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Combinatorics

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Original article: wikipedia:Combinatorics
Not to be confused with combinatoriality.
"Combinatorial" redirects here. For combinatorial logic in computer science, see Combinatorial logic.

조합론(Combinatorics)은, 결과를 얻는 것에서 수단과 목적으로, 및 유한(finite) 구조(structures)의 특정 속성 둘 다에서, 세는 것과 주로 관련된 수학(mathematics)의 영역입니다. 그것은 수학의 많은 다른 분야와 밀접하게 관련되고, 진화 생물학(evolutionary biology)에서 컴퓨터 과학(computer science)에 이르기까지, 논리학(logic)에서 통계 물리학(statistical physics)에 이르기까지 많은 응용을 가집니다.

조합론(combinatorics)의 전체 범위는 보편적으로 합의되지 않았습니다.[1] 허버트 존 라이저(H. J. Ryser)에 따르면, 주제의 정의는 어려운데 왜냐하면 그것은 너무 많은 수학적 하위-분야를 교차하기 때문입니다.[2] 그것이 다루는 영역이 문제의 유형에 의해 설명될 수 있는 한, 조합론은 다음을 포함됩니다:

  • 지정된 구조의 열거(enumeration) (세는 것), 유한 시스템과 결합된, 매우 일반적인 의미에서 배열 또는 구성으로써 때때로 참조됨,
  • 특정 주어진 기준을 만족시키는 그러한 구조의 존재(existence),
  • 아마도 많은 방법에서, 이들 구조의 건설(construction), 그리고
  • "가장 큰", "가장 작은" 또는 다른 최적화 기준을 만족시키는, 여러 가지 가능성 중에서 "최상의" 구조 또는 해결책을 찾는 것에 대해, 최적화(optimization).

레온 미르스키(Leon Mirsky)는 다음과 같이 말했습니다: "조합론은, 무언가 공통점을 가지고 있고 그들의 목적, 그들의 방법, 및 그들이 달성하려는 일관성의 정도에 따라 광범위하게 엇갈리는, 연계된 연구의 범위입니다."[3] 조합론을 정의하는 한 가지 방법은, 아마도, 그들의 문제와 기법을 가진 그것의 하위-분야을 묘사하는 것입니다. 이것은 아래에서 사용되는 접근 방식입니다. 어쨌든, 조합론적 우산 아래에서 일부 주제를 포함하거나 포함하지 않는 것에 대한 역시 순수한 역사적 이유가 있습니다.[4] 비록 유한 시스템과 주로 관련이 있지만, 일부 조합론적 질문과 기법은 무한이지만 (구체적으로, 셀-수-있는(countable)) 이산(discrete) 설정으로 확장될 수 있습니다.

조합론은, 그것이 부딪히는 문제의 폭이 넓은 것으로 잘 알려져 있습니다. 조합론적 문제는 순수 수학(pure mathematics)의 많은 분야, 특히 대수학(algebra), 확률 이론(probability theory), 토폴로지(topology) 및 기하학(geometry),[5] 마찬가지로 그것의 많은 응용 분야에서 발생합니다. 많은 조합론적 질문이 격리되어 역사적으로 고려되어 왔으며, 일부 수학적 맥락에서 발생하는 문제에 대한 애드 혹(ad hoc) 해결책을 제공합니다. 20세기 후반에, 어쨌든, 강력하고 일반적인 이론적 방법이 개발되어졌으며, 조합론을 수학의 독자적인 분야로 만들었습니다.[6] 조합론의 가장 오래되고 접근하기 쉬운 부분 중 하나는, 그 자체로 다른 영역과 많은 자연스러운 연결을 가진, 그래프 이론(graph theory)입니다. 조합론은 알고리듬의 분석(analysis of algorithms)에서 공식과 추정치를 얻기 위해 컴퓨터 과학에서 자주 사용됩니다.

조합론을 연구하는 수학자(mathematician)는 조합론자라고 불립니다.

