Commandino's theorem

Original article: w:Commandino's theorem

Medians of a tetrahedron intersecting in a point $S$ (its centroid), such that
${\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}={\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}$

페데리코 코만디노(Federico Commandino) (1509–1575)의 이름을 따서 지은 코만디노의 정리(Commandino's theorem)는 사면체(tetrahedron)의 넷의 중앙선(median)이 점 S에서 동점이며, 중앙선을 3:1 비율로 나눕니다. 사면체에서 중앙선은 꼭짓점과 반대쪽 면(face)의 도형중심 – 즉, 반대쪽 삼각형의 도형중심(centroid)을 연결하는 선분입니다. 점 S는 역시 사면체의 동형중심입니다.

History

그 정리는 그의 연구 De Centro Gravitatis Solidorum (고체의 무게의 중심, 1565)에서. 사면체의 넷의 중앙선이 동점이라고 언급했던 코만디노에 기인합니다. 어쨌든, 19세기 학자 Guillaume Libri에 따르면, 프란체스코 마우롤리코(Francesco Maurolico) (1494–1575)는 그 결과를 더 일찍 발견했다고 주장했습니다. Libri는 그럼에도 불구하고 그것이 레오나르도 다 빈치(Leonardo da Vinci)에게 훨씬 더 일찍 알려져 있었다고 생각했었으며, 그는 연구에서 그것을 사용한 것으로 보였습니다. 줄리언 쿨리지(Julian Coolidge)는 그 평가를 공유했지만 다빈치의 연구에서 정리의 임의의 명시적 설명 또는 수학적 처리를 찾을 수 없다고 지적했습니다. 다른 학자들은 그 결과가 고대 동안 그리스 수학자들에게 이미 알려져 있었을 것이라고 추측했습니다.

Generalizations

코만디노의 정리는 임의의 차원(dimension)의 심플렉스(simplex)에 대해 직접적인 유사점을 가집니다:

$\Delta$를 $\mathbb {R} ^{n}\;(d,n\in \mathbb {N} ,n\geq d)$에서 어떤 차원 $d>1$의 $d$-심플렉스로 놓고 $V_{0},V_{1},\ldots ,V_{p}$를 그것의 꼭짓점으로 놓습니다. 게다가, $\ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{d}$를 $\Delta$의 중앙선, 각 꼭짓점 $V_{i}$를 반대편 $(d-1)$-차원 패싯(facet) $V_{0}\ldots V_{i-1}V_{i+1}\ldots V_{d}$의 도형중심에 연결하는 직선으로 놓습니다. 그런-다음 이들 직선은 $d:1$의 비율에서 점 $S$에서 서로 교차합니다.

Full generality

전자의 아날로그는 물리학에서 지렛대(levers)가 작동하는 방식과 유사한 다음의 보다 일반적인 결과를 통해 쉽게 입증할 수 있습니다:

$m$과 $k$을 $\mathbb {R}$-벡터 공간(vector space) ${\mathcal {V}}$에서, $m+k$ 쌍별 다른 점(points) $X_{1},\dots ,X_{m},Y_{1},\dots ,Y_{k}\in {\mathcal {V}}$이 주어지도록 자연수(natural numbers)라고 놓습니다.

$S_{X}$를 점 $X_{i}\;(i=1,\dots ,m)$의 도형중심으로 놓고, $S_{Y}$를 점 $Y_{j}\;(j=1,\dots ,k)$의 도형중심으로 놓고, $S$를 모든 이들 $m+k$ 점의 도형중심으로 놓습니다.

그런-다음, 우리는 다음을 가집니다:

$S=S_{X}+{\frac {k}{m+k}}(S_{Y}-S_{X})={\frac {m}{m+k}}S_{X}+{\frac {k}{m+k}}S_{Y}.$

특히, 도형-중심 $S$는 직선 ${\overline {{S_{X}}{S_{Y}}}}$ 위에 놓이고 그것을 $k:m$의 비율에서 나눕니다.

Reusch's theorem

이전 정리는 앞서 언급한 코만디노 정리의 일반화 이외에 더 흥미로운 결과를 낳습니다. 그것은 독일 물리학자 Friedrich Eduard Reusch에 의해 Mathematische Unterhaltungen에서 처음 설명된 사면체의 도형중심에 대한 다음 정리를 입증하기 위해 사용될 수 있습니다:

우리는 사면체의 도형중심을 두 쌍의 마주보는 가장자리(edges)의 중간점(midpoints)을 취하고 해당 중간점을 그들 각각의 중앙선을 통해 연결함으로 찾을 수 있습니다. 두 중앙선의 교차점이 사면체의 도형중심이 될 것입니다.

사면체는 셋의 반대 쌍에 여섯 가장자리를 가지기 때문에, 우리는 다음 따름정리를 얻습니다:

사면체에서, 반대쪽 가장자리 중간점에 해당하는 셋의 중앙선은 공점(concurrent)이고, 그것들의 교차점은 사면체의 도형중심입니다.

Varignon's theorem

사면체의 모든 네 꼭짓점이 공통-평면(coplanar)에 있고 단일 평면에 놓이는, 그것에 의하여 사변형(quadrilateral)으로 퇴화하는 로이쉬 정리의 특별한 경우, 피에르 바리뇽의 이름을 따서 지은 바리뇽 정리는 다음과 같이 말합니다:

$\mathbb {R} ^{2}$에서 사변형이 주어졌다고 놓습니다. 그런-다음 반대쪽 가장자리 중간점을 연결하는 둘의 중앙선이 사변형의 도형중심에서 교차하고 그것에 의해 절반으로 나뉩니다.

External links

• Weisstein, Eric W. "Commandino's Theorem". MathWorld.
• A Couple of Nice Extensions of the Median Properties