Interval (mathematics)

The addition x + a on the number line. All numbers greater than x and less than x + a fall within that open interval.

수학(mathematics)에서, (실수) 구간(interval)은 실수의 임의의 두 숫자 사이에 놓여있는 모든 실수를 포함하는 실수(real number)의 집합(set)입니다. 예를 들어, $0 \leq x \leq 1$ 을 만족시키는 숫자 $x$ 의 집합은 $0$ 과 $1$ 과 사이에 있는 모든 숫자를 포함하는 구간입니다. 구간의 다른 예제는 $0 < x < 1$ 을 만족하는 숫자의 집합, 모든 실수의 집합 $\mathbb {R}$ , 비-음의 실수의 집합, 양의 실수의 집합, 빈 집합(empty set), 및 임의의 한원소(singleton)입니다.

실수 구간은 적분화(integration)의 이론에서 중요한 역할을 하는데, 왜냐하면 그것들은 "크기" (또는 "측정" 또는 "길이")를 정의하는 것이 쉬운 가장 단순한 집합이기 때문입니다. 측정의 개념은 그런-다음 실수의 더 복잡한 집합으로 확대되며, 보렐 측정(Borel measure)으로 이어지고 결국에는 르베그 측정(Lebesgue measure)으로 이어집니다.

구간은 구간 산술(interval arithmetic), 비록 불확실성, 수학적 근사, 및 산술 반올림(arithmetic rounding)이 존재할지라도, 임의적인 공식에 대해 보장된 인클로저를 보장하는 자동으로 제공하는 구간 산술(interval arithmetic), 일반적인 수치적 컴퓨팅(numerical computing) 기법의 핵심입니다.

구간은 정수(integers) 또는 유리수(rational numbers)와 같은 임의적인 전체 순서(totally ordered) 집합에서 마찬가지로 정의됩니다. 정수 구간의 표기법은 아래의 특별 섹션에서 고려됩니다.

Terminology

열린 구간은 그것의 끝점을 포함하지 않고, 괄호로 표시됩니다.^[1]^[2] 예를 들어, $(0,1)$ 는 $0$ 보다 크고 $1$ 보다 작음을 의미합니다. 이것은 $(0,1) = {x | 0 < x < 1}$ 을 의미합니다.

닫힌 구간은 그것의 극한 점을 포함하는 구간이고, 대괄호로 표시됩니다.^[1]^[2] 예를 들어, $[0,1]$ 는 $0$ 보다 크거나 같고 $1$ 보다 작거나 같음을 의미합니다.

반-열린 구간은 그것의 끝점 중 오직 하나를 포함하고, 열린 및 닫힌 구간에 대해 표기법을 혼합함으로써 표시됩니다.^[3] 예를 들어, $(0,1]$ 은 $0$ 보다 크고 $1$ 보다 작거나 같음을 의미하고, 반면에 $[0,1)$ 는 $0$ 보다 크거나 같고 $1$ 보다 작음을 의미합니다.

퇴화 구간은 단일 집합으로 구성하는 임의의 집합입니다 (즉, 형식 $[a, a]$ 의 구간입니다).^[3] 어떤 저자는 이 정의에서 빈 집합을 포함합니다. 빈 것도 아니고 퇴화도 아닌 실수 구간은 적절한 것으로 말해지고, 무한하게 많은 원소를 가집니다.

구간은 만약 모든 그것의 원소보다 작거나 큰 것인, 각각, 일부 실수가 있으면 왼쪽-경계진 또는 오른쪽-경계진 것이라고 말합니다. 구간이 만약 그것이 왼쪽- 및 오른쪽-경계진 것이면 경계진 것이라고 말합니다; 그리고 그렇지 않으면 무경계진 것이라고 말합니다. 오직 한쪽 끝에서 경계진 것인 구간은 반-경계진 것이라고 말합니다. 빈 집합은 경계진 것이고, 모든 실수의 집합은 양쪽 끝에서 무경계진 것인 유일한 구간입니다. 경계진 구간은 역시 공통적으로 유한 구간이라고 알려져 있습니다.