History

An example of change ringing (with six bells), one of the earliest nontrivial results in graph theory.
Main article: History of combinatorics

기본 조합론적 개념과 열거 결과는 고대 세계(ancient world) 구석구석에 나타났습니다. 기원전 6세기에서, 고대 인도(ancient Indian)의 내과-의사(physician) 수슈르타(Sushruta)는 수슈르타 사미타(Sushruta Samhita)에서 63 조합이 6 가지 다른 맛에서 만들어질 수 있다고 주장하며, 한 번에 하나씩, 한 번에 두 개씩, 등으로, 따라서 모든 26 − 1 가능성을 계산합니다. 그리스 역사가 플루타르코스(Plutarch)는 크리시피우스(Chrysippus) (기원전 3세기)와 히파르코스(Hipparchus) (기원전 2세기) 사이의 다소 섬세한 열거 문제의 논증을 토론합니다. 그 문제는 나중에 슈뢰더–히파르코스 숫자(Schröder–Hipparchus number)와 관련되는 것으로 나타났습니다.[7][8] Ostomachion에서, 아르키메데스(Archimedes) (기원전 3세기)는 타일링 퍼즐(tiling puzzle)을 고려합니다.

중세 시대(Middle Ages)에서, 조합론은 주로 유럽 문명(European civilization) 밖에서 계속 연구되었습니다. 인도(India)의 수학자 마하비러(Mahāvīra) (c. 850)는 순열(permutation)과 조합(combination)의 숫자에 대해 공식을 제공했었고,[9][10] 이들 공식은 일찍이 6세기 CE부터 인도 수학자에게 익숙했을 것입니다.[11] 철학자(philosopher)이자 천문학자(astronomer) 롸바이 아브라함 이븐 에즈라(Abraham ibn Ezra) (c. 1140)는 이항 계수(binomial coefficient)의 대칭을 확립했지만, 닫힌 공식은 나중에 탈무드주의자(talmudist)이자 수학자(mathematician) 레비 벤 게르손(Levi ben Gerson) (게르소니데스(Gersonides)로 더 잘 알려져 있음)이 1321년에 얻었습니다.[12] 산술 삼각형–이항 계수 사이의 관계를 보여주는 그래픽 다이어그램–은 10세기까지 거슬러 올라가는 논문에서 수학자에 의해 제시되었었고, 결국 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)으로 알려지게 됩니다. 나중에, 중세 영국(Medieval England)에서, 캠퍼날러지(campanology)는 순열에 대한 특정 케일리 그래프(Cayley graph)에서 현재 해밀턴 순환(Hamiltonian cycle)으로 알려진 예제를 제공했습니다.[13][14]

르네상스(Renaissance) 동안, 수학과 과학의 나머지 부분과 함께, 조합론은 재탄생을 즐겼습니다. 파스칼(Pascal), 뉴턴(Newton), 야콥 베르누이(Jacob Bernoulli) 및 오일러(Euler)의 연구는 신흥 분야에서 기초가 되었습니다. 현 시대에서, 조지프 실베스터(J.J. Sylvester) (19세기 후반)와 퍼시 맥메이헌(Percy MacMahon) (20세기 초반)은 열거적(enumerative) 및 대수적 조합론(algebraic combinatorics)의 기반을 마련하는 데 기여했습니다. 그래프 이론(Graph theory)은 특히 네 가지 색깔 문제(four color problem)와 관련하여 동시에 폭발적인 관심을 역시 받았습니다.

20세기 후반부에서, 조합론은 급속한 성장을 보였고, 이것은 그 주제에서 수십 개의 새로운 저널과 컨퍼런스의 설립으로 이어졌습니다.[15] 부분적으로, 그 성장은 대수학에서 확률론, 함수형 해석학(functional analysis)에서 숫자 이론(number theory), 등에 이르기까지 다른 분야에 대한 새로운 연결과 응용에 의해 촉진되었습니다. 이들 연결은 조합론과 수학 및 이론적 컴퓨터 과학 일부 사이의 경계를 허 물었지만, 동시에 필드의 부분적인 파편화로 이어졌습니다.

Approaches and subfields of combinatorics

Enumerative combinatorics

Five binary trees on three vertices, an example of Catalan numbers.
Main article: Enumerative combinatorics

열거적 조합론은 조합론의 가장 고전적인 영역이고 특정 조합론적 대상의 숫자를 세는 데 집중합니다. 비록 집합에서 원소의 숫자를 세는 것은 다소 광범위한 수학적 문제(mathematical problem)이지만, 응용에서 발생하는 많은 문제는 상대적으로 간단한 조합론적 설명을 가집니다. 피보나치 숫자(Fibonacci numbers)는 열거적 조합론에서 문제의 기본 예제입니다. 열두겹 방법(twelvefold way)은 순열(permutations), 조합(combinations) 및 분할(partitions)을 세는 것에 대해 통합된 프레임워크를 제공합니다.

