Completeness of the real numbers

직관적으로, 완비성은 실수 직선에서 "누락 점" 또는 (데데킨트의 용어에서) 임의의 "틈"이 없음을 의미합니다. 이것은 해당 숫자 직선이 각 무리수(irrational) 값에서 "틈"을 가지는 유리수(rational number)와 대조됩니다. 십진수 시스템(decimal number system)에서, 완비성은 십진 자릿수의 임의의 무한 문자열이 실제로 일부 실수에 대해 십진 표현(decimal representation)이라는 명제와 동등합니다.

사용된 실수의 구성에 따라, 완비성은 공리(axiom) (완비성 공리)의 형식을 취할 수 있거나, 구성에서 입증된 정리(theorem)일 수 있습니다. 완비성의 많은 동등한 형식이 있으며, 가장 두드러진 것은 데데킨트 완비성(Dedekind completeness)과 코시 완비성(Cauchy completeness) (메트릭 공간으로 완비성)입니다.

Forms of completeness

실수(real number)는 완비성 공리(completeness axiom)의 일부 버전을 만족시키는 순서화된 필드(ordered field)로 종합적으로 정의될 수 있습니다. 이 공리의 다른 버전은 순서화된 것과 코시 완비인 비-아르키메데스 필드(Archimedean fields)가 있다는 점에서 엄격하게 더 약한 코시 완비성과 중첩된 구간 정리를 제외하고 한 형식의 완비성을 만족시키는 임의의 순서화된 필드가 그것들 모두를 만족시킨다는 의미에서 모두 동등합니다. 실수가 대신 모델을 사용하여 구성될 때, 완비성은 정리(theorem) 또는 정리의 모음이 됩니다.

Least upper bound property

가장-작은-위쪽-경계 속성은 위쪽 경계(upper bound)를 가지는 실수의 모든 각 비-빈(nonempty) 집합이 실수의 집합에서 가장-작은 위쪽 경계(least upper bound) (또는 상한)을 가져야 함을 말합니다.

유리수 직선(rational number line) Q는 가장-작은 위쪽 경계 속성을 가지지 않습니다. 예제는 유리수의 부분집합입니다:

S=\{x\in \mathbf {Q} |x^{2}<2\}.

이 집합은 위쪽 경계를 가집니다. 어쨌든, 이 집합은 $Q$ 에서 가장-작은 왼쪽 경계를 가지지 않습니다: 실수의 부분집합으로 가장-작은 위쪽 경계는 $\sqrt2$ 이지만, 그것은 $Q$ 에서 존재하지 않습니다. 임의의 위쪽 경계 $x \in Q$ 에 대해, $y < x$ 를 갖는 또 다른 위쪽 경계 $y \in Q$ 가 있습니다.

예를 들어, $x = 1.5$ 를 취하면, $x$ 는 확실하게 $S$ 의 위쪽 경계인데, 어ㅙ냐하면 $x$ 는 양수이고 $x 2 = 2.25 \geq 2$ 이기 때문입니다; 즉, $S$ 의 어떤 원소도 $x$ 보다 크지 않습니다. 어쨌든, 우리는 더 작은 위쪽 경계, 말하자면 $y = 1.45$ 를 선택할 수 있습니다; 이것은 역시 같은 이유에 대해 $S$ 의 위쪽 경계이지만, 그것은 $x$ 보다 더 작으므로, $x$ 는 $S$ 의 가장-작은-위쪽-경계가 아닙니다. 우리는 유사하게 진행하여 $y$ 보다 더 작은 $S$ 의 위쪽 경계, 말하자면 $z = 1.42$ , 등을 찾을 수 있으며, 그래서 우리는 $Q$ 에서 $S$ 의 가장-작은-위쪽-경계를 결코 찾지 못합니다.

가장-작은 위쪽 경계 속성은 부분적으로 순서화된 집합(partially ordered set)의 설정으로 일반화될 수 있습니다. 완비성을 참조하십시오.

Dedekind completeness

See Dedekind completeness for more general concepts bearing this name.

데데킨트 완비성은 실수의 모든 각 데데킨트 자름(Dedekind cut)이 실수에 의해 생성되는 속성입니다. 실수에 대한 종합적인 접근 방식에서, 이것은 공리로 가장 자주 포함되는 완비성의 버전입니다.

유리수 직선(rational number line) Q는 데데킨트 완비가 아닙니다. 예제는 다음 데데킨트 자름입니다:

L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}.

R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.

L은 최댓값을 가지지 않고 R은 최솟값을 가지지 않으므로, 이 자름은 유리수에 의해 생성되지 않습니다.