경계진 구간은 그것들의 지름(diameter) (끝점 사이의 절대 차이(absolute difference)와 같음)이 유한하다는 의미에서 경계진 집합(bounded set)입니다. 지름은 간격의 길이, 너비, 측정, 범위, 또는 크기라고 불릴 수 있습니다. 무경계진 구간의 크기는 보통 $+\infty$ 로 정의되고, 빈 구간의 크기는 $0$ (또는 왼쪽 비-정의된)으로 정의될 수 있습니다.

끝점 $a$ 와 $b$ 를 갖는 경계진 구간의 중심 (중점(midpoint))은 $(a + b)/2$ 이고, 그것의 반지름은 절반-길이 $| a - b |/2$ 입니다. 이들 개념은 빈 또는 무경계진 구간에 대해 정의되지 않습니다.

구간은 왼쪽-열린 것이라고 말해지는 것과 그것이 최솟값(minimum) (모든 다른 원소보다 더 작은 원소)을 포함하지 않는 것은 필요충분 조건입니다; 만약 그것이 최댓값(maximum)을 포함하지 않으면 오른쪽-열린 것입니다; 그리고 만약 그것이 두 속성 모두를 가지면 열린 것입니다. 구간 $[0,1) = {x | 0 \leq x < 1}$ 은, 예를 들어, 왼쪽-닫힌 것이고 오른쪽-열린 것입니다. 빈 집합과 모든 실수의 집합은 열린 집합이고, 반면에 비-음의 실수의 집합은 오른쪽-열린 것이지만, 왼쪽-열린 구간은 아닙니다. 열린 구간은 그것의 표준 토폴로지(topology)에서 실수 직선의 열린 집합(open set)이고, 열린 집합의 기저(base)를 형성합니다.

구간은 만약 그것이 최소 원소를 가지면 왼쪽-닫힌 것, 만약 그것이 최댓값을 가지면 오른쪽-닫힌 것이고, 그것이 둘 다를 가지면 간단히 닫힌것이라고 말합니다. 이들 정의는 보통 닫힌 구간이 해당 토폴로지에서 닫힌 집합(closed set)과 일치하도록 빈 집합과 (왼쪽- 또는 오른쪽-) 무경계진 구간을 포함하기 위해 확장됩니다.

구간 $I$ 의 내부는 $I$ 에 포함되는 가장 큰 열린 구간입니다; 그것은 역시 $I$ 의 끝점이 아닌 $I$ 에서 점의 집합입니다. $I$ 의 클로저는 $I$ 를 포함하는 가장 작은 닫힌 구간입니다; 이것은 역시 유한 끝점으로 보강된 집합 $I$ 입니다.

실수의 임의의 집합 $X$ 에 대해, $X$ 의 구간 엔클로저 또는 구간 스팬은 $X$ 를 포함하는 고유한 구간이고, 역시 $X$ 를 포함하는 임의의 다른 구간을 적절하게 포함하지 않습니다.

구간 $I$ 는 만약 그것이 $J$ 의 부분집합(subset)이면 구간 $J$ 의 부분구간입니다. 구간 $I$ 는 만약 그것이 $J$ 의 적절한 부분집합(proper subset)이면 $J$ 의 적절한 부분구간입니다.