Analytic combinatorics

Main article: Analytic combinatorics

해석적 조합론(Analytic combinatorics)은 복소 해석학(complex analysis)과 확률 이론(probability theory)의 도구를 사용하여 조합 구조의 열거에 관계합니다. 명시적 조합론적 공식과 결과를 설명하기 위해 생성 함수(generating functions)를 사용하는 열거적 조합론과 달리, 해석적 조합론은 점근적 공식(asymptotic formulae)을 얻는 것을 목표로 합니다.

Partition theory

A plane partition.
Main article: Partition theory

분할 이론은 정수 분할(integer partition)과 관련된 다양한 열거와 점근적 문제를 연구하고, q-급수(q-series), 특수 함수(special functions) 및 직교 다항식(orthogonal polynomials)과 밀접하게 관련되어 있습니다. 원래 숫자 이론(number theory)과 해석학(analysis)의 일부였지만, 그것은 이제 조합론 또는 독립 분야의 일부로 여겨집니다. 그것은 해석학과 해석적 숫자 이론(analytic number theory)에서 전단사 접근법(bijective approach)과 다양한 도구를 통합하고 통계적 역학(statistical mechanics)과 관련을 가집니다.

Graph theory

Petersen graph.
Main article: Graph theory

그래프는 조합론에서 근본 대상입니다. 그래프 이론의 고려 사항은 열거 (예를 들어, k 가장자리를 갖는 n 꼭짓점에 있는 그래프의 숫자)에서 기존 구조 (예를 들어, 해밀턴 순환), 대수적 표현 (예를 들어, 그래프 G와 두 숫자 x 및 y가 주어지면, 텃 다항식(Tutte polynomial) TG(x,y)은 조합로적 해석을 가집니까?)에 이르기까지 다양합니다. 비록 그래프 이론과 조합론 사이에 매우 강한 연관성이 있지만, 그것들은 때때로 별도의 주제로 생각됩니다.[16] 조합론적 방법은 많은 그래프 이론 문제에 적용되지만, 두 분야는 일반적으로 다른 유형의 문제에 대한 해결책을 찾기 위해 사용됩니다.

Design theory

Main article: Combinatorial design

디자인 이론은 특정 교집합(intersection) 속성을 가진 부분집합의 모음인 조합론적 디자인(combinatorial design)의 연구입니다. 블록 디자인(Block design)은 특수 유형의 조합론적 디자인입니다. 이 영역은 1850년에 제안된 커크먼의 여학생 문제(Kirkman's schoolgirl problem)에서 처럼 조합론의 가장 오래된 부분 중 하나입니다. 그 문제의 해결책은 슈타이너 시스템(Steiner system)의 특별한 경우이며, 그 시스템은 유한 단순 그룹의 분류(classification of finite simple groups)에서 중요한 역할을 합니다. 그 영역은 코딩 이론(coding theory) 및 기하학적 조합론과 더 연결을 가집니다.

Finite geometry

Main article: Finite geometry

유한 기하학은 오직 유한 숫자의 점을 가지는 기하학적 시스템(geometric systems)의 연구입니다. 연속 기하학 (유클리드 평면(Euclidean plane), 실수 투영 공간(real projective space), 등)에서 발견되는 구조와 유사하지만, 조합론적으로 정의된 구조가 연구의 주요 항목입니다. 이 영역은 디자인 이론(design theory)에 대해 풍부한 예제의 원천을 제공합니다. 그것은 이산 기하학 (조합론적 기하학(combinatorial geometry))과 혼동해서는 안됩니다.

Order theory

Hasse diagram of the powerset of {x,y,z} ordered by inclusion.
Main article: Order theory

순서 이론은 부분적으로 순서화 집합(partially ordered sets), 유한과 무한 둘 다의 연구입니다. 부분 순서의 다양한 예제는 대수학(algebra), 기하학, 숫자 이론 및 조합론과 그래프 이론 전반에 걸쳐 나타납니다. 부분 순서의 주목할만한 클래스와 예제는 격자(lattices) 및 부울 대수(Boolean algebras)를 포함합니다.