실수의 이름을 지정하기 위해 유리수의 데데킨트 자름을 사용한다는 아이디어에 기반한 실수의 구성이 있습니다; 예를 들어, 위에서 설명된 자름 (L,R)은 이름 ${\sqrt {2}}$ 일 것입니다. 만약 우리가 데데킨트 자름으로 실수의 구성을 반복한다면 (즉, 모든 가능한 데데킨트 자름을 더함으로써 실수 집합을 "닫음") 우리는 실수가 이미 데데킨트 완비이므로 추가적인 숫자를 얻지 못할 것입니다.

Cauchy completeness

코시 완비성은 실수의 모든 각 코시 수열(Cauchy sequence)이 수렴(converges)한다는 명제입니다.

유리수 직선(rational number line) Q는 코시 완비가 아닙니다. 예제는 다음 유리수의 수열입니다:

3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots

여기서 수열에서 n번째 항은 파이(pi)에 대해 n번째 십진 근사입니다. 비록 이것이 유리수의 코시 수열일지라도, 그것은 임의의 유리수로 수렴하지 않습니다. (이 실수 직선에서, 이 수열은 파이로 수렴합니다.)

코시 완비성은 코시 수열을 사용하여 실수의 구성과 관련되어 있습니다. 본질적으로 이 방법은 실수를 유리수의 코시 수열의 극한으로 정의합니다.

수학적 해석학(mathematical analysis)에서, 코시 완비성은 임의의 메트릭 공간(metric space)에 대해 완비성의 개념으로 일반화될 수 있습니다. 완비 메트릭 공간(complete metric space)을 참조하십시오.

순서화된 필드(ordered field)에 대해, 코시 완비성은 이 페이지에서 다른 형식의 완전성보다 더 약합니다. 그러나 코시 완비성과 함께 취해진 아르키메데스 속성(Archimedean property)은 다른 것과 동등합니다.

Nested intervals theorem

중첩된 구간 정리는 완비성의 또 다른 형식입니다. $I n = [a n, b n]$ 을 닫힌 구간(intervals)의 수열로 놓고 이들 구간이 다음과 같은 의미에서 중첩된다고 가정합니다:

I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;I_{3}\;\supset \;\cdots

게다가, $b n -a n \to 0$ as $n \to +\infty$ 임을 가정합니다. 중첩된 구간 정리는 모든 구간 $I n$ 의 교집합(intersection)이 정확하게 하나의 점을 포함한다고 말합니다.

유리수 직선(rational number line)은 중첩된 구간 정리를 만족시키지 않습니다. 예를 들어, 다음 수열은 (그것들의 항이 제안된 방법에서 파이(pi)의 자릿수에서 유도됩니다):

[3,4]\;\supset \;[3.1,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots

그것의 교집합이 빈 것인 유리수에서 닫힌 구간의 중첩된 수열입니다. (실수에서, 이들 구간의 교집합은 숫자 파이(pi)를 포함합니다.)

중첩된 구간 정리는 이 완비성 표현의 스펙트럼에서 코시 완비성과 같은 논리적 상태를 공유합니다. 다시 말해서, 중첩된 구간 정리 자체는 다른 형식의 완비성보다 더 약하지만, 비록 아르키메데스 속성(Archimedean property)과 함께 취할지라도, 그것은 다른 형식과 동등합니다.

Monotone convergence theorem

단조 수렴 정리 (쾨르너에 의한 해석학의 기본 공리로 설명됨^[1])는 실수의 모든 각 비-감소하는, 경계진 수열은 수렴한다고 말합니다. 이것은 가장-작은 위쪽 경계 속성의 특수한 경우로 보일 수 있지만, 그것은 역시 실수의 코시 완비성을 입증하기 위해 꽤 직접적으로 사용될 수 있습니다.

Bolzano–Weierstrass theorem

볼차노–바이어슈트라스 정리는 실수의 모든 각 경계진 수열이 수렴하는 부분수열(subsequence)을 갖는다고 말합니다. 다시 말하지만, 이 정리는 위에 주어진 다른 형식의 완비성과 동등합니다.

The intermediate value theorem

사잇값 정리는 음의 값과 양의 값 둘 다에 도달하는 모든 각 연속 함수는 근을 가진다고 말합니다. 이것은 가장-작은 위쪽 경계 속성의 결과이지만, 그것은 역시 공리로 취급되면 가장-작은 위쪽 경계 속성을 증명하기 위해 사용할 수 있습니다. (연속성의 정의는 임의의 형식의 완비성에 의존하지 않으므로, 이것은 원형이 아닙니다.)

References

^ Körner, Thomas William (2004). A companion to analysis: a second first and first second course in analysis. AMS Chelsea. ISBN 9780821834473.