Note on conflicting terminology

용어 선분(segment)과 구간(interval)은 둘의 본질적으로 반대 방법으로 문헌에서 사용되어 왔으며, 이들 용어가 사용될 때 모호함을 초래합니다. Encyclopedia of Mathematics는^[4] 두 끝점을 제외하는 것 (즉, 열린 구간)을 (한정자없이) 구간으로 정의하고 두 끝점을 포함하는 것 (즉, 닫힌 구간)을 선분으로 정의하고, 반면에 루딘(Rudin)의 Principles of Mathematical Analysis는^[5] 전적으로 형식 [a, b]의 집합을 구간으로 부르고 형식 (a, b)의 집합을 선분으로 부릅니다. 이들 용어는 오래된 연구에 나타나는 경향이 있습니다; 현대 텍스트는 끝점이 포함되는지 여부에 관계없이 용어 구간 (열린, 닫힌, 또는 반-열린으로 한정됨)을 점점 더 선호합니다.

Notations for intervals

$a$ 와 $b$ 를 포함하여 $a$ 와 $b$ 사이의 숫자의 구간은 종종 $[a, b]$ 로 표시됩니다.^[1] 두 숫자는 구간의 끝점이라고 불립니다. 숫자가 십진 쉼표(decimal comma)로 쓰이는 국가에서, 세미콜론(semicolon)이 모호함을 피하기 위해 구분 기호로 사용될 수 있습니다.

Including or excluding endpoints

끝점 중 하나가 집합에서 제외됨을 나타내기 위해, 해당하는 대괄호는 괄호로 대체되거나, 뒤집어질 수 있습니다. 두 표기법 모두는 국제 표준(International standard) ISO 31-11에 설명되어 있습니다. 따라서, 집합 구성 표기법(set builder notation)에서,

{\begin{aligned}{\color {Maroon}(}a,b{\color {Maroon})}={\mathopen {\color {Maroon}]}}a,b{\mathclose {\color {Maroon}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {Maroon}{}<{}}x{\color {Maroon}{}<{}}b\},\\{}{\color {DarkGreen}[}a,b{\color {Maroon})}={\mathopen {\color {DarkGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {Maroon}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {DarkGreen}{}\leq {}}x{\color {Maroon}{}<{}}b\},\\{}{\color {Maroon}(}a,b{\color {DarkGreen}]}={\mathopen {\color {Maroon}]}}a,b{\mathclose {\color {DarkGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {Maroon}{}<{}}x{\color {DarkGreen}{}\leq {}}b\},\\{}{\color {DarkGreen}[}a,b{\color {DarkGreen}]}={\mathopen {\color {DarkGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {DarkGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {DarkGreen}{}\leq {}}x{\color {DarkGreen}{}\leq {}}b\}.\end{aligned}}

각 구간 $(a, a)$ , $[a, a)$ , 및 $(a, a]$ 는 빈 집합(empty set)을 나타내지만, $[a, a]$ 는 한원소 집합 ${a}$ 을 표시합니다. $a > b$ 일 때, 모든 넷의 표기법은 보통 빈 집합을 나타내기 위해 취합니다.

표기법 둘 다는 수학에서 괄호와 대괄호의 다른 사용을 겹칠 수 있습니다. 예를 들어, 표기법 $(a, b)$ 는 종종 집합 이론에서 순서화된 쌍(ordered pair), 해석적 기하학(analytic geometry)과 선형 대수(linear algebra)에서 점(point) 또는 벡터(vector)의 좌표(coordinates), 또는 (때때로) 대수(algebra)에서 복소수(complex number)를 나타내기 위해 사용됩니다. 그것이 부르바키(Bourbaki)는 열린 구간을 표시하기 위해 표기법 $] a, b [$ 을 도입했던 이유입니다.^[6] 역시 표기법 $[a, b]$ 는 때때로 순서쌍, 특히 컴퓨터 과학(computer science)에서 사용됩니다.

일부 저자는 $] a, b [$ 를 구간 $(a, b)$ 의 여집합을 나타내기 위해 사용합니다; 즉, $a$ 보다 작거나 같거나, $b$ 보다 크거나 같은 것인 모든 실수의 집합입니다.

Infinite endpoints

일부 문맥에서, 구간은 확장된 실수(extended real numbers), $-\infty$ 와 $+\infty$ 와 증가된 모든 실수의 집합의 부분집합으로 정의될 수 있습니다.