Matroid theory

Main article: Matroid theory

매트로이드 이론은 기하학(geometry)의 일부를 추상화합니다. 그것은 선형 종속(linear dependence) 관계에서 특정 계수에 의존하지 않는 벡터 공간(vector space)에서 벡터의 집합 (보통 유한 집합)의 속성을 연구합니다. 구조뿐만 아니라 열거 속성도 매트로이드 이론에 속합니다. 매트로이드 이론은 해슬러 휘트니(Hassler Whitney)에 의해 도입되었고 순서 이론의 일부로 연구되었습니다. 그것은 지금 조합론의 다른 부분과 많은 연관성을 가진 독립적인 연구의 분야입니다.

Extremal combinatorics

Main article: Extremal combinatorics

극단 조합론은 집합 시스템(set system)에 대한 극단 질문을 연구합니다. 이 경우에서 다루는 질문의 유형은 특정 속성을 만족시키는 가장 큰 가능한 그래프에 대한 것입니다. 예를 들어, 2n 꼭짓점에서 가장 큰 삼각형-없는 그래프(triangle-free graph)는 완전 이분 그래프(complete bipartite graph) Kn,n입니다. 종종 극단 답 f(n)을 정확히 찾기조차 너무 어렵고 우리는 점근적 추정(asymptotic estimate)을 오직 제공할 수 있습니다.

램지 이론(Ramsey theory)은 극단 조합론의 또 다른 부분입니다. 그것은 임의의 충분하게 큰(sufficiently large) 구성이 일종의 순서를 포함할 것이라고 말합니다. 그것은 비둘기집 원리(Pigeonhole principle)의 발전된 일반화입니다.

Probabilistic combinatorics

Self-avoiding walk in a square grid graph.
Main article: Probabilistic method

확률적 조합론에서, 그 질문은 다음과 같은 유형입니다: 무작위 그래프(random graph)와 같은, 무작위 이산 대상에 대해 특정 속성의 확률은 무엇입니까? 예를 들어, 무작위 그래프에서 삼각형의 평균 숫자는 얼마입니까? 확률적 방법은 역시 특정 지시된 속성을 가진 조합론적 대상의 존재를 (이것에 대해 명시적인 예제는 찾기 어려울 수 있음), 그들 속성을 갖는 대상을 무작위로 선택하는 확률이 0보다 크다는 것을 단순히 관찰함으로써 결정하기 위해 사용됩니다. 이 접근은 (종종 그 확률적 방법(probabilistic method)으로 참조되며) 극단 조합론과 그래프 이론에 대한 응용에서 매우 효과적임이 입증되었습니다. 밀접하게 관련된 영역은, 특히 조합론적 대상에 대한, 유한 마르코프 체인(Markov chains)의 연구입니다. 여기서 다시 확률적 도구는 혼합하는 시간(mixing time)을 추정하기 위해 사용됩니다.

이 주제에 대한 선구적인 연구를 수행했던, 폴 에르되시(Paul Erdős)와 종종 관련된, 확률적 조합론은 전통적으로 조합론의 다른 부분에서 문제를 연구하기 위한 도구의 집합으로 보였습니다. 어쨌든, 고전적 확률, 덧셈의 숫자 이론(additive number theory), 확률적 숫자 이론(probabilistic number theory)뿐만 아니라, 컴퓨터 과학(computer science)에서 알고리듬을 분석(analyze algorithms)하기 위해 응용의 증가와 함께, 그 영역은 조합론의 최근 독립적인 분야로 성장했습니다.

Algebraic combinatorics

Young diagram of a partition (5,4,1).
Main article: Algebraic combinatorics

대수적 조합론은 다양한 조합론적 맥락에서 추상 대수학(abstract algebra), 특히 그룹 이론(group theory)과 표시 이론(representation theory)의 방법을 사용하고, 반대로, 조합론적 기법을 대수(algebra)에서 문제에 적용하는 수학(mathematics)의 영역입니다. 대수적 조합론은 주제와 기법 둘 다에서 그 범위를 지속적으로 확장하고 있고, 조합론적 및 대수적 방법의 상호 작용이 특히 강력하고 중요한 수학의 영역으로 보일 수 있습니다.

