테스트하기 위해 사용될 수 있고 주요 소행렬식은 양수 반한정성(positive semidefiniteness)을 테스트하기 위해 사용될 수 있습니다. 자세한 내용에 대해 실베스터의 기준(Sylvester's criterion)을 참조하십시오.

보통의 행렬 곱셈(matrix multiplication)에 대한 공식과 두 행렬 곱의 행렬식에 대한 코시–비네 공식(Cauchy–Binet formula)은 두 행렬의 곱의 소행렬식에 대한 다음 일반적인 명제의 특수한 경우입니다. A는 m × n 행렬이고, B는 n × p 행렬이고, $I$ 는 $k$ 원소를 갖는 {1,...,m}의 부분집합이고 $J$ 는 {1,...,p}의 부분집합이라고 가정합니다. 그런-다음

[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,

여기서 합은 $k$ 원소를 갖는 {1,...,n}의 모든 부분집합 $K$ 에 걸쳐 확장됩니다. 이 공식은 코시–비네 공식의 간단한 확장입니다.

Multilinear algebra approach

소행렬식의 보다 시스템적, 대수적인 처리는 쐐기 곱(wedge product)을 사용하여 다중-선형 대수(multilinear algebra)에서 제공됩니다: 행렬의 $k$ -소행렬식은 $k$ -번째 외부 거듭제곱(exterior power) 맵의 엔트리입니다.

만약 행렬의 열이 한 번에 $k$ 개로 함께 밀어넣으면, k × k개의 소행렬식은 결과 $k$ -벡터의 구성 요소로 나타납니다. 예를 들어, 다음 행렬의 2 × 2 소행렬식은

{\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}

−13 (처음 2개의 행), −7 (처음과 마지막 행), 및 5 (마지막 2개의 행)입니다. 이제 쐐기 곱을 생각해 보십시오:

(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})

여기서 두 표현은 행렬의 두 열에 해당합니다. 쐐기 곱의 속성, 즉, 쌍선형(bilinear)과 교대(alternating)하는 속성을 사용하여,

\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,

그리고 반대칭(antisymmetric)을 사용하여,

\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},

이 표현을 다음과 같이 단순화할 수 있습니다:

-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}

여기서 계수는 이전에 계산된 소행렬식과 일치합니다.

A remark about different notation

일부 책에서, cofactor 대신 adjunct라는 용어가 사용됩니다.^[7] 게다가, 그것은 A_ij로 표시되고 여인수와 같은 방법으로 정의됩니다:

\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}

이 표기법을 사용하여, 역행렬은 다음과 같이 작성됩니다:

\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}

adjunct는 adjugate 또는 adjoint가 아님을 명심하십시오. 현대 용어에서, 행렬의 "adjoint"는 해당 adjoint operator를 가장 자주 나타냅니다.

References

^ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
^ ^a ^b Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
^ ^a ^b ^c "Minor". Encyclopedia of Mathematics.
^ Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
^ Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
^ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
^ Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,

External links

MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
PlanetMath entry of Cofactors
Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

[1] Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.

[Hohn-2] Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1

[Encyclopedia_of_Mathematics-3] "Minor". Encyclopedia of Mathematics.

[4] Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9

[5] Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.

[Prasolov1994-6] Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). Problems and Theorems in Linear Algebra. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.

[7] Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,

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