이 해석에서, 표기법 $[-\infty, b]$ , $(-\infty, b]$ , $[a, +\infty]$ , 및 $[a, +\infty)$ 은 모두 의미있고 구별합니다. 특히, $(-\infty, +\infty)$ 은 모든 보통 실수의 집합을 나타내고, 반면에 $[-\infty, +\infty]$ 은 확장된 실수를 나타냅니다.

심지어 보통 실수의 문맥에서, 우리는 무한(infinite) 끝점을 해당 방향에서 경계가 없는 것을 나타내기 위해 사용할 수 있습니다. 예를 들어, $(0, +\infty)$ 는 양의 실수의 집합이며, 역시 $\mathbb {R} _{+}$ 으로 쓰입니다.^[7] 문맥은 위의 정의와 용어 중 일부에 영향을 줍니다. 예를 들어, 구간 $(-\infty, +\infty)$ = $\mathbb {R}$ 은 보통의 실수의 영역에서 닫혀있지만, 확장된 실수의 영역에서 그렇지 않습니다.

Integer intervals

$a$ 와 $b$ 가 정수(integer)일 때, 표기법 ⟦a, b⟧, 또는 $[a .. b]$ 또는 ${a .. b}$ 또는 단지 $a .. b$ 가 때때로 포함된 $a$ 와 $b$ 사이의 모든 정수의 구간을 표시하기 위해 사용됩니다. 표기법 $[a .. b]$ 는 일부 프로그래밍 언어(programming language)에서 사용됩니다; 파스칼(Pascal)에서, 예를 들어, 그것은 하위범위 유형을 공식적으로 정의하기 위해 사용되며, 배열(array)의 유효한 인덱스(indices)의 아래쪽 및 위쪽 경계를 지정하기 위해 가장 자주 사용됩니다.

유한 아래쪽 및 위쪽 끝점을 가지는 정수 구간은 항상 해당 끝점을 포함합니다. 그러므로, 끝점의 제외는 $a .. b - 1$ , $a + 1 .. b$ , 또는 $a + 1 .. b - 1$ 를 씀으로써 명시적으로 표시될 수 있습니다. $[a .. b)$ 또는 $[a .. b [$ 와 같은 대안-괄호 표기법은 정수 구간에 대해 드물게 사용됩니다.^{[citation needed]}

Classification of intervals

실수의 구간은 아래 목록화된 8개의 다른 유형으로 분류될 수 있으며,^{[citation needed]} 여기서 $a$ 와 $b$ 이고, $a<b$ 입니다:

빈 것:

[b,a]=(b,a)=[b,a)=(b,a]=(a,a)=[a,a)=(a,a]=\{\}=\emptyset

퇴화:

[a,a]=\{a\}

적절한 것과 경계진 것:

열린:

(a,b)=\{x\mid a<x<b\}

닫힌:

[a,b]=\{x\mid a\leq x\leq b\}

왼쪽-닫힌, 오른쪽-열린:

[a,b)=\{x\mid a\leq x<b\}

왼쪽-열린, 오른쪽-닫힌:

(a,b]=\{x\mid a<x\leq b\}

왼쪽-경계진 것과 오른쪽-무경계진 것:

왼쪽-열린:

(a,+\infty )=\{x\mid x>a\}

왼쪽-닫힌:

[a,+\infty )=\{x\mid x\geq a\}

왼쪽-무경계진 것과 오른쪽-경계진 것:

오른쪽-열린:

(-\infty ,b)=\{x\mid x<b\}

오른쪽-닫힌:

(-\infty ,b]=\{x\mid x\leq b\}

양쪽 끝에서 무-경계진 (동시에 열린 것과 닫힌 것):

(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}

:

Properties of intervals

구간은 정확하게 $\mathbb {R}$ 의 연결된(connected) 부분집합입니다. 임의의 연속 함수(continuous function)에 의한 구간의 이미지는 역시 구간임을 따릅니다. 이것은 사잇값 정리(intermediate value theorem)의 하나의 공식화입니다.