Combinatorics on words

Construction of a Thue–Morse infinite word.
Main article: Combinatorics on words

단어에 대한 조합론은 형식적 언어(formal language)를 다룹니다. 그것은 숫자 이론(number theory), 그룹 이론(group theory) 및 확률(probability)을 포함하여 수학의 여러 가지에서 독립적으로 발생했습니다. 그것은 열거적 조합론, 프랙탈 해석(fractal analysis), 이론적 컴퓨터 과학(theoretical computer science), 오토마타 이론(automata theory), 및 언어학(linguistics)에 대한 응용을 가집니다. 많은 응용이 새롭지만, 형식적 문법(formal grammar) 클래스의 고전적인 촘스키–쉬첸베르제 계층(Chomsky–Schützenberger hierarchy)은 아마도 그 분야에서 가장 잘 알려진 결과일 것입니다.

Geometric combinatorics

An icosahedron.
Main article: Geometric combinatorics

기하학적 조합론은 볼록(convex) 및 이산 기하학(discrete geometry), 특히 다면체 조합론(polyhedral combinatorics)과 관련됩니다. 그것은, 예를 들어, 볼록 폴리토프(convex polytope)가 가질 수 있는 각 차원의 면의 숫자를 묻습니다. 폴리토프의 메트릭(Metric) 속성, 예를 들어, 볼록 폴리토프의 강직성에 대한 코시 정리(Cauchy theorem)는 마찬가지로 중요한 역할을 합니다. 특수 폴리토프는, 펄무드히드라(permutohedra), 어소시에히드라(associahedra) 및 버카프 폴리토프(Birkhoff polytope)와 같은 것이 고려됩니다. 조합론적 기하학(Combinatorial geometry)은 이산 기하학에 대해 구식 이름입니다.

Topological combinatorics

Splitting a necklace with two cuts.
Main article: Topological combinatorics

토폴로지(topology)에서 개념과 방법의 조합론적 아날로그는 그래프 색칠하기(graph coloring), 공정한 나눗셈(fair division), 분할(partitions), 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set), 의사-결정 트리(decision tree), 목걸이 문제(necklace problem) 및 이산 모스 이론(discrete Morse theory)을 연구하기 위해 사용됩니다. 그것은 대수적 토폴로지(algebraic topology)에 대해 이전 이름인 조합론적 토폴로지(combinatorial topology)와 혼동해서는 안됩니다.

Arithmetic combinatorics

Main article: Arithmetic combinatorics

산술 조합론은 숫자 이론(number theory), 조합론, 에르고딕 이론(ergodic theory), 및 조화 해석(harmonic analysis) 사이의 상호 작용에서 발생했습니다. 그것은 산술 연산 (덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)과 관련된 조합론적 추정에 관한 것입니다. 덧셈의 숫자 이론(Additive number theory) (때때로 역시 덧셈의 조합론이라고 불림)은 오직 덧셈과 뺄셈의 연산이 관련될 때 특별한 경우를 참조합니다. 산술 조합론에서 중요한 기술 중 하나는 동역학적 시스템(dynamical system)의 에르고딕 이론(ergodic theory)입니다.

Infinitary combinatorics

Main article: Infinitary combinatorics

무한 조합론, 또는 조합론적 집합 이론은 조합론에서 아이디어를 무한 집합으로 확장한 것입니다. 그것은 집합 이론(set theory), 수학적 논리(mathematical logic)의 영역의 일부이지만, 집합 이론과 극단 조합론 둘 다로부터 도구와 아이디어를 사용합니다.

잔-카를로 로타(Gian-Carlo Rota)는 기하학적 확률(geometric probability)을 설명하기 위해 이름 연속 조합론을 사용하는데,[17] 왜냐하면 셈과 측정 사이에 많은 유사점이 있기 때문입니다.

Related fields

Kissing spheres are connected to both coding theory and discrete geometry.

Combinatorial optimization

조합론적 최적화(Combinatorial optimization)는 이산 및 조합론적 대상에 대한 최적화의 연구입니다. 그것은 조합론과 그래프 이론의 일부로 시작되었지만, 이제는 운영 연구(operations research), 알고리듬 이론(algorithm theory) 및 계산 복잡성 이론(computational complexity theory)과 관련된, 응용 수학과 컴퓨터 과학의 한 분야로 보입니다.