구간은 역시 $\mathbb {R}$ 의 볼록 부분집합(convex subset)입니다. 부분집합 $X\subseteq \mathbb {R}$ 의 구간 인클로저는 역시 $X$ 의 볼록 껍질(convex hull)입니다.

구간의 임의의 모음의 교집합은 항상 구간입니다. 두 구간의 합집합이 구간인 것과 그것들이 비-빈 교집합을 가지거나 한 구간의 열린 끝-점이 다른 것의 닫힌 끝-점인 것 (즉, $(a,b)\cup [b,c]=(a,c]$ )은 필요충분 조건입니다.

만약 $\mathbb {R}$ 이 메트릭 공간(metric space)으로 보이면, 그것은 열린 공(open ball)은 열린 경계진 집합 $(c + r, c - r)$ 이고, 그것의 닫힌 공(closed ball)은 닫힌 경계진 집합; $[c + r, c - r]$ 입니다.

구간 $I$ 의 임의의 원소 $x$ 는 $I$ 의 분할을 셋의 서로소 구간 $I$ ₁, $I$ ₂, $I$ ₃: 각각 $x$ 보다 작은 구간 $I$ ₁의 원소, 한원소 $[x,x]=\{x\}$ , 및 $x$ 보다 큰 원소로 정의합니다. 부분 $I$ ₁과 $I$ ₃는 둘 다 비-빈인 것 (및 비-빈 내부를 가지는 것)과 $x$ 가 $I$ 의 내부인 것은 필요충분 조건입니다. 이것은 삼분법 원리(trichotomy principle)의 구간 버전입니다.

Dyadic intervals

이원적 구간(dyadic interval)은 그것의 끝점이 ${\textstyle {\frac {j}{2^{n}}}}$ 와 ${\textstyle {\frac {j+1}{2^{n}}}}$ 인 경계진 실수 구간이며, 여기서 ${\textstyle j}$ 와 ${\textstyle n}$ 는 정수입니다. 문맥에 따라, 양 끝점은 구간 안에 포함될 수도 있고 포함되지 않을 수도 있습니다.

이원적 구간은 다음 속성을 가집니다:

이원적 구간의 길이는 항상 이의 정수 거듭제곱입니다.
각 이원적 구간은 두 배 길이의 정확하게 하나의 이원적 구간에 포함됩니다.
각 이원적 구간은 절반 길이의 둘의 이원적 구간에 의해 스팬됩니다.
만약 둘의 열린 이원적 구간이 겹쳐지면, 그것들 중 하나는 다른 것의 부분집합입니다.

결과적으로 이원적 구간은 무한 이진 트리(binary tree)의 구조를 반영하는 구조를 가집니다.

이원적 구간은 적응 그물 세분화(adaptive mesh refinement), 다중-격자 방법(multigrid methods) 및 웨이블릿 분석(wavelet analysis)을 포함하여 여러 수치적 분석의 영역과 관련됩니다. 그러한 구조를 나타내기 위한 또 다른 방법은 ( $p = 2$ 에 대해) p-진수 분석(p-adic analysis)입니다.^[8]

Generalizations

Multi-dimensional intervals

많은 문맥에서, $n$ -차원 구간은 각 좌표(coordinate) 축 위에 하나씩, $n$ 구간의 데카르트 곱(Cartesian product), $I=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}$ 인 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 부분집합으로 정의됩니다.

$n=2$ 에 대해, 이것은 구간의 폭이 같은지 아닌지에 따라 그것의 변이 좌표축에 평행한 정사각형(square) 또는 직사각형(rectangle)으로 경계진 영역으로 생각될 수 있습니다; 마찬가지로, $n=3$ 에 대해, 이것은 축-정렬된 정육면체(cube) 또는 직육면체(rectangular cuboid)에 의해 경계진 영역으로 생각될 수 있습니다. 더 높은 차원에서, $n$ 구간의 데카르트 곱은 n-차원(n-dimensional) 초-입방체(hypercube) 또는 초-직육면체(hyperrectangle)로 제한됩니다.

그러한 구간 $I$ 의 패싯(facet)은 임의의 비-퇴화 구간 인수 $I_{k}$ 를 $I_{k}$ 의 유한 끝점으로 구성하는 퇴화 구간으로 대체한 것의 결과입니다. $I$ 의 면(faces)은 면(faces) 자체와 그것의 패싯의 모든 면을 구성합니다. $I$ 의 모서리는 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 단일 점으로 구성된 면입니다.

Complex intervals

복소수(complex number)의 구간은 복소 평면(complex plane)의 영역, 직사각형(rectangular) 또는 원형(circular)으로 정의될 수 있습니다.^[9]

Topological algebra

구간은 평면의 점과 결합될 수 있고, 따라서 구간의 영역은 평면의 영역(region)과 결합될 수 있습니다. 일반적으로, 수학에서 구간은 실수와 자체의 직접 곱(direct product) R × R에서 취해진 순서화된 쌍 (x,y)에 해당하며, 여기서 종종 y > x라고 가정됩니다. 수학적 구조(mathematical structure)의 목적에 대해, 제한은 버려지고,^[10] y − x < 0인 "반전된 구간"이 허용됩니다. 그런-다음, 모든 구간 [x,y]의 모음은 R과 자체의 직접 합(direct sum)에 의해 형성된 토폴로지적 링(topological ring)과 식별될 수 있으며, 여기서 덧셈과 곱셈이 성분-별로 정의됩니다.

직접 합 대수 $(R\oplus R,+,\times )$ 는 둘의 아이디얼(ideal) { [x,0] : x ∈ R } 및 { [0,y] : y ∈ R }을 가집니다. 이 대수의 항등 원소(identity element)는 응축된 구간 [1,1]입니다. 만약 구간 [x,y]가 아이디얼 중 하나에 있지 않으면, 그것은 곱셈의 역(multiplicative inverse) [1/x, 1/y]을 가집니다. 보통의 토폴로지(topology)가 부여된, 구간의 대수는 토폴로지적 링(topological ring)을 형성합니다. 이 링의 단위의 그룹(group of units)은 축, 또는 이 경우에서 아이디얼에 의해 결정된 넷의 사분면(quadrant)으로 구성됩니다. 이 그룹의 항등 성분(identity component)은 사분면 I입니다.

모든 각 구간은 그것의 중간점(midpoint) 주위로 대칭 구간으로 여길 수 있습니다. 월머스(M Warmus)에 의해 1956년에 발표된 재구성에서, "균형된 구간" [x, −x]의 축은 한 점으로 축소되는 구간 [x,x]의 측과 함께 사용됩니다. 직접 합 $R\oplus R$ 대신에, 구간의 링은 다음 식별화를 통한 월머스(M. Warmus)와 데릭 헨리 레머(Derrick Henry Lehmer)에 의한 분할-복소(split-complex number) 평면과 동일시되어 왔습니다:^[11]

z = (x + y)/2 + j (x − y)/2.

링 동형(ring isomorphism)의 총양인 평면의 선형 매핑은 극 분해(polar decomposition)와 같은 보통의 복소 산술과 일부 유사성을 가지는 곱셈 구조를 평면에 제공합니다.

References

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Bibliography

T. Sunaga, [1], In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp. 29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp. 126–143.

External links

A Lucid Interval by Brian Hayes: An American Scientist article provides an introduction.
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Interval Notation by George Beck, Wolfram Demonstrations Project.
Weisstein, Eric W. "Interval". MathWorld.

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