Coding theory

코딩 이론(Coding theory)은 오류-수정 코드(error-correcting code)의 초기 조합론적 구조와 함께 디자인 이론의 일부로 시작되었습니다. 주제의 주요 아이디어는 효율적이고 신뢰할 수 있는 데이터 전송의 방법을 설계하는 것입니다. 그것은 이제 정보 이론(information theory)의 일부인 광범위한 연구 분야입니다.

Discrete and computational geometry

이산 기하학(Discrete geometry) (역시 조합론적 기하학이라고 불림)은 역시 볼록 폴리토프(convex polytope)와 접하는 숫자(kissing number)에 대한 초기 결과와 함께 조합론의 일부로 시작되었습니다. 이산 기하학을 계산 기하학(computational geometry)에 적용하면서, 이들 두 분야는 부분적으로 합쳐져 별도의 연구의 분야가 되었습니다. 기하학적 및 토폴로지적 조합론의 많은 연결이 남아 있으며, 이것은 초기 이산 기하학의 파생물로 보일 수 있습니다.

Combinatorics and dynamical systems

동역학적 시스템의 조합론적 관점(Combinatorial aspects of dynamical systems)은 또 다른 새로운 분야입니다. 여기서 동역학적 시스템은 조합론적 대상에 정의될 수 있습니다. 예를 들어 그래프 동역학적 시스템(graph dynamical system)을 참조하십시오.

Combinatorics and physics

조합론과 물리학(combinatorics and physics), 특히 통계 물리학(statistical physics) 사이의 증가하는 상호 작용이 있습니다. 예제는 아이싱 모델(Ising model)의 정확한 해와, 한편으로는 파츠 모델(Potts model) 사이의 연결과, 다른 한편으로는 색칠(chromatic)과 텃 다항식(Tutte polynomial) 사이의 연결을 포함합니다.

See also

Notes

  1. ^ Pak, Igor. "What is Combinatorics?". Retrieved 1 November 2017.
  2. ^ Ryser 1963, p. 2
  3. ^ Mirsky, Leon (1979), "Book Review" (PDF), Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, 1: 380–388, doi:10.1090/S0273-0979-1979-14606-8
  4. ^ Rota, Gian Carlo (1969). Discrete Thoughts. Birkhaüser. p. 50. ... combinatorial theory has been the mother of several of the more active branches of today's mathematics, which have become independent ... . The typical ... case of this is algebraic topology (formerly known as combinatorial topology)
  5. ^ Björner and Stanley, p. 2
  6. ^ Lovász, László (1979). Combinatorial Problems and Exercises. North-Holland. ISBN 9780821842621. In my opinion, combinatorics is now growing out of this early stage.
  7. ^ Stanley, Richard P.; "Hipparchus, Plutarch, Schröder, and Hough", American Mathematical Monthly 104 (1997), no. 4, 344–350.
  8. ^ Habsieger, Laurent; Kazarian, Maxim; Lando, Sergei (1998). "On the Second Number of Plutarch". The American Mathematical Monthly. 105 (5): 446. doi:10.1080/00029890.1998.12004906.
  9. ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Combinatorics", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
  10. ^ Puttaswamy, Tumkur K. (2000). "The Mathematical Accomplishments of Ancient Indian Mathematicians". In Selin, Helaine (ed.). Mathematics Across Cultures: The History of Non-Western Mathematics. Netherlands: Kluwer Academic Publishers. p. 417. ISBN 978-1-4020-0260-1.
  11. ^ Biggs, Norman L. (1979). "The Roots of Combinatorics". Historia Mathematica. 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0.
  12. ^ Maistrov, L.E. (1974), Probability Theory: A Historical Sketch, Academic Press, p. 35, ISBN 978-1-4832-1863-2. (Translation from 1967 Russian ed.)
  13. ^ White, Arthur T. (1987). "Ringing the Cosets". The American Mathematical Monthly. 94 (8): 721–746. doi:10.1080/00029890.1987.12000711.
  14. ^ White, Arthur T. (1996). "Fabian Stedman: The First Group Theorist?". The American Mathematical Monthly. 103 (9): 771–778. doi:10.1080/00029890.1996.12004816.
  15. ^ See Journals in Combinatorics and Graph Theory
  16. ^ Sanders, Daniel P.; 2-Digit MSC Comparison Archived 2008-12-31 at the Wayback Machine
  17. ^ Continuous and profinite combinatorics

References

External